Λάθος (;;;) στις απαντήσεις του Mathematica???

Θωμάς Ποδηματάς · #1

Χαιρετώ την εκλεκτή παρέα του

Συνάδελφοι, σήμερα στο μάθημα κοιτάγαμε τις απαντήσεις του mathematica στα θέματα του 2012 και μάλλον κάτι δεν πάει καλά στα Δ1 στις απαντήσεις (4η έκδοση από latex)... Έτσι νομίζω τουλάχιστον και θα ήθελα από την εκλεκτή παρέα αν είναι δυνατόν ας το ελέγξει, μήπως εγώ κάτι δεν βλέπω

...

Συγκεκριμένα, στη σελίδα 13 του δελτίου, στο σημείο που λέει "εναλλακτικά για την απόδειξη της παραγωγισιμότητας της πριν την εύρεση του τύπου της"
στην περίπτωση $\displaystyle{ 0 < x < 1 }$ γράφει ότι : $\displaystyle{ - \int_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e < e \ne 0 }$

(νομίζω ότι το

είναι τυπογραφικό λάθος), αλλά το θέμα μου δεν είναι αυτό... Το θέμα μου είναι ότι μία ποσότητα

δεν σημαίνει ότι είναι και $\ne 0$ ώστε να μπορώ να διαιρέσω με αυτή...

Ίσως κάτι δε βλέπω...

Θεωρώ ότι μια πολύ πιό εύκολη αντιμετώπιση θα ήταν η εξής :

Δίνεται ότι $\displaystyle{ \ln x - x = \left( {\int_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e} \right)f\left( x \right),\forall x > 0 \,\,\,\, (1)}$

(αφού έχουμε βρεί ότι f(x)<0

). Αλλά από εφαρμογή του Σχολικού, γνωρίζουμε ότι : $\displaystyle{ \ln x \le x - 1 \Leftrightarrow \ln x - x \le - 1 < 0 }$

δηλαδή $\displaystyle{ \ln x - x < 0 \,\, (2) }$

Έτσι η ποσότητα $\displaystyle{ \int_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e }$

αν γινότανε

θα είχαμε από την (1)

ότι $\ln x - x=0$ , πράγμα φανερά άτοπο εξ' αιτίας της (2)

.

Τέλος να σημειώσω ότι δε γίνεται λόγος για τη μοναδικότητα της ρίζας του ερωτήματος Δ4, που προφανώς ξεχάστηκε...

Ελπίζοντας ότι δεν μου ξέφυγε κάτι (

) καληνυχτίζω την εκλεκτή παρέα

Φιλικά

Θωμάς

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε:
Συγκεκριμένα, στη σελίδα 13 του δελτίου, στο σημείο που λέει "εναλλακτικά για την απόδειξη της παραγωγισιμότητας της πριν την εύρεση του τύπου της"
στην περίπτωση $\displaystyle{ 0 < x < 1 }$ γράφει ότι : $\displaystyle{ - \int_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e < e \ne 0 }$

Εγώ νομίζω ότι το λάθος δεν βρίσκεται στο μείον αλλά στην φορά της ανισότητας

Θωμάς Ποδηματάς · #3

Εγώ πάλι νομίζω ότι το σωστό είναι :

Ονομάζω $\displaystyle{ Q\left( t \right) = \frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}} > 0 }$
και έτσι όταν 0<x<1

θα έχω :
$\displaystyle{ \int_x^1 {Q\left( t \right)dt} > 0 \Leftrightarrow - \int_x^1 {Q\left( t \right)dt} < 0 \Leftrightarrow \int_1^x {Q\left( t \right)dt} < 0 \Leftrightarrow \underbrace {\int_1^x {Q\left( t \right)dt} + e}_{m\left( x \right)} < e }$
Ο συντελεστής της f(x)

είναι η ποσότητα m(x)

που αποδείχτηκε

που δεν σημαίνει $\ne 0$ . Αυτή είναι ο συντελεστής της f(x)

και όχι η ποσότητα $\displaystyle{ - \int_1^x {Q\left( t \right)dt + e} > e }$
που αποδεικνύει το δελτίο, διορθώνοντας τη λάθος φορά κατά τον Μάκη. Έτσι νομίζω τουλάχιστον...

