Πίνακες - Συστήματα (φοβάμαι ότι τα έχουμε ξεχάσει)

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Άσκηση – Πίνακες – Συστήματα (τα έχουμε ξεχάσει)
Έστω Α,Β,Γ νχν πίνακες με $\displaystyle{{\rm A}^2 = 0_{\nu \times \nu }}$
α) Να αποδείξετε ότι κάθε πίνακας αΙ – βΑ (με α, β πραγματικοί αριθμοί μη μηδενικοί) είναι αντιστρέψιμος, όπου Ι ο μοναδιαίος πίνακας νxν
β) Να λύσετε το σύστημα:
$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\beta {\rm A}{\rm X} + \Psi = {\rm B}} \\ {\alpha {\rm X} + \left( {{\rm I} + {\rm A}} \right)\Psi = {\rm B}} \\ \end{array}} \right.}$

#2

mac190604 έγραψε:Άσκηση – Πίνακες – Συστήματα (τα έχουμε ξεχάσει)
Έστω Α,Β,Γ νχν πίνακες με $\displaystyle{{\rm A}^2 = 0_{\nu \times \nu }}$
α) Να αποδείξετε ότι κάθε πίνακας αΙ – βΑ (με α, β πραγματικοί αριθμοί μη μηδενικοί) είναι αντιστρέψιμος, όπου Ι ο μοναδιαίος πίνακας νxν
β) Να λύσετε το σύστημα:
$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\beta {\rm A}{\rm X} + \Psi = {\rm B}} \\ {\alpha {\rm X} + \left( {{\rm I} + {\rm A}} \right)\Psi = {\rm B}} \\ \end{array}} \right.}$

α) Ο πίνακας C=aI-bA

είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του είναι ο $\displaystyle\frac{1}{a^2}C-\frac{2}{a}C$ ( $\star$ )

β) Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη από τις σχέσεις από αριστερά με I+A

και κατόπιν αφαιρούμε από τη δεύτερη. Χρησιμοποιώντας $A^2=\mathbb{O}$ παίρνουμε τελικά

(aI-bA)X=-AB

δηλαδή $X=-(aI-bA)^{-1}(AB)$ δηλαδή (από το προηγούμενο ερώτημα) $X=-\left(\displaystyle\frac{1}{a^2}C-\displaystyle\frac{2}{a}C\right)(AB)$ .

Τότε από την πρώτη παίρνουμε $\Psi=B-bAX$ κι έτσι βρίσκουμε και το ζητούμενο πίνακα $\Psi$

$(\star)$ Ο αντίστροφος αυτος δε βρέθηκε αυτόματα. Λύσαμε τη σχέση C=aI-bA

ως προς τον πίνακα

, κατόπιν αντικαθιστούμε στη σχέση $A^2=\mathbb{O}$ κι έτσι παίρνουμε τελικά ότι $a^2I-2aC+C^2=\mathbb{O}$ άρα C^2-2aC=a^2I

και διαιρώντας με $a^2\neq 0$ παίρνουμε $C\left(\displaystyle\frac{1}{a^2}C-\displaystyle\frac{2}{a}C\right)=I$ δηλαδή ο $\displaystyle\frac{1}{a^2}C-\frac{2}{a}C$ είναι ο αντιστροφος του

.
Αλέξανδρος

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Β΄τρόπος εύρεσης για τον αντίστροφο του aI-bA: Εγώ τον βρίσκω ως εξής:

Έστω ότι υπάρχει πίνακας $\displaystyle{\gamma {\rm I} + \delta {\rm A}}$ για τον οποίο ισχύει

$\displaystyle{\left( {\gamma {\rm I} + \delta {\rm A}} \right)\left( {\alpha {\rm I} - \beta {\rm A}} \right) = {\rm I}}$ δλδ

$\displaystyle{\alpha \gamma {\rm I} + \left( {\delta \alpha - \beta \gamma } \right){\rm A} - \beta \delta {\rm A}^2 = {\rm I}}$ κ λόγω της δοσμένης σχέσης παίρνουμε:
$\displaystyle{\alpha \gamma {\rm I} + \left( {\delta \alpha - \beta \gamma } \right){\rm A} = {\rm I}}$
Πρέπει να είναι αγ=1 και αδ - βγ =0 δλδ. $\displaystyle{\gamma = \frac{1}{\alpha }\^\delta = \frac{\beta }{{\alpha ^2 }}}$ και $\displaystyle{\delta = \frac{\beta }{{\alpha ^2 }}}$
οπότε ο αντίστροφος πίνακας είναι $\frac{1}{a}I+\frac{b}{a^2}A$
και κάνουμε επαλήθευση ότι ικανοποιεί τα δεδομένα

Μάκης Χατζόπουλος · #4

cretanman έγραψε:
mac190604 έγραψε: Πρέπει να είναι αγ=1 και αδ - βγ =0
Η γραμμή αυτή πρέπει να γίνει ( αγ=1 ) και (αδ-βγ=0 ή Α=0) (Αν πολλαπλασιάσεις με τον πίνακα Α τη σχέση αγΙ+(αδ-βγ)Α=0 θα διαπιστώσεις ότι πράγματι αυτό συμβαίνει). Αυτός είναι και ο λόγος που αν θέσεις από την αρχή τον αΙ-bA τότε δεν έχεις πλέον τέτοιου είδους προβλήματα διερεύνησης. Σου τα γράφω αυτά διότι μία σχέση της μορφής αΙ+βΑ = γΙ+δΑ ΔΕ συνεπάγεται απαραίτητα ότι α=γ και β=δ (εκτός βέβαια αν ισχύουν ειδικές προυποθέσεις: π.χ. $A\neq 0$ και $A^2=\mathbb{O}$ ή π.χ. οι πίνακες είναι γραμμικώς ανεξάρτητοι πάνω από το $\mathbb{R}$ )

Αλέξανδρος

Σωστά πρέπει να προσθέσω την σχέση ( αγ=1 ) και (αδ-βγ=0 ή Α=0) μου ξέφυγε τελείως, thanks Αλέξανδρε!

#5

mac190604 έγραψε:Β΄τρόπος εύρεσης για τον αντίστροφο του aI-bA: Εγώ τον βρίσκω ως εξής:

Υπάρχει καί άλλος ενδιαφέρον τρόπος εύρεσης του αντιστρόφου.

Φορμαλιστικά (μη φωνάζετε, θα εξηγήσω αργότερα) είναι

$(aI - bA)^{-1}= \frac{1}{aI-bA}= \frac{1}{a}\frac{1}{I - \frac{b}{a}A}= \frac{1}{a}(I + \frac{b}{a}A + (\frac{b}{a}A)^2 + (\frac{b}{a}A)^3 + ... )=\frac{1}{a}(I + \frac{b}{a}A + 0) = \frac{1}{a}I + \frac{b}{a^2}A$

δηλαδή όσο βρήκε ο Μάκης.

Μπορούμε να ελέγξουμε την απάντηση κάνοντας τον πολλαπλασιασμό, οπότε το "πώς καταλλήξαμε" σε αυτήν κατά βάθος δεν έχει σημασία!

Για να μη αιωρείται η πεποίθηση ότι τα Μαθηματικά είναι ... μπακαλική, ας προσθέσω ότι στην Θεωρία Τελεστών (κλάδο της Συναρτησιακής Ανάλυσης) υπάρχει αυστηρή θεμελείωση του παραπάνω.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Πίνακες - Συστήματα (φοβάμαι ότι τα έχουμε ξεχάσει)

Πίνακες - Συστήματα (φοβάμαι ότι τα έχουμε ξεχάσει)

Re: Πίνακες - Συστήματα (τα έχουμε ξεχάσει νομίζω)

Re: Πίνακες - Συστήματα (φοβάμαι ότι τα έχουμε ξεχάσει)

Re: Πίνακες - Συστήματα (φοβάμαι ότι τα έχουμε ξεχάσει)

Re: Πίνακες - Συστήματα (φοβάμαι ότι τα έχουμε ξεχάσει)

Μέλη σε σύνδεση