Rolle

vanalex · #1

Καλησπέρα, ένα θέμα στο θεώρημα Rolle που μ' άρεσε, όσον αφορά την εύρεση της αρχικής συνάρτησης:

Έστω η συνάρτηση

η οποία είναι συνεχής στο [0,1]

, παραγωγίσιμη στο (0,1)

και ισχύει f(x)>0

, για κάθε $x\in [0,1]$ . Αν f(0)=ln2

και

,

να δείξετε ότι υπάρχει $x_{0}\in(0,1)$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f'\left(x_{0} \right)=2x_{0}\left(1-e^{-f(x_{0})} \right)}$ .

#2

$\displaystyle{e^{f(x)-x^2}-e^{-x^2}}$

Δε χρειάστηκε το f(x)>0...

dennys · #3

Θέτουμε

και με πράξεις καταλήγω $\displaystyle f{'}(x)=2x-2xe^{-f(x)}$ ,

$\displaystyle e^{f(x)}f{'}(x)=2x(e^{f(x)}-1)\Rightarrow (e^{f(x)}-1){'}-2x(e^{f(x)}-1)=0.$

Αν θέσω $g(x)=e^{f(x)}-1$ η σχέση μου γίνεται

g{'}(x)-2xg(x)=0

που με το τέχνασμα του

γίνεται $(g(x)e^{-x^2}){'}=0$ .

Αν τώρα θέσω $h(x)=g(x)e^{-x^2}$ , τότε αυτή είναι συνεχής στο [0,1]

,

παραγωγίσιμη στο (0,1)

και $h(0)=g(0)=e^{f(0)}-1=1, h(1)=g(1)e^{-1}=(e^{f(1)}-1)e^{-1}=1$ .

Άρα από Θ. Ρολλ, υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_o: h{'}(x_o)=0$ .....

Edit από Γενικούς Συντονιστές

vanalex · #4

Ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας!

Rolle

Rolle

Re: Rolle

Re: Rolle

Re: Rolle

Μέλη σε σύνδεση