Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Ασκηση
Αν 0<x<1 , τότε $\displaystyle{ \pi < \frac{{\eta \mu (\pi x)}}{{x(1 - x)}} \le 4 }$ .

Στην αρχή μου φάνηκε όχι τόσο "καλή"=εύκολη για δημοσίευση, όμως διαπίστωσα στην πορεια ότι αξιζει να ασχοληθει κανεις!

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Ασκηση
Αν 0<x<1 , τότε $\displaystyle{ \pi < \frac{{\eta \mu (\pi x)}}{{x(1 - x)}} \le 4 }$ .

Στην αρχή μου φάνηκε όχι τόσο "καλή"=εύκολη για δημοσίευση, όμως διαπίστωσα στην πορεια ότι αξιζει να ασχοληθει κανεις!

Ναί είναι ωραία άσκηση. Αν θυμάμαι καλά την έχω στο βιβλίο μου, αλλά την πήρα από τον Hardy, Pure Mathematics, άσκηση 31 σελίς 277.

Βάζω και μία παρεμφερή αλλά πολύ ευκολότερη (μονολεκτική απάντηση): x(1-x)sin(πx) $\le$ 1/4 sto [0,1]

(έκανα μία αλλαγή -διόρθωση- στην τελευταία γραμμή)

#3

Αν θέλουμε να αποφύγουμε τα τρικ κάνουμε πίνακα μονοτονίας για την $\displaystyle{f(x)=sin(\pi x)-\pi x(1-x)}}$ ξεκινώντας από την τρίτη παράγωγο και προσέχοντας τις τιμές της f και των παραγώγων της στα 0 , 1/2 , 1

Δυστυχώς λόγω απροσεξίας sinb<b αρα η λύση με το τρικ είναι ΛΑΘΟΣ και γιαυτό την σβήνω
Noμίζω όμως ότι μπορεί να σωθεί με μια μικρή αλλαγή

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #4

Kαλησπέρα μετα την υπόδειξη του κ Μπόρη,
f'(x)=πσυν(πχ)-π(1-2χ), f ''(x)=π(2-πημ(πχ)), f'''(x)= $-\pi ^{3}\sigma \upsilon \nu \left(\pi x \right)$ .Διαπιστώνουμε ότι η τριτη παραγωγος ειναι θετικη για χ στο [1/2, 1) και αρνητικη στο (0,1/2) δηλαδή η f'' γνησιως φθινουσα στο (0,1/2) και γνησιως αυξουσα στο (1/2,1). Ομως δεν μπορω να προσδιορισω το προσημο της f '' αφού $f''\left(\frac{1}{2} \right)=\pi \left(2-\pi \right)<0$ , $f''(0)=2\pi >0 , f''(1)=2\pi >0$ και η μονοτονια της f'' δεν βοηθα...κατι δεν μου παει καλά , οποιος εχει λιγο χρονο ας ριξει μια ματιά.Ευχαριστώ.

#5

Τελικά μάλλον μπορώ να εξηγήσω γιατί το τεχνασμα δεν έπιασε
Στηριζόμουν στην $\displaystyle{ sin(\pi x)>2x}$ Αυτή προέρχεται από την κυρτότητα (sinx= η συνάρτηση 2x/π η χορδή της) η οποία καθορίζεται από το ακρότατο της =1 στο π/2 και το αρχικό σημείο (0,0). Φαντάστηκα ότι με χρήση μόνο αυτής και με την συμμετρία ως προς την x=1/2 κάτι θα προέκυπτε Αν όμως αντί της f έφτιαχνα πχ την $\displaystyle{f^{1/3}}$ αυτή θα είχε την ίδια χορδή αλλά θα ήταν πιο "φουσκωμένη" οπότε θα άλλαζε το κάτω φράγμα π ή θα χρειαζόταν βοήθεια από άλλη ανισότητα που δεν θα στηριζόταν στην κυρτότητα

: Clipboard04.png (2.73 KiB) Προβλήθηκε 1780 φορές

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Ασκηση
Αν 0<x<1 , τότε $\displaystyle{ \pi < \frac{{\eta \mu (\pi x)}}{{x(1 - x)}} \le 4 }$ .

Στην αρχή μου φάνηκε όχι τόσο "καλή"=εύκολη για δημοσίευση, όμως διαπίστωσα στην πορεια ότι αξιζει να ασχοληθει κανεις!

Για την αριστερή ανισότητα: Λόγω συμμετρίας περί τον άξονα χ = 1/2 αρκεί να εργαστούμε μόνο στο (0, 1/2].

Ορίζουμε f(x) = sin(πx) - πx(1-x) στο [0,1/2].
Είναι f '(x) = π(cos(πx) - (1-2x)) . Καθώς η cos(πx) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ενώ
οι cos(πx) και 1-2x διέρχονται και οι δύο από τα σημεία (0,1), (1/2, 0) σημαίνει ότι η y = 1-2x είναι χορδή της y = cos(πx) η οποία βρίσκεται εξ ολοκλήρου κάτω από την καμπύλη. Συνεπώς f '(x) θετική και f αύξουσα. Άρα για x > 0 είναι sin(πx) - πx(1-x) > 0, που δίνει την αριστερή ανισότητα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#7

είναι στο $\displaystyle{(0.1/2]}$ λόγω συμμετρίας $\displaystyle{(fx)=f(1-x))}$
$\displaystyle{f'''(x)=\pi ^3cos(\pi x)}$ εύκολα πρόσημο και ρίζες
$\displaystyle{f'' \downarrow ,f''(0)>0,f''(1/2)<0}$ υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{a:f''(a)=0}$ άρα εύκολο πρόσημο
$\displaystyle{f' \uparrow ,0<x\le a,f'(0)=0}$ άρα εύκολο πρόσημο και $\displaystyle{f' \downarrow ,a<x\le 1/2 ,f'(1/2)=0}$ άρα εύκολο πρόσημο
$\displaystyle{f \uparrow ,0<x\le1/2,f(0)=0}$

: Clipboard05.png (3.83 KiB) Προβλήθηκε 1720 φορές

Κλασικός τρόπος που προσπάθησα να συντομεύσω με κυρτότητα και το έκανε ο Μιχάλης τον οποίο και ευχαριστώ

#8

Μια λύση της άσκησης υπάρχει στο βιβλίο "Problems in Mathematical Analysis II", W.J. Kaczor, M.T.Nowak, AMS.
Είναι το πρόβλημα 2.5.29, σελ. 72.

Αχιλλέας

Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

Re: Ανω και κάτω φράγμα συναρτησης

Μέλη σε σύνδεση