Άλλες δυο χορδές

KARKAR · #1

: Άλλες δυο χορδές.png (9.61 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

Υπολογίστε τα μήκη των χορδών AS , SC

...

#2

: αλλες 2 χορδές_ok.png (17.73 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής των AB,SC

. Είναι προφανές ότι η

διχοτόμος στο ASC

και το τρίγωνο $ABC \approx CTB$ . Αν SC = x,SA = y

θα έχουμε:
TC = 4,BT = 2

( από την ομοιότητα που προαναφέραμε ) και ( για να μην επικαλεσθούμε τον Πτολεμαίο ) Από το θεώρημα της διχοτόμου στο ASC

θα πάρουμε:
$\boxed{y + 8 = 2x}\,\,(1)$ Αλλά $TS \cdot TC = TA \cdot TB \Rightarrow 4TS = 12 \Rightarrow \boxed{TS = 3}$ . Συνεπώς SC = 7

και λόγω της (1) $\boxed{y = AS = 6}$

Φιλικά Νίκος

hlkampel · #3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Άλλες δυο χορδές.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υπολογίστε τα μήκη των χορδών ...

Με τριγωνομετρία...

Από Ν. συνημιτόνων στο τρίγωνο ABC

είναι:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC\sigma \upsilon \nu BAC \Rightarrow$

$16 = 64 + 64 - 128\sigma \upsilon \nu BAC \Rightarrow$

$\displaystyle\sigma \upsilon \nu BAC = \frac{7}{8}$

$\displaystyle\widehat {SAB} = \widehat {BAC} = \widehat {BSC}$ εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα.

Από Ν. συνημιτόνων στο τρίγωνο ABS

είναι:

$S{B^2} = S{A^2} + A{B^2} - 2AB \cdot SA\sigma \upsilon \nu SAB \Rightarrow$

$\displaystyle16 = S{A^2} + 64 - 2 \cdot 8 \cdot SA \cdot \frac{7}{8} \Rightarrow$

$S{A^2} - 14SA + 48 = 0 \Rightarrow SA = 6\quad \dot \eta \quad SA = 8$ Απορρίπτεται

Από Ν. συνημιτόνων στο τρίγωνο SBC

είναι:

$B{C^2} = S{C^2} + B{S^2} - 2BS \cdot SC\sigma \upsilon \nu BSC \Rightarrow$

$\displaystyle16 = S{C^2} + 16 - 2 \cdot 4 \cdot SC \cdot \frac{7}{8} \Rightarrow$

$S{C^2} - 7SC = 0 \Rightarrow SC = 7\quad \dot \eta \quad SC = 0$ Απορρίπτεται

Άρα SA = 6

και

Ιστοσελίδα · #4

Καλημέρα...μια που την έγραψα.

: Άλλες-δύο-χορδές.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές

Το περίκεντρο

του $\triangle ABC$ θα είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των BC,SC

. Από Πυθαγόρειο στο $\triangle ABM:\,AM = 2\sqrt {15}$ και $R = \displaystyle\frac{{abc}}{{4(ABC)}}\mathop = \limits^{(ABC) = 4\sqrt {15} } \displaystyle\frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}$ , οπότε $OM = AM - R = \displaystyle\frac{{14\sqrt {15} }}{{15}}$ .

Από λόγο ομοιότητας των $\triangle CNB,\, \triangle OMB:CN = \displaystyle\frac{7}{2} \Rightarrow SC = 2CN = 7$ . Από πρώτο Θεώρημα Πτολεμαίου: $4SA + 32 = 56 \Rightarrow SA = 6$ .

#5

Και μια άλλη Τριγωνομετρική

: 22-02-2013 Γεωμετρία.jpg (18.42 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές

Είναι $\displaystyle{\widehat {SAB} = \widehat {BAC} = \widehat {BSC} = \widehat {BCS} = \omega }$ και $\displaystyle{\widehat {SCA} = \widehat {SBA} = \varphi }$ (βαίνουν σε ίσα τόξα)

Από Ν. Συνημιτόνων στο ABC

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega = ... = \frac{7}{8} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu 2\omega = 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\omega - 1 = 2 \cdot \frac{{49}}{{64}} - 1 = \frac{{17}}{{32}}}$

Από Ν. Συνημιτόνων στο SBC

$\displaystyle{S{B^2} = 32 - 32 \cdot \sigma \upsilon \nu \left( {\omega + 2\varphi } \right) = 32 - 32 \cdot \sigma \upsilon \nu \left( {180^\circ - 2\omega } \right) = 32 + 32 \cdot \sigma \upsilon \nu 2\omega = 49 \Rightarrow SB = 7}$

Από Θ. Πτολεμαίου για το εγγεγραμμένο ASBC

είναