ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1.(α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A = \left( \frac{\alpha }{{{\beta }^{2}}}+237 \right)\cdot {{{\left( \frac{\alpha }{4{{\beta }^{2}}} \right)}^{3}}+\frac{9\alpha -20{{\beta }^{2}}}{{{\beta }^{2}}}}$ , αν δίνεται ότι $\displaystyle{\alpha = \beta = 2^{-3}}$ .

(β) Αν τα ποσά $\displaystyle{x, y}$ είναι ανάλογα με συντελεστή αναλογίας $\displaystyle{\frac{x}{y}= \alpha > 0 }$ ,
να αποδείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{K = \frac{2yx}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}$ έχει τιμή ανεξάρτητη των τιμών των $\displaystyle{x, y}$ και ισχύει ότι $\displaystyle{K \le 1}$ .
Για ποια τιμή του $\displaystyle{\alpha}$ η παράσταση $\displaystyle{K}$ παίρνει τη μέγιστη τιμή της.

2. Στο διπλανό σχήμα, οι μικροί κύκλοι είναι ίσοι μεταξύ τους (με ακτίνα $\displaystyle{R}$ ), έχουν κέντρα τα σημεία $\displaystyle{K,\Lambda}$ και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο $\displaystyle{M}$ . Οι διάμετροι $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{\Gamma \Delta}$ (των μικρών κύκλων) είναι κάθετες στην διάκεντρό τους $\displaystyle{K\Lambda}$ . Ο μεγάλος κύκλος τέλος, έχει κέντρο το σημείο $\displaystyle{M}$ και περνάει από τα σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma, \Delta}$ . Να υπολογιστεί συναρτήσει του $\displaystyle{R}$ , το εμβαδό του σκιασμένου χωρίου.

: Eykleidhs 2011 2o gg.PNG (10.4 KiB) Προβλήθηκε 1807 φορές

3. Γράφουμε στον πίνακα το σύνολο $\displaystyle{A}$ που περιέχει όλους τους ακέραιους από το $\displaystyle{101}$ μέχρι και το $\displaystyle{2012}$ . Διαγράφουμε από το σύνολο $\displaystyle{A}$ όλους τους ακέραιους που είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ και στη συνέχεια διαγράφουμε όλους τους ακέραιους που είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{8}$ . Να βρείτε πόσοι ακέραιοι θα απομείνουν στο σύνολο $\displaystyle{A}$ .

4.Δίνονται τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x) = (x -1)(x + 1)(x-2)(x+ 2)}$ και $\displaystyle{Q(x) = (\alpha x^2 + \beta x)(\gamma x^2 + \delta) + 4}$ , όπου $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb{ R}}$ .
Αν ισχύει ότι $\displaystyle{\alpha +\beta +\gamma+\delta =-3}$ , να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb{ R}}$ για τις οποίες τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ και $\displaystyle{Q(x)}$ είναι ίσα.

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Στο διπλανό σχήμα, οι μικροί κύκλοι είναι ίσοι μεταξύ τους (με ακτίνα $\displaystyle{R}$ ), έχουν κέντρα τα σημεία $\displaystyle{K,\Lambda}$ και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο $\displaystyle{M}$ . Οι διάμετροι $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{\Gamma \Delta}$ (των μικρών κύκλων) είναι κάθετες στην διάκεντρό τους $\displaystyle{K\Lambda}$ . Ο μεγάλος κύκλος τέλος, έχει κέντρο το σημείο $\displaystyle{M}$ και περνάει από τα σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma, \Delta}$ . Να υπολογιστεί συναρτήσει του $\displaystyle{R}$ , το εμβαδό του σκιασμένου χωρίου.

: Eykleidhs 2011 2o gg.PNG (10.4 KiB) Προβλήθηκε 1774 φορές

χωρίς λόγια εδώ

kleovoulos · #3

Απαντώ στην 1Β

Αφού $\frac{x}{y}= \alpha$ τότε $y=\alpha x$

Mε την αντικατάσταση έχουμε:

$K=\frac{2a{y}^{2}}{a^{2}y^{2}+y^{2}}=\frac{2a{y}^{2}}{y^{2}({a}^{2}+1)}=\frac{2a}{a^{2}+1}$

Άρα το Κ εξαρτάται μόνο από το συντελεστή α και όχι τα x,y.

$K=\frac{2a}{a^2+1}\leq 1 \Leftrightarrow a^{2}+1\geq 2a\Leftrightarrow a^{2}-2a+1 \geq 0 \Leftrightarrow (a-1)^{2}\geq 0$ που ισχύει, άρα για τη μέγιστη τιμή της παράστασης Κ το α πρέπει να ισούται με 1.