Φιλικά

Θωμάς

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Θωμά συμφωνώ 100% με την προσέγγιση σου! Αν ήταν λάθος η φορά δεν θα είχαμε το συμπέρασμα

"...άρα για κάθε x>0

, ισχύει $\int_{1}^{x}{\frac{lnt-t}{f(t)}dt}+e\neq 0$ "

#5

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε: Συγκεκριμένα, στη σελίδα 13 του δελτίου, στο σημείο που λέει "εναλλακτικά για την απόδειξη της παραγωγισιμότητας της πριν την εύρεση του τύπου της"
στην περίπτωση $\displaystyle{ 0 < x < 1 }$ γράφει ότι : $\displaystyle{ - \int_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e < e \ne 0 }$

(νομίζω ότι το είναι τυπογραφικό λάθος), αλλά το θέμα μου δεν είναι αυτό... Το θέμα μου είναι ότι μία ποσότητα δεν σημαίνει ότι είναι και $\ne 0$ ώστε να μπορώ να διαιρέσω με αυτή...

Ίσως κάτι δε βλέπω...

Θωμά έχεις δίκιο! Θα διορθωθεί στις λύσεις, το συντομότερο. Να σημειώσω ότι αυτό αφορά την εναλλακτική προσέγγιση που υπάρχει στο τέλος των λύσεων.

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε: Θεωρώ ότι μια πολύ πιό εύκολη αντιμετώπιση θα ήταν η εξής :

Δίνεται ότι $\displaystyle{ \ln x - x = \left( {\int_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e} \right)f\left( x \right),\forall x > 0 \,\,\,\, (1)}$

(αφού έχουμε βρεί ότι ). Αλλά από εφαρμογή του Σχολικού, γνωρίζουμε ότι : $\displaystyle{ \ln x \le x - 1 \Leftrightarrow \ln x - x \le - 1 < 0 }$

δηλαδή $\displaystyle{ \ln x - x < 0 \,\, (2) }$

Έτσι η ποσότητα $\displaystyle{ \int_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e }$

αν γινότανε θα είχαμε από την ότι $\ln x - x=0$ , πράγμα φανερά άτοπο εξ' αιτίας της .

Θωμά πράγματι αυτή είναι η ευκολότερη προσέγγιση για το συγκεκριμένο θέμα για να αποδείξεις ότι ο συγκεκριμένος αριθμός είναι διαφορετικός από το μηδέν.

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε: Τέλος να σημειώσω ότι δε γίνεται λόγος για τη μοναδικότητα της ρίζας του ερωτήματος Δ4, που προφανώς ξεχάστηκε...

Επίσης έχεις δίκιο. Στις λύσεις που υπάρχουν σε αρχείο .doc σημειώνεται το θέμα της μοναδικότητας στο τέλος, απλά ξέφυγε από την επιτροπή σύνταξης των λύσεων σε $\LaTeX$ .

Θωμά ευχαριστούμε σε κάθε περίπτωση για τις παρατηρήσεις σου.

Αλέξανδρος

Επιτροπή Θεμάτων 12 · #6

Η παρατήρηση του συναδέλφου Θωμά Ποδηματά είναι σωστή και τον ευχαριστούμε για την επισήμανση. Η αιτιολόγηση της περίπτωσης 0<x<1

στην εναλλακτική λύση του Δ1 τόσο στην $\LaTeX$ -έκδοση, όσο και στην Word-έκδοση είναι ελλιπής.
Το συντομότερο δυνατόν θα ακολουθήσουν εκδόσεις ( $\LaTeX$ και Word ) με διορθωμένο το συγκεκριμένο σημείο.

Λάθος (;;;) στις απαντήσεις του Mathematica???

Λάθος (;;;) στις απαντήσεις του Mathematica???

Re: Λάθος (;;;) στις απαντήσεις του Mathematica???

Re: Λάθος (;;;) στις απαντήσεις του Mathematica???

Re: Λάθος (;;;) στις απαντήσεις του Mathematica???

Re: Λάθος (;;;) στις απαντήσεις του Mathematica???

Re: Λάθος (;;;) στις απαντήσεις του Mathematica???

Μέλη σε σύνδεση