Σύντομη με γνησίως αύξουσα

#1

'Εστω $f:(0,+\infty )\rightarrow(0,+\infty )$ . 'Εστω $\lambda \left( x\right)$ ο συντελεστής διευθύνσεως της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο $M\left( x,f\left( x\right) \right)$ . Να αποδειχθεί ότι η αν η $\lambda \left( x\right)$ είναι γνησίως αύξουσα τότε και η

είναι γνησίως αύξουσα. Ισχύει το αντίστροφο;
Μαυρογιάννης

#2

#3

Σεραφείμε έχεις απόλυτο δίκιο. Σε ευχαριστώ για την επισήμανση και για το παραστατικό σχήμα.
Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία. Η σωστή εκφώνηση (το διόρθωσα και πιο πάνω) είναι:

nsmavrogiannis έγραψε:'Εστω $f:(0,+\infty )\rightarrow(0,+\infty )$ ....
Μαυρογιάννης

papel · #4

Σεραφειμ δεν θα επρεπε λ(x)=f(x)/x .Δεν βλεπω να χρησιμοποιεις το σημειο Μ.

#5

Μα ... $\lambda (x)=\lambda _{OM}=\frac{y_{M}}{x_{M}}=\frac{f(x)}{x}}=\frac{-x-1}{x}=-\frac{x+1}{x}$

papel · #6

Σεραφειμ ακομη δεν καταλαβαινω πως βγαινει ο τυπος της f(x).

#7

nsmavrogiannis έγραψε:'Εστω $f:(0,+\infty )\rightarrow(0,+\infty )$ . 'Εστω $\lambda \left( x\right)$ ο συντελεστής διευθύνσεως της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο $M\left( x,f\left( x\right) \right)$ . Να αποδειχθεί ότι η αν η $\lambda \left( x\right)$ είναι γνησίως αύξουσα τότε και η είναι γνησίως αύξουσα. Ισχύει το αντίστροφο;
Μαυρογιάννης

Αν α > β > 0 τότε f(α) = λ(α)α > λ(β)α > λ(β)β = f(β)

Όχι αντίστροφα. Π.χ. f(x) = χ/(1+x) = γνήσια αύξουσα. Όμως
λ(3) = 1/4 < 1/3 = λ(2).

johnmad · #8

Έστω $\lambda (x) = \frac{{f(x)}}{x} \nearrow$
Για $0 < {x_1} < {x_2}$
έστω $f({x_1}) \ge f({x_2}) > 0$
Αλλά $\frac{1}{{{x_1}}} \succ \frac{1}{{{x_2}}} > 0$
Οπότε με πολλαπλασιασμό κατά μέλη $\frac{{f({x_1})}}{{{x_1}}} > \frac{{f({x_2})}}{{{x_2}}}$ άρα η λ(x) γν.φθίνουσα, άτοπο,
άρα η f(x) γν. αύξουσα.

#9

Τώρα κατάλαβα ..... απλώς έδωσα ένα αντιπαράδειγμα με f(x)=-x-1 (φθίνουσα), και με λ(x) : αύξουσα, γιατί η άσκηση δεν ίσχυε παίρνοντας τα αρχικά δεδομένα

Σύντομη με γνησίως αύξουσα

Σύντομη με γνησίως αύξουσα

Re: Σύντομη με γνησίως αύξουσα

Re: Σύντομη με γνησίως αύξουσα

Re: Σύντομη με γνησίως αύξουσα

Re: Σύντομη με γνησίως αύξουσα

Re: Σύντομη με γνησίως αύξουσα

Re: Σύντομη με γνησίως αύξουσα

Re: Σύντομη με γνησίως αύξουσα

Re: Σύντομη με γνησίως αύξουσα

Μέλη σε σύνδεση