Ένα σύστημα για τον Ευκλείδη!

hlkampel · #2

matha έγραψε: $\displaystyle{\begin{cases}\displaystyle{x+y+\frac{y^2}{x}=14, \\ x^2+y^2+\frac{y^4}{x^2}=84}.\end{cases}}$

$\left\{ \begin{array}{l} x + y + \frac{{{y^2}}}{x} = 14\;\left( 1 \right)\\ {x^2} + {y^2} + \frac{{{y^4}}}{{{x^2}}} = 84\;\left( 2 \right) \end{array} \right.$ με $x \ne 0$

Η (2) γίνεται:

${\left( {x + y + \frac{{{y^2}}}{x}} \right)^2} - 2\left( {xy + {y^2} + \frac{{{y^3}}}{x}} \right) = 84\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$

$196 - 2\left( {xy + {y^2} + \frac{{{y^3}}}{x}} \right) = 84 \Leftrightarrow$

$\displaystyle{xy + {y^2} + \frac{{{y^3}}}{x} = 56 \Leftrightarrow y\left( {x + y + \frac{{{y^2}}}{x}} \right) = 56\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} 14y = 56 \Leftrightarrow y = 4}$

Με $\displaystyle{y = 4}$ η (1) γίνεται: $x + 4 + \frac{{16}}{x} = 14 \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 16 = 0 \Leftrightarrow x = 8\;\dot \eta \;x = 2$

Άρα οι λύσεις του συστήματος $\left( {x,y} \right)$ είναι: $\left( {8,4} \right),\;\left( {2,4} \right)$ οι οποίες το επαληθεύουν

#3

Ωραία!
Μια άλλη ιδέα, η οποία εφαρμόζεται σε ομογενείς παραστάσεις είναι και η εξής:

Ας θέσουμε $\displaystyle{y=ax.}$

Οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται

$\displaystyle{x(1+a+a^2)=14, ~x^2(1+a^2+a^4)=84.}$

Επειδή $\displaystyle{a^4+a^2+1=a^4+2a^2+1-a^2=(a^2-a+1)(a^2+a+1)}$

από τη δεύτερη εξίσωση, με χρήση της πρώτης, βρίσκουμε

$\displaystyle{x(a^2-a+1)=6}$

και τώρα τα πράγματα είναι πολύ απλά.

Ch.Chortis · #4

matha έγραψε: $\displaystyle{\begin{cases}\displaystyle{x+y+\frac{y^2}{x}=14, \\ x^2+y^2+\frac{y^4}{x^2}=84}.\end{cases}}$

Καλησπέρα σε όλα τα μέλη του forum.Λόγω διάφορων υποχρεώσεων δεν έχω γράψει εδώ και αρκετό καιρό αλλά χαίρομαι που βλέπω οτι το μεράκι των καθηγητών και των εξαίρετων μαθητών που περιστοιχίζουν το

όχι μόνο παρέμεινε αλλά αυξήθηκε.Συγχαρητήρια λοιπόν σε όλα τα μέλη για την προσπάθειά τους και ευτυχισμένος ο καινούργιος χρόνος.
Ας περάσουμε τώρα στα της άσκησης...
Η αρχική μου λύση ήταν όμοια με του hlkampel,αλλά με πρόλαβε οπότε σκέφτηκα μία άλλη(εξού και η καθυστέρηση).
Έχουμε:
$x^2+y^2+\dfrac {y^4} {x^2}=\left(x^2+2y^2+\dfrac {y^4}{x^2}\right)-y^2=\left(x+\dfrac {y^2}{x}\right)^2-(y)^2\\=\left(x+y+\dfrac {y^2}{x}\right)\left(x-y+\dfrac {y^2}{x}\right)=84$
και αφού: $\left(x+y+\dfrac {y^2}{x} \right)=14$ βρίσκουμε:
$14(x-y+\dfrac {y^2}{x})=84\Leftrightarrow x-y+\dfrac {y^2}{x}=6$ .
Άρα το σύστημα γίνεται:
$\displaystyle{\begin{cases}\displaystyle{x+y+\frac{y^2}{x}=14, \\ x-y+\frac{y^2}{x}=6}.\end{cases}}\Leftrightarrow \\ \displaystyle{\begin{cases}\displaystyle{x+\frac{y^2}{x}=14-y, \\ x+\frac{y^2}{x}=6+y}.\end{cases}}$

άρα $14-y=6+y \Leftrightarrow \boxed {y=4}$
οπότε αντικαθιστώντας σε μία από τις δύο εξισώσεις,προκύπτει:
$x+\dfrac {16} {x}=10 \Leftrightarrow x^2+16=10x \Leftrightarrow x^2-10x+16=0 \Leftrightarrow (x-8)(x-2)=0 \Leftrightarrow \\ \boxed {x=8~or~x=2}$

Ένα σύστημα για τον Ευκλείδη!

Ένα σύστημα για τον Ευκλείδη!

Re: Ένα σύστημα για τον Ευκλείδη!

Re: Ένα σύστημα για τον Ευκλείδη!

Re: Ένα σύστημα για τον Ευκλείδη!

Μέλη σε σύνδεση