Κυρτότητα αντίστροφης

#1

Δίνω μια ενδιαφέρουσα πρόταση,που με κατάλληλη...ενδυμασία,θα μπορούσε να αποτελέσει και θέμα εξετάσεων...
Έστω οτι η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού (α,β),παραγωγίσιμη σε αυτό, είναι κυρτή και γνησίως αύξουσα..
Να αποδείξετε ότι:
1)Η f είναι αντιστρέψιμη.
2)Η συνάρτηση $\displaystyle{\displaystyle f^{ - 1} }$ είναι κοίλη.

#2

chris_gatos έγραψε:Δίνω μια ενδιαφέρουσα πρόταση,που με κατάλληλη...ενδυμασία,θα μπορούσε να αποτελέσει και θέμα εξετάσεων...
Έστω οτι η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού (α,β),παραγωγίσιμη σε αυτό, είναι κυρτή και γνησίως αύξουσα..
Να αποδείξετε ότι:
1)Η f είναι αντιστρέψιμη.
2)Η συνάρτηση $\displaystyle{\displaystyle f^{ - 1} }$ είναι κοίλη.

Χρήστο , η σκέψη είναι πολύ καλή αλλά η παραγωγισιμότητα της αντίστροφης είναι απροσπέλαστο για μαθητικό επίπεδο (θεωρητικά τουλάχιστον) εμπόδιο.Χωρίς αυτό το β) δεν αντιμετωπίζεται .Θα το δούμε όμως πιο προσεκτικά στο σπίτι !Εσύ τι έχεις στο μυαλό σου ;

Καλό Σαββατοκύριακο σε όλους !

#3

Μπάμπη,ναι έχεις δίκιο,εγω την είχα αυτονόητη την παραγωγισιμότητα της αντίστροφης ...
Ισως βάζοντας αρκετά(μα...αρκετά) υποερωτήματα που να έχουν να κάνουν με τη εύρεση της παραγώγου αντίστροφης.
Αλλά και πάλι...μύλος!
Ακυρο για πανελλήνιες ,αλλά καλό για εμάς!
Σας χαιρετώ προσωρινά,τα λέμε απογευματάκι.Γειά σας!

#4

Δίνω μιά "γεωμετρική" λύση τής άσκησης πού, πιθανόν, νά μήν έπαιρνε όλες τίς μονάδες σέ μιά εξέταση πανελληνίων εξετάσεων, αλλά ελπίζω ότι έχει τήν μαθηματική της λειτουργικότητα. Προφανώς, μιάς καί αναφέρεται σάν πιθανό θέμα πανελληνίων εξετάσεων, απέφυγα νά χρησιμοποιήσω τόν κανόνα παραγώγισης τής $f^{-1}$ .

1) Επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα καί συνεχής, είναι 1-1 καί, άρα, αντιστρέψιμη.
2) Άν $\varepsilon$ οποιαδήποτε εφαπτομένη ευθεία στήν $C_{f}$ , τότε, επειδή η

είναι κυρτή, η $C_{f}$ βρίσκεται εξ ολοκλήρου πάνω από τήν $\varepsilon$ .
Άν $\varepsilon^{\prime}$ είναι η συμμετρική τής ευθείας $\varepsilon$ , ώς πρός τήν ευθεία y=x

, τότε λόγω συμμετρικότητας τής $C_{f^{-1}}$ μέ τήν $C_{f}$ , ώς πρός τήν ευθεία y=x

, η $C_{f^{-1}}$ θά βρίσκεται εξ ολοκλήρου κάτω από τήν $\varepsilon^{\prime}$ . Επομένως η $f^{-1}$ είναι κοίλη.

#5

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Χρήστο , η σκέψη είναι πολύ καλή αλλά η παραγωγισιμότητα της αντίστροφης είναι απροσπέλαστο για μαθητικό επίπεδο (θεωρητικά τουλάχιστον) εμπόδιο.Χωρίς αυτό το β) δεν αντιμετωπίζεται .Θα το δούμε όμως πιο προσεκτικά στο σπίτι !Εσύ τι έχεις στο μυαλό σου ;

Καλό Σαββατοκύριακο σε όλους !

Νομίζω πως μπορεί να αντιμετωπιστεί χωρίς παραγωγισιμότητα. Το μόνο που χρειάζεσαι είναι να δείξεις ότι η αντίστροφη συνάρτηση είναι (γνησίως) αύξουσα.

Αν γράψω g για την αντίστροφο, θέλω να δείξω ότι $x \leq y \Rightarrow g(x) \leq g(y)$ . Αλλά αν δεν ισχύει αυτό, τότε f(g(x)) > f(g(y))

(αφού η f είναι γνησίως αύξουσα) άρα x>y

, άτοπο.

Για κυρτότητα χρειάζεται να δείξω ότι $g(tx + (1-t)y) \geq tg(x) + (1-t)g(y)$ . Αλλά $f(tg(x) + (1-t)g(y)) \leq tf(g(x)) + (1-t)f(g(y)) = tx + (1-t)y$ από την κυρτότητα της f. Αλλά αφού η g είναι αύξουσα, $g(f(tg(x) + (1-t)g(y))) \leq tx + (1-t)y$ που δίνει αυτό που θέλω να δείξω.

#6

Demetres έγραψε:Για κυρτότητα χρειάζεται να δείξω ότι $g(tx + (1-t)y) \geq tg(x) + (1-t)g(y)$ .

Δυστυχώς, Δημήτρη, τήν κυρτότητα-κοιλότητα στήν Γ' λυκείου δέν τήν ορίζουν μέ τό πρόσημο τής $g(tx + (1-t)y)- t\,g(x) - (1-t)g(y)$ , αλλά μέ τήν μονοτονία τής παραγώγου.
Γι' αυτό έδωσα τήν παραπάνω "γεωμετρική" λύση.
Βέβαια, από τήν μονοτονία τής παραγώγου μπορεί νά εξάγει κανείς τό πρόσημο τής $g(tx + (1-t)y)- t\,g(x) - (1-t)g(y)$ καί, μέ δεδομένη τήν παραγωγισιμότητα, αντιστρόφως. Αλλά αυτό ακριβώς προσπάθησα νά αποφύγω μέ τήν παραπάνω λύση.

#7

grigkost έγραψε:
Demetres έγραψε:Για κυρτότητα χρειάζεται να δείξω ότι $g(tx + (1-t)y) \geq tg(x) + (1-t)g(y)$ .
Δυστυχώς, Δημήτρη, τήν κυρτότητα-κοιλότητα στήν Γ' λυκείου δέν τήν ορίζουν μέ τό πρόσημο τής $g(tx + (1-t)y)- t\,g(x) - (1-t)g(y)$ , αλλά μέ τήν μονοτονία τής παραγώγου.

Εντάξει έχει κάποια χρόνια που έχω τελειώσει το λύκειο και δεν θυμώμουν πως την ορίζουν.

(Η μάλλον θυμώμουν ότι έπρεπε να ελέγχουμε αν η δεύτερη παράγωγος είναι θετική που προφανώς δεν μπορούμε να το κάνουμε εδώ.)

#8

Demetres έγραψε:Εντάξει έχει κάποια χρόνια που έχω τελειώσει το λύκειο και δεν θυμώμουν πως την ορίζουν. (Η μάλλον θυμώμουν ότι έπρεπε να ελέγχουμε αν η δεύτερη παράγωγος είναι θετική που προφανώς δεν μπορούμε να το κάνουμε εδώ.)

Δημήτρη, γιά τήν ύλη τών Μαθηματικών στά Ελληνικά Λύκεια ο τελευταίος πού ευθύνεται είσαι εσύ!
Όπως καί νάχει, μάς έδωσες μιά λύση χρησιμοιώντας μόνο τά "επιτρεπόμενα εργαλεία" μέ εκείνο τής παραγωγισιμότητας τής $f^{-1}$ , νά εκρεμμεί, όπως παρατήρησε καί ο Μπάμπης Στεργίου, καί η οποία πρέπει νά αποδειχθεί σάν ξεχωριστή πρόταση.

Κυρτότητα αντίστροφης

Κυρτότητα αντίστροφης

Re: Κυρτότητα αντίστροφης

Re: Κυρτότητα αντίστροφης

Re: Κυρτότητα αντίστροφης

Re: Κυρτότητα αντίστροφης

Re: Κυρτότητα αντίστροφης

Re: Κυρτότητα αντίστροφης

Re: Κυρτότητα αντίστροφης

Μέλη σε σύνδεση