Αδύνατη διοφαντική

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 3 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

socrates: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 6595; Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη; Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Ιστοσελίδα Facebook

Αδύνατη διοφαντική

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Φεβ 16, 2013 1:46 pm

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ζεύγος φυσικών αριθμών (m,n)

που ικανοποιεί την εξίσωση $4^n-2^{n-1}=m^3.$

Θανάσης Κοντογεώργης

spiros filippas: Δημοσιεύσεις: 252; Εγγραφή: Σάβ Οκτ 16, 2010 4:46 pm

Re: Αδύνατη διοφαντική

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spiros filippas » Σάβ Φεβ 16, 2013 4:16 pm

Η δοθείσα γράφεται ως

$2^{n-1}(2^{n+1}-1)=m^3$ και αφού $(2^{n-1},2^{n+1}-1)=1$ έπεται ότι

$2^{n-1}=m_1^3$ και $2^{n+1}-1=m_2^3$

Από την πρώτη έχουμε ότι n=3k+1

και αντικαθιστώντας στη δεύτερη θα είναι

$2^{3k+2}-1=4 \cdot 8^k-1\equiv \pm 4-1 mod 9$ , άτοπο αφού κανένα απο τα τα 2 δεν είναι κυβικο υπόλοιπο mod9

socrates: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 6595; Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη; Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Ιστοσελίδα Facebook

Re: Αδύνατη διοφαντική

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Φεβ 16, 2013 4:39 pm

Ωραία!

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και $\pmod 7...$

Θανάσης Κοντογεώργης

Απάντηση

3 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης