Δίνεται γωνία...

[S.E.Louridas]

Δίνεται γωνία .
Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων του χώρου, τέτοιων που το άθροισμα των προβολών του ευθύγραμμου τμήματος επί των πλευρών της γωνίας μας να ισούται με δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα.

[Γιώργος Μήτσιος]

Γ.Τ-27-1..JPG (26 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

Καλημέρα.
Η άσκηση , Σωτήρη , λειτουργεί ως ισχυρός μαγνήτης ...ας προσπαθήσουμε:

Στο επίπεδο της πρώτα . Ας είναι το δοσμένο τμήμα. Στις παίρνουμε , ενώ είναι . Φέρνουμε
οπότε το είναι σταθερό.
Σχηματίζουμε το παρ/μο στο οποίο οι αποστάσεις στα 2 ζεύγη παραλλήλων του είναι ίσες συνεπώς είναι ρόμβος και η διχοτομεί τις γωνίες.
Αφού και το ειναι ισοκελές προκύπτει .
Έτσι το κινείται σε ευθεία από το παράλληλη στην με όρια τα όπου .

Με αντίστροφη πορεία μπορούμε να δείξουμε ότι κάθε σημείο του ικανοποιεί την ιδιότητα του τόπου . Άρα , στο επίπεδο ο Γ.Τ είναι το ευθ. τμήμα .

Ας θεωρήσουμε τώρα το επίπεδο κάθετο στο με κοινή ευθεία την και τις ευθείες του από τα κάθετες στο επίπεδο .
H ζώνη του επιπέδου με όρια τις είναι (τουλ. όπως το αντιλαμβάνομαι)
ο Γεωμετρικός Tόπος στο χώρο του με την ζητούμενη ιδιότητα.
Αν σημείο της ζώνης αυτής προβάλλεται στην στο τότε είναι άρα από Θ. 3 καθέτων και ομοίως δηλ. το είναι σημείο του τόπου.

Φιλικά Γιώργος.

[KDORTSI]

Σωτήρη καλησπέρα.
Στον ωραίο αυτό γεωμετρικό τόπο και στη σωστή λύση του Γιώργου επιτρέψτε μου
να παραθέσω και μια άλλη άποψη με τρία σχήματα.

Πρώτο σχήμα:

Σταθερή προβολή 1.PNG (7.46 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές

Στο σχήμα αυτό σχεδιάστηκε με ακριβή τρόπο και με δυναμικό χαρακτήρα
μια "αλυσίδα" χρώμάτος κόκκινου. Το μήκος της γραμμής αυτής είναι σταθερό
και μπορεί κανείς να μεταβάλλει τη θέση της γραμμής αυτής αλλάζοντας τη θέση του σημείου .
Ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο αποδείχνεται ότι διέρχεται από σταθερό σημείο.
Το σημείο αυτό είναι το , πάνω στη διχοτόμο της σταθερής γωνίας .
Μια απόδειξη γίνεται με τη βοήθεια του πρώτου θεωρήματος του Πτολεμαίου.
(Σωτήρη θυμάσαι το θέμα αυτό στο συνέδριο της Χαλκίδας πιστεύω)

Δεύτερο σχήμα:

Στεθερή προβολή 1α.PNG (10.27 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές

Στο σχήμα αυτό εφόσον το σημείο είναι σταθερό, σταθερή θα είναι και η ευθεία η κάθετη στη
διχοτόμο της γωνίας στο σημείο αυτό(η πράσινη ευθεία).
Η τομή της με τον περιγεγραμμένο κύκλο που αναφέρθηκε στο προηγούμενο σχήμα δίνει
ένα σημείο ώστε οι προβολές του τμήματος στις πλευρές της γωνίας να έχουν σταθερό μήκος.
Αν περιοριζόμασταν στο επίπεδο τότε ο ζητούμενος γ.τ. θα ήταν η πράσινη αυτή γραμμή(ολόκληρη και χωρίς άκρα)
διότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο αποτελεί μια δέσμη κύκλων που διέρχονται από τα σταθερά σημεία
και τα κέντρα των κύκλων της δέσμης αυτής κινούνται στη μεσοκάθετη της .

Τρίτο σχήμα:

Σταθερή προβολή 2.PNG (86.27 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές

Επειδή ζητούμε το γ.τ. στο χώρο, όπως φαίνεται κι από το σχήμα αυτό, ο ζητούμενος γ.τ. θα είναι ολόκληρο
το επίπεδο που είναι κάθετο στο επίπεδο της γωνίας και μάλιστα διερχόμενο από την ευθεία .

Σταθερό μήκος 1.fig

(4.39 KiB) Μεταφορτώθηκε 29 φορές

Σταθερή προβολή 2.cg3

(54.31 KiB) Μεταφορτώθηκε 29 φορές

Κώστας Δόρτσιος

[S.E.Louridas]

Ευχαριστώ ειλικρινά και κατ' αρχάς τον Γιώργο για την πραγματικά Άριστη παρέμβαση του.
Κώστα βεβαίως και είναι χαραγμένη στο μυαλό μου η Καταπληκτική εισήγηση σου στο συνέδριο, αφού ήταν μία εισήγηση που έδωσε ζωή και κίνηση στο Δύσκολο Γεωμετρικό γίγνεσθαι που εκεί αναφέρθηκες. Θα ήθελα να σου εξομολογηθώ ότι όποτε προτείνω θέματα από την Γεωμετρία του χώρου (και όχι μόνο) εύχομαι μέσα μου να είσαι και εσύ κάπου κοντά για να τα δείς και να τα διαπραγματευτείς με τον μοναδικό σου τρόπο...
Πράγματι το παραπάνω θέμα που πρότεινα, είναι μία "ισομορφική" ας πούμε μεταφορά του θεωρήματος του Maclairin από τον χώρο των δύο διαστάσεων στον χώρο των τριών διαστάσεων. Έτσι δικαιολογείται η αναφορά σε σταθερό σημείο της διχοτόμου από όπου περνά ο κύκλος, λόγω του σταθερού αθροίσματος.

[Γιώργος Μήτσιος]

Καλημέρα Σωτήρη και Κώστα , από την Άρτα.

Ευχαριστώ πολύ για τα επαινετικά λόγια , νοιώθοντας μεγάλη τιμή και ικανοποίηση που συμμετέχω σ' αυτήν
τη συζήτηση.
Θα ήθελα μόνο να εξηγήσω γιατί θεωρώ , αν μείνουμε στο επίπεδο , ότι ο γ.τ . του είναι το τμήμα .

Αν πάρουμε το εκτός του (στο σχήμα αριστερά του ) τότε
το δεν προβάλλεται στην ημιευθεία αλλά στην αντικείμενή της, άρα κατά την ταπεινή μου γνώμη
δεν υπάρχει (ορθή ) προβολή του σε μια πλευρά της γωνίας.

Φιλικά Γιώργος.

Γ.Τ.27-1.JPG (22.17 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές

[KDORTSI]

Γιώργο, ναι έχεις δίκιο. Ο γ.τ. δεν είναι ολόκληρη η ευθεία όπως αρχικά ανάφερα, αλλά ένα ευθύγραμμο τμήμα όπως το όρισες εσύ.
Ευχαριστώ για τη διόρθωση.

Για την αποκατάσταση αναρτώ ένα ακόμα σχήμα όπου φαίνονται ακριβώς οι γ.τ. του κέντρου του κύκλου
καθώς και του πέρατος του τμήματος που προβάλλεται στις πλευρές της γωνίας αυτής σε τμήματα σταθερού μήκος.

Σταθερή προβολή 3.PNG (14.23 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

Τα όρια προσδιορίζονται στο ανωτέρω σχήμα από τις οριακές θέσεις των κύκλων αυτών
οι οποίοι διέρχονται από τα σταθερά σημεία .
Στις οριακές αυτές θέσεις οι κύκλοι αυτοί διέρχονται κάθε φορά και από τα σημεία των πλευρών της γωνίας που απέχουν
από την κορυφή απόσταση ίση με το σταθερό άθροισμα των προβολών. Έτσι τα δύο σταθερά σημεία που αναφέρθηκαν
και το τρίτο σημείο στην κάθε πλευρά, ορίζουν τις οριακές θέσεις των κύκλων , άρα και των κέντρων δηλαδή τα , άρα και των
ζητούμενων σημείων δηλαδή τα σημεία
Κατ' επέκταση στο χώρο ο ζητούμενος γ.τ. είναι μια κάθετη επίπεδη ζώνη προς το επίπεδο της γωνίας
και η οποία ορίζεται από το τμήμα .

Για καλύτερη κατανόηση παραθέτω και το δυναμικό σχήμα.

Σταθερό μήκος 1.fig

(6.08 KiB) Μεταφορτώθηκε 27 φορές

Κώστας Δόρτσιος

[S.E.Louridas]

Γιώργο και Κώστα Καλή σας μέρα.
Το μόνο πλέον που έχω να συμπληρώσω είναι ότι θα μπορούσε να ζητηθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του χώρου, όταν όπου τα ευθύγραμμα τμήματα είναι οι προβολές του στις πλευρές της γωνίας , οι συντελεστές είναι δοθέντες πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του 0 (μηδέν) και το είναι δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.
Τότε το σταθερό σημείο «εκκίνησης» δεν θα ήταν πάνω στην διχοτόμο της επίπεδης γωνίας μας, αλλά πάνω σε σταθερή ευθεία ομοεπίπεδη με την γωνία , διερχόμενη από το σημείο που θα είχε την ιδιότητα ο λόγος των αποστάσεων των σημείων της από τις πλευρές της γωνίας , να είναι .

[KDORTSI]

Σταθερή προβολή 4.PNG (26.23 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Σωτήρη και Γιώργο καλημέρα.

Αν αντί για τη γωνία θεωρήσουμε τις δύο τεμνόμενες ευθείες και αναζητήσουμε τον αντίστοιχο
γεωμετρικό τόπο, δηλαδή τα σημεία που οι προβολές πάνω στις ευθείες αυτές να έχουν σταθερό άθροισμα τότε όπως
φαίνεται από το σχήμα ο ζητούμενος γ.τ. στο επίπεδο θα είναι η περίμετρος του ορθογωνίου και για
το χώρο θα είναι μια ορθή τετραγωνική πρισματική επιφάνεια με οδηγό την καμπύλη την ανωτέρω περίμετρο.
(Το σημείο είναι κι αυτό σταθερό και η είναι η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας και το σημείο μια άλλη θέση του )

Κάτι αντίστοιχο προκύπτει και στο νέο ερώτημα του Σωτήρη.

Κώστας Δόρτσιος

[S.E.Louridas]

Γεια σας,
Απλά θα παραθέσω την συμπεριφορά των δεδομένων στο επίπεδο της γωνίας μας επεξηγώντας εν τάχει την σταθερότητα σημείου διαφορετικού από το σημείο από το οποίο διέρχεται ο κύκλος .
Έστω η ευθεία σαν γεωμετρικός τόπος των σημείων που ο λόγος των αποστάσεων των σημείων της από τις πλευρές της γωνίας είναι
.
Από την ομοιότητα των ορθογώνιων τριγώνων παίρνουμε
.

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου έχουμε
(*)

που είναι σταθερό ευθύγραμμο τμήμα καθότι το τρίγωνο διατηρεί τις γωνίες του (δηλαδή καθ’ όλη τη διάρκεια της κίνησης παραμένει όμοιο προς εαυτόν, αφού η είναι σταθερή ευθεία, συνεπώς ο λόγος είναι σταθερός αριθμός).
Κατά τα άλλα η μετάβαση στον χώρο των τριών διαστάσεων γίνεται σύμφωνα με τις Υποδειγματικά Γεωμετρικές παρεμβάσεις που ήδη "απολαύσαμε διδασκόμενοι".

(*) Στο ίδιο συμπέρασμα μπορούμε να καταλήξουμε και χωρίς την παρέμβαση του θεωρήματος του Πτολεμαίου, με πολύ ενδιαφέροντα τρόπο που αξίζει τον κόπο να ασχοληθεί κανείς με αυτόν.