(Υ.Γ. Φαντάζομαι ότι θα μπορούσα να τη λύσω γρηγορότερα, αλλά πρέπει να κάνουμε ανισώσεις πρώτα.

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:1.(α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A = \left( \frac{\alpha }{{{\beta }^{2}}}+237 \right)\cdot {{{\left( \frac{\alpha }{4{{\beta }^{2}}} \right)}^{3}}+\frac{9\alpha -20{{\beta }^{2}}}{{{\beta }^{2}}}}$ , αν δίνεται ότι $\displaystyle{\alpha = \beta = 2^{-3}}$ .

$\displaystyle{\frac{\alpha }{\beta ^{2}}=\frac{\alpha }{\alpha ^{2}}=\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{2^{-3}}=2^{-(-3)}=2^3=8}$

$\displaystyle{A = \left( \frac{\alpha }{{{\beta }^{2}}}+237 \right)\cdot {{{\left( \frac{\alpha }{4{{\beta }^{2}}} \right)}^{3}}+\frac{9\alpha -20{{\beta }^{2}}}{{{\beta }^{2}}}}$

$\displaystyle{A = \left( 8+237 \right)\cdot {{{\left( \frac{8 }{4}} \right)}^{3}}+\frac{9\alpha}{{\beta }^{2}} -\frac{20{{\beta }^{2}}}{{{\beta }^{2}}}}$

$\displaystyle{A = 245 \cdot 2^3+9 \cdot 8 -20}$

$\displaystyle{A = 245 \cdot 8+72 -20}$

$\displaystyle{A = 1960+72 -20}$

$\displaystyle{A = 2032 -20}$

$\displaystyle{A = 2012}$

kleovoulos · #5

parmenides51 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:
$\displaystyle{A = 2012}$

Σχεδόν πάντα οι λύσεις στα πρώτα θέματα βγαίνουν ανάλογες της χρονολογίας.

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:3. Γράφουμε στον πίνακα το σύνολο $\displaystyle{A}$ που περιέχει όλους τους ακέραιους από το $\displaystyle{101}$ μέχρι και το $\displaystyle{2012}$ . Διαγράφουμε από το σύνολο $\displaystyle{A}$ όλους τους ακέραιους που είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ και στη συνέχεια διαγράφουμε όλους τους ακέραιους που είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{8}$ . Να βρείτε πόσοι ακέραιοι θα απομείνουν στο σύνολο $\displaystyle{A}$ .

Αναζητούμε πόσοι ακέραιοι μένουν αν αφαιρεθούν από το $\displaystyle{101}$ μέχρι και το $\displaystyle{2012}$ τα πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ και του $\displaystyle{8}$ .

Θα βρούμε πόσοι ακέραιοι μένουν στο σύνολο από το $\displaystyle{1}$ μέχρι και το $\displaystyle{100}$ και θα το αφαιρέσουμε από όσους μένουν από το $\displaystyle{1}$ μέχρι και το $\displaystyle{2012}$

Οπότε σε κάθε περίπτωση θα βρούμε πόσοι αριθμοί αφαιρούνται,

που είναι τα πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ συν τα πολλαπλάσια του $\displaystyle{8}$ μείον τα κοινά πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ και του $\displaystyle{8}$

(που είναι τα πολλαπλάσια του $\displaystyle{EK\Pi \,\, (3,8)=24}$ ) γιατί τα προσθέσαμε δυο φορές,

και ο,τι βρούμε θα το αφαιρέσουμε από το σύνολο όλων των ακεραίων που έχουμε κάθε φορά

Γνωρίζοντας την συνάρτηση $\displaystyle{[x]}$ που ονομάζεται ακέραιο μέρος του $\displaystyle{x}$

και πως το πλήθος των πολλαπλασίων του θετικού ακεραίου $\displaystyle{k}$ από το $\displaystyle{1}$ μέχρι το $\displaystyle{\nu}$ ισούται με $\displaystyle{\left[\frac{\nu}{k}\right]}$

έχουμε πως από το $\displaystyle{1}$ μέχρι το $\displaystyle{2012}$ περιέχονται $\displaystyle{ \left[\frac{2012}{3}\right]+ \left[\frac{2012}{8}\right]- \left[\frac{2012}{24}\right]= 670+251-83=838$ διαφορετικοί αριθμοί

και από το $\displaystyle{1}$ μέχρι το $\displaystyle{100}$ περιέχονται $\displaystyle{ \left[\frac{100}{3}\right]+ \left[\frac{100}{8}\right]- \left[\frac{100}{24}\right]=33+12-4=41$ διαφορετικοί αριθμοί

οπότε τελικά μένουν $\displaystyle{(2012-100) -(838-41)=1912-797=1115}$ αριθμοί στον πίνακα.

