Συλλογή Ασκήσεων

sidchris · #1

Δημιούργησα το θέμα αυτό για να ανεβάζω ασκήσεις μιας δυσκολίας και να είναι όλες μαζί

sidchris · #2

Άσκηση 1η

Να βρεθεί το ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές $\alpha, \beta, \gamma$ με $\gamma$ υποτείνουσα. Αν ισχύει $\alpha +\beta -\gamma =5$ να βρεθούν οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου.

sidchris · #3

Άσκηση 2η

Να βρεθεί το ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές $\alpha, \beta, \gamma$ με $\gamma$ υποτείνουσα. Αν ισχύει οτι η περίμετρος είναι ίση με το εμβαδο του να βρεθούν οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου.

sidchris · #4

Άσκηση 3η

Να βρεθούν τα x,y

ώστε να ισχύει η σχέση $\sqrt{6x-x^{2}-9}+x^{2}+4y^{2}=4xy$

Γιώργος Απόκης · #5

sidchris έγραψε:Άσκηση 2η

Να βρεθεί το ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές $\alpha, \beta, \gamma$ με $\gamma$ υποτείνουσα. Αν ισχύει οτι η περίμετρος είναι ίση με το εμβαδο του να βρεθούν οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου.

εδώ

Γιώργος Απόκης · #6

sidchris έγραψε:Άσκηση 3η

Να βρεθούν τα ώστε να ισχύει η σχέση $\sqrt{6x-x^{2}-9}+x^{2}+4y^{2}=4xy$

Έχουμε : $\displaystyle{\sqrt{6x-x^{2}-9}=\sqrt{-(x^2-6x+9)}=\sqrt{-(x-3)^2}}$ και αφού $-(x-3)^2\leq 0$ , ορίζεται μόνο για x=3

.

Aντικαθιστούμε x=3

:

$\displaystyle{y=\frac{3}{2}}$

sidchris · #7

Άσκηση 4η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με $A\Gamma=20$ και σημείο Δ στην πλευρά $B\Gamma$ τέτοιο ώστε $\Delta \Gamma=10$ .Αν $\left( A\Gamma \Delta \right)=60$ και $AB=B\Delta$ να δειχθεί ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο

sidchris · #8

Άσκηση 5η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma\left$ με ύψος =8.Αν η πλευρά $B\Gamma=20$ και ισχύει ότι $\epsilon \varphi \hat{B},\epsilon \varphi \hat{\Gamma }$ είναι αντίστροφοι αριθμοί να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου $AB\Gamma\left$

sidchris · #9

Άσκηση 6η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma\left$ με $A\Gamma=20$ και $\sigma \upsilon \nu \hat{\Gamma }=\frac{4}{5}$ .Αν αυξήσουμε την περίμετρο του κατά 150% τότε γίνεται ίση με το εμβαδο του.Να δειχθεί ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο

sidchris · #10

Άσκηση 7η
Στο παρακάτω τραπέζιο η ΒΓ είναι 25% μεγαλύτερη από την ΑΔ.Να βρεθεί η περίμετρος του

Γιώργος Απόκης · #11

sidchris έγραψε:Άσκηση 7η
Στο παρακάτω τραπέζιο η ΒΓ είναι 25% μεγαλύτερη από την ΑΔ.Να βρεθεί η περίμετρος του

Έστω $\Gamma E=x$ το ύψος του τραπεζίου. Τότε $AE=2,~EB=4,~A\Delta=x$ και $\displaystyle{\Gamma B=x+\frac{x}{4}=\frac{5x}{4}}$ .

Aπό το Πυθαγόρειο στο $B\Gamma E$ , έχουμε:

$\displaystyle{B\Gamma^2=BE^2+E\Gamma^2}$

$\displaystyle{\left(\frac{5x}{4}\right)^2=4^2+x^2}$

$\displaystyle{\frac{25x^2}{16}=16+x^2}$

$\displaystyle{25x^2=16^2+16x^2}$

$\displaystyle{9x^2=16^2}$

$\displaystyle{3x=16}$

$\displaystyle{x=\frac{16}{3}}$ άρα $\displaystyle{B\Gamma=\frac{20}{3}}$ και η περίμετρος είναι : $\displaystyle{2+\frac{16}{3}+6+\frac{20}{3}=8+\frac{36}{3}=8+12=20}$

sidchris · #12

Άσκηση 8η
Αν

είναι η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{{(2004x)^2} - 2003 \cdot 2005x - 1 = 0}$ και $\displaystyle{\beta }$ η μικρότερη ρίζα της $\displaystyle{{x^2} - 2003x - 2004 = 0}$ τότε να υπολογιστεί η διαφορά $\displaystyle{\alpha - \beta }$

sidchris · #13

Άσκηση 9η
Αν

είναι θετικός αριθμός και ισχύει ότι $\displaystyle{{\alpha ^2} + \frac{1}{{{\alpha ^2}}} = 5}$ τότε να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{{\alpha ^3} + \frac{1}{{{\alpha ^3}}}}$

sidchris · #14

Άσκηση 10η
Στο παρακάτω ορθογώνιο δίνεται ότι $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = 10}$ και $\displaystyle{({\rm B}{\rm E}{\rm Z}) = 4}$ .Να βρεθεί η μικρότερη δυνατή τιμή του $\displaystyle{{\rm A}{\rm E} + \Gamma {\rm Z}}$

Γιώργος Απόκης · #15

sidchris έγραψε:Άσκηση 9η
Αν είναι θετικός αριθμός και ισχύει ότι $\displaystyle{{\alpha ^2} + \frac{1}{{{\alpha ^2}}} = 5}$ τότε να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{{\alpha ^3} + \frac{1}{{{\alpha ^3}}}}$

Έχουμε : $\displaystyle{\left(a+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+2a\cdot \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}+2=5+2=7}$ κι αφού $\displaystyle{a>0}$ έχουμε: $\displaystyle{a+\frac{1}{a}=\sqrt{7}}$ .

Τώρα : $\displaystyle{a^3+\frac{1}{a^3}=\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^2-a\cdot \frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}\right)=\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^2+\frac{1}{a^2}-1\right)=\sqrt{7}(5-1)=4\sqrt{7}}$

sidchris · #16

Άσκηση 11η
Στο παρακάτω τετράπλευρο ισχύει $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Delta }$ , $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = \Gamma \Delta }$ και $\displaystyle{\Gamma \Delta = \Gamma {\rm P} + 2}$ .Να βρεθεί το εμβαδό του $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta )}$

sidchris · #17

Άσκηση 12η
Αν $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma }$ οι πλευρές τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και ισχύει η σχέση
$\displaystyle{2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 4\sqrt {2\alpha - 2} + 6\sqrt {3\beta - 3} + 8\sqrt {4\gamma - 4} - 20}$
Να δειχθεί ότι το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ορθογώνιο

jim.jt · #18

Για την 11η:
Τα σημεία

και $\Gamma$ ισαπέχουν από τα

και $\Delta$ , άρα η $A\Gamma$ ειναι μεσοκάθετος της $B\Delta$ . Έτσι με το Πυθαγόρειο θεώρημα παίρνουμε ότι AP=6

.
Επίσης ξανά με Πυθαγόρειο έχουμε
$\Gamma \Delta ^2=\Delta P^2+ \Gamma P^2 \Leftrightarrow \left(\Gamma P+2 \right)^2=64+\Gamma P^2\Leftrightarrow 4\Gamma P=60\Leftrightarrow \Gamma P=15$
αφού $\Delta P=BP=8$ .
Τέλος $(AB \Gamma \Delta )= (AB\Delta )+(\Gamma \Delta B)=\frac{6*16+15*16}{2}=168$

jim.jt · #19

Για την 12η:
Η σχέση γίνεται
$(2\alpha-2)-4\sqrt{2\alpha -2}+4 +(3\beta-3)- 6\sqrt{3\beta -3}+9 +(4\gamma-4) -8\sqrt{4\gamma -4}+ 16=0\Leftrightarrow \left(\sqrt{2\alpha -2}-2 \right)^2+\left(\sqrt{3\beta -3}-3 \right)^2+\left(\sqrt{4\gamma -4}-4 \right)^2=0$
Κάθε παρένθεση είναι ίση με

, γιατι είναι ολες υψωμένες στο τετράγωνο, άρα παίρνουμε $\alpha =3 , \beta =4,\gamma =5$ , που είναι Πυθαγόρεια τριάδα.

gavrilos · #20

Για τη 10η:

: Γ Γυμνασιου_1.PNG (8.92 KiB) Προβλήθηκε 4825 φορές

Ξέρουμε ότι $\displaystyle{(AEB)+(E\Delta Z)+(B\Gamma Z)=6}$

$\displaystyle{\frac{AB \cdot AE + B\Gamma \cdot Z\Gamma +(B\Gamma -AE)(AB-Z\Gamma)}{2}=6 \Leftrightarrow AB \cdot AE + B\Gamma \cdot Z\Gamma +(B\Gamma -AE)(AB-Z\Gamma)=12}$

$\displaystyle{AB \cdot AE + B\Gamma \cdot Z\Gamma +AB \cdot B\Gamma -B\Gamma \cdot Z\Gamma -AE \cdot AB + AE \cdot Z\Gamma=12}$

$\displaystyle{ AE \cdot Z\Gamma=2}$ .

Τώρα από δω και πέρα δεν έχω βρει γεωμετρικό τρόπο.
Θα χρησιμοποιήσω αναγκαστικά ανισότητα,θα χαρώ πολύ όμως κάποιος άλλος μαθητής να λύσει αυτήν την άσκηση γεωμετρικά μετά από αυτό το σημείο.

$\displaystyle{2AE \cdot Z\Gamma \leq AE^2 + Z\Gamma ^2 \Leftrightarrow 4AE \cdot Z\Gamma \leq (AE +Z\Gamma)^2 \Leftrightarrow AE+Z\Gamma\geq \sqrt{8}}$

Υ.Γ. Ελπίζω να συνεχίσει αυτό το θέμα να είναι ενεργό και να προσφέρει σε κάθε μαθητή τη δυνατότητα να λύσει ασκήσεις αρκετά υψηλότερης δυσκολίας από της σχολικές.

Φιλικά,
gavrilos

**Επεξεργασία για παράθεση του σχήματος.