Ελάχιστοι ακέραιοι μιας μορφής

#1

Προσδιορίστε τους δύο μικρότερους φυσικούς αριθμούς της μορφής 7m^2 − 11n^2

όπου

και

φυσικοί αριθμοί.

#2

socrates έγραψε:Προσδιορίστε τους δύο μικρότερους φυσικούς αριθμούς της μορφής όπου και φυσικοί αριθμοί.

Θα αποδείξουμε ότι αν

και

είναι θετικοί ακέραιοι τότε οι δύο μικρότεροι θετικοί ακέραιοι της μορφής 7m^2 − 11n^2

είναι οι

και

Είναι $x^2\equiv 0,1,2,4\left(\mod7 \right)$ και $x^2\equiv 0,1,3,4,5,9\left(\mod11 \right)$ για κάθε $x\in\mathbb{Z}.$

Έστω m,n,k

θετικοί ακέραιοι ώστε 7m^2 − 11n^2=k.

Τότε $k\equiv 3n^2\left(\mod7 \right)$ οπότε $k\equiv 0,3,5,6\left(\mod 7\right)$ .
Επίσης $k\equiv 7m^2\left(\mod 11\right)$ οπότε $k\equiv 0,2,6,7,8,10\left(\mod 11\right)$ .

Άρα $k\neq 0,1,2,3,4,5,8,9,11,12$

Μια πρώτη πιθανή τιμή είναι το

Η εξίσωση

έχει ακέραιες λύσεις $\left(11k+4,7k+2 \right),k\in\mathbb{Z}.$
Αν m^2=11k+4

και

τότε

που είναι αδύνατη στους ακεραίους.

Η επόμενη πιθανή τιμή είναι το

Αν

τότε

και έτσι καταλήγουμε στην εξίσωση Pell m^2-77z^2=1

η οποία, καθώς και η αρχική, έχει άπειρες λύσεις.
(Για παράδειγμα, $7\cdot 351^2-11\cdot 280^2=7$ )

Εξετάζουμε την περίπτωση 7m^2 − 11n^2=10.

Τότε

και

οπότε

που είναι αδύνατη στους ακεραίους.

Τέλος εφόσον $7\cdot 4^2-11\cdot 3^2=13$ , το

είναι λύση.

Ελάχιστοι ακέραιοι μιας μορφής

Ελάχιστοι ακέραιοι μιας μορφής

Re: Ελάχιστοι ακέραιοι μιας μορφής

Μέλη σε σύνδεση