Υ.Γ. Μια παρόμοια άσκηση με διαφορετική λύση βρίσκεται εδώ

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:4.Δίνονται τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x) = (x -1)(x + 1)(x-2)(x+ 2)}$ και $\displaystyle{Q(x) = (\alpha x^2 + \beta x)(\gamma x^2 + \delta) + 4}$ , όπου $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb{ R}}$ .
Αν ισχύει ότι $\displaystyle{\alpha +\beta +\gamma+\delta =-3}$ , να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb{ R}}$ για τις οποίες τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ και $\displaystyle{Q(x)}$ είναι ίσα.

$\displaystyle{P(x) = (x -1)(x + 1)(x-2)(x+ 2) =(x^2-1)(x^2-4)=x^4-4x^2-x^2+4=x^4-5x^2+4}$

$\displaystyle{Q(x) = (\alpha x^2 + \beta x)(\gamma x^2 + \delta) + 4=\alpha\gamma x^4+\beta \gamma x^3+\alpha \delta x^2+ \beta \delta x +4}$

Δυο μη μηδενικά πολυώνυμα είναι ίσα όταν έχουν ίδιο βαθμό και ίσους τους ομοβάθμιους συντελεστές.

άρα για να είναι ίσα τα $\displaystyle{P(x) ,Q(x)}$ πρέπει και αρκεί να είναι και τα δυο τετάρτου βαθμού και

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \alpha\gamma =1 \\ \beta \gamma=0 \\ \alpha \delta=-5 \\ \beta \delta=0 \\ 4=4 \end{matrix}\right} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha\gamma =1 \ne 0 \\ \gamma \ne 0 \\ \beta \gamma=0 \\ \alpha \delta=-5 \ne 0 \\ \delta\ne 0 \\ \beta \delta=0 \end{matrix}\right} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha\gamma =1 \\ \beta =0 \\ \alpha \delta=-5 \\ \beta =0 \end{matrix}\right} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha\gamma =1 \ne 0 \\ \alpha \delta=-5 \\ \beta =0 \end{matrix}\right}\Rightarrow }$ $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \displaystyle\frac{\alpha \delta}{\alpha\gamma }=\frac{-5}{1} \Leftrightarrow \delta=-5\gamma \\ \displaystyle\frac{\alpha\gamma}{\gamma} =\frac{1}{\gamma} \Leftrightarrow \alpha= \frac{1}{\gamma} \\ \beta =0 \end{matrix}\right} }$ (1)

Αφού $\displaystyle{\alpha +\beta +\gamma+\delta =-3}$ , λόγω των σχέσεων (1) έχουμε

$\displaystyle{\frac{1}{\gamma} +0 +\gamma-5\gamma=-3 \mathtop \limits{_{\Longleftrightarrow}^{\gamma \ne 0} \gamma\frac{1}{\gamma} -4\gamma \cdot \gamma=-3\gamma \Leftrightarrow 1-4\gamma ^2=-4\gamma \Leftrightarrow 4\gamma^2-3\gamma-1=0}$

οπότε $\displaystyle{ \gamma_{1,2}=\frac{3\pm5}{8}\Rightarrow \gamma_{1}=1\, , \, \gamma_{2}=-\frac{1}{4}}$

Για $\displaystyle{\gamma=1}$ έχουμε :

$\displaystyle{ \alpha= \frac{1}{\gamma} = \frac{1}{1} =1}$

$\displaystyle{\beta =0}$

$\displaystyle{\delta=-5\gamma =-5 \cdot 1 =-5}$

οπότε μια λύση είναι η $\displaystyle{( \alpha,\beta ,\gamma, \delta )=(1,0,1,-5)}$ .

Για $\displaystyle{\gamma=-\frac{1}{4}}$ έχουμε :

$\displaystyle{ \alpha= \frac{1}{\gamma} = \frac{1}{\displaystyle -\frac{1}{4}} =-4}$

$\displaystyle{\beta =0}$

$\displaystyle{\delta=-5\gamma =-5 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) =\frac{5}{4}}$

και η άλλη λύση είναι η $\displaystyle{( \alpha,\beta ,\gamma, \delta )=\left(-4,0,-\frac{1}{4},\frac{5}{4}\right)}$ .

parmenides51 · #8

parmenides51 έγραψε:4. Να προσδιορίσετε τριψήφιο θετικό ακέραιο $\displaystyle{A =\overline{\alpha \beta \gamma }= 100\alpha + 10\beta +\gamma }$ , αν ισχύουν και οι τρεις επόμενες προτάσεις:
(i) $\displaystyle{A - B = 198}$ , όπου $\displaystyle{B =\overline{\gamma \beta \alpha }= 100\gamma + 10\beta + \alpha }$ ,
(ii) Η εξίσωση $\displaystyle{\frac{x+\alpha -2\gamma }{2\alpha -\gamma }-\frac{\alpha -2\gamma }{x} = 1}$ , έχει δύο ρίζες με άθροισμα $\displaystyle{4}$ .
(iii) Ο αριθμός $\displaystyle{A}$ διαιρείται με το $\displaystyle{9}$ .

$\displaystyle{ 198=A - B =\overline{\alpha \beta \gamma }-\overline{\gamma \beta \alpha }= 100\alpha +10 \beta+ \gamma -(100\gamma +10 \beta+\alpha )}$

$\displaystyle{198=100\alpha +10 \beta+ \gamma -100\gamma -10 \beta-\alpha =100\alpha-\alpha +10 \beta -10 \beta+ \gamma -100\gamma =99\alpha -99\gamma=99(\alpha-\gamma)}$

οπότε $\displaystyle{99(\alpha-\gamma)=198 \Leftrightarrow \frac{99(\alpha-\gamma)}{99}=\frac{198}{99} \Leftrightarrow \alpha-\gamma=2 \Leftrightarrow \alpha=\gamma+2}$ (1)

οπότε $\displaystyle{2\alpha -\gamma=2(\gamma+2)-\gamma= 2\gamma+4-\gamma=2\gamma-\gamma+4=\gamma+4}$

και $\displaystyle{\alpha -2\gamma=\gamma+2-2\gamma=\gamma-2\gamma+2=-\gamma+2}$

οπότε η εξίσωση $\displaystyle{\frac{x+\alpha -2\gamma }{2\alpha -\gamma }-\frac{\alpha -2\gamma }{x} = 1}$ γίνεται $\displaystyle{ \frac{x-\gamma+2}{\gamma+4 }-\frac{-\gamma+2 }{x} = 1}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow x(\gamma+4 )\frac{x-\gamma+2}{\gamma+4 }-x(\gamma+4 )\frac{-\gamma+2 }{x} =x(\gamma+4 ) 1 \Leftrightarrow x(x-\gamma+2)-(\gamma+4 )(-\gamma+2)=x(\gamma+4 )}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow x(\gamma+4 )\frac{x-\gamma+2}{\gamma+4 }+x(\gamma+4 )\frac{\gamma-2 }{x} =x(\gamma+4 ) 1 \Leftrightarrow x(x-\gamma+2)+ (\gamma+4 )(\gamma-2)=x(\gamma+4 )}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow x(x-\gamma+2)+ (\gamma+4 )(\gamma-2)-x(\gamma+4 )=0 \Leftrightarrow x(x-\gamma+2)+ (\gamma+4 )(\gamma-2-x )=0}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow x(x-\gamma+2)- (\gamma+4 )(x-\gamma+2)=0 \Leftrightarrow (x-\gamma+2)\left(x- (\gamma+4 )\right)=0 }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow x=\gamma-2}$ ή $\displaystyle{x =\gamma+4}$

οπότε οι δυο ρίζες έχουν άθροισμα $\displaystyle{\gamma-2 +\gamma+4=\gamma+\gamma-2+4=2\gamma+2=4 \Rightarrow 2\gamma=4-2 \Leftrightarrow \gamma=1}$

οπότε από (1) έχουμε $\displaystyle{\alpha=\gamma+2=1+2=3}$ και ψάχνουμε το $\displaystyle{\beta}$

Αφού ο αριθμός $\displaystyle{A =\overline{\alpha \beta \gamma }=\overline{3 \beta 1}}$ διαιρείται με το $\displaystyle{9}$ , το άθροισμα των ψηφίων του θα διαιρείται με το $\displaystyle{9}$ .

οπότε ο αριθμός $\displaystyle{3+ \beta +1=\beta +4}$ πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{9}$ .

Αφού ο αριθμός $\displaystyle{ \beta}$ είναι ψηφίο και πρέπει το άθροισμα του με το $\displaystyle{4}$ να είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{9}$ , η μόνη δυνατή περίπτωση είναι έαν $\displaystyle{\beta=5}$ .

Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, το άθροισμα $\displaystyle{\beta +4}$ δεν είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{9}$ .

Άρα ο αριθμός $\displaystyle{A}$ είναι ο $\displaystyle{351}$ .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2011 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση