Μπορεί να είναι συνεχής;

#1

Έστω $f:[{0,1}]\longrightarrow{\mathbb{R}}$ μια συνάρτηση τέτοια ώστε f(0)=0

,

και για κάθε $x,y\in({0,1})$ , ισχύει:

|{f(x)-f(y)}|>|{x-y}|

Να εξετασθεί αν η

μπορεί να είναι συνεχής στο [{0,1}]

.

Pla.pa.s · #2

Έστω ότι είναι συνεχής.
Παρατηρούμε ότι η

μηδενίζεται μόνο στο

ειδάλλως η ανισότητα θα μας έδινε
0>|x|

. Επιπλέον η g(x)=1-f(x)

είναι συνεχής και βλέπουμε ότι ικανοποιεί την ίδια ανισότητα με την

με τη διαφορά ότι
g(0)=1

και

. Συνεπώς ούτε η g μπορεί να μηδενιστεί πουθενά αλλού εκτός από το 1.
Έχουμε δηλαδή ότι η f στο (0,1)

θα κινείται κατ' ανάγκην (αφού είναι συνεχής) σε κάποιο από τα διαστήματα $(-\infty,0)$ , (0,1)

, $(1,+\infty)$ . Ωστόσο το πρώτο και το τελευταίο απορρίπτονται αφού τότε η

δεν θα μπορούσε να είναι συνεχής στο

και στο

αντίστοιχα.
Συνεπώς $1\geq f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in [0,1]$ . Άρα παίρνοντας στην αρχική ανισότητα το όριο για $y \rightarrow 0$ , παίρνουμε
$f(x) \geq x$ ενώ για $y\rightarrow 1$ , παίρνουμε $1-f(x)\geq1-x \Leftrightarrow x \geq f(x)$ . Εν τέλει, λοιπόν, λαμβάνοντας υπόψη και τις τιμές των f(0),f(1)

έχουμε ότι θα είναι f(x)=x

, η οποία προφανώς οδηγεί σε άτοπο από την ανισότητα.
Άρα η

είναι αναγκαστικά ασυνεχής.

Edit: Πόσο "μεγάλη" χρειάζεται να είναι η ασυνέχεια;;

Μπορεί να είναι συνεχής;

Μπορεί να είναι συνεχής;

Re: Μπορεί να είναι συνεχής;

Μέλη σε σύνδεση