Ένα πρόβλημα με συνεχή συνάρτηση

#1

Έστω $\displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}}$ συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ υπάρχει θετικός ακέραιος $\displaystyle{n(x)}$

ώστε $\displaystyle{f^{n(x)}(x)=0}$ ,

όπου $\displaystyle{f^1(x)=f(x)}$ και $\displaystyle{f^{k+1}(x)=(f\circ f^k)(x)}$ .

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{f(0)=0}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Έστω

. Πρέπει να υπάρχει b > 0

με $f(b) \leqslant 0$ αφού αλλιώς f^k(x) > 0

για κάθε

. Θεωρούμε την συνάρτηση g(x) = f(x)-x

και παρατηρούμε ότι g(0) > 0

και

. Άρα υπάρχει $\xi \in (0,b)$ με $g(\xi) = 0$ . Αλλά τότε $f(\xi) = \xi$ και άρα $f^k(\xi) = \xi$ για κάθε

, άτοπο.

Ομοίως αν f(0) = a < 0

βρίσκουμε

με $f(b) \geqslant 0$ και $\xi \in (b,0)$ με $f(\xi) = \xi$ πάλι καταλήγοντας σε άτοπο.

#3

Δημήτρη

Η δική μου προσέγγιση, πιο πολύπλοκη, περιττεύει. Σκέπτομαι όμως, μήπως με τα δεδομένα αυτά προκύπτει ότι

$\displaystyle{f(x)=0,\ \forall x \in \Bbb{R}}$ ;

#4

s.kap έγραψε: Σκέπτομαι όμως, μήπως με τα δεδομένα αυτά προκύπτει ότι

$\displaystyle{f(x)=0,\ \forall x \in \Bbb{R}}$ ;

Όχι. Π.χ. μπορούμε να πάρουμε οποιαδήποτε συνεχή

με $|f(x)| \leqslant 1$ για κάθε

και

ταυτοτικά 0 στο [-1,1]

. Υπάρχουν πολλά τέτοια παραδείγματα.

Ένα πρόβλημα με συνεχή συνάρτηση

Ένα πρόβλημα με συνεχή συνάρτηση

Re: Ένα πρόβλημα με συνεχή συνάρτηση

Re: Ένα πρόβλημα με συνεχή συνάρτηση

Re: Ένα πρόβλημα με συνεχή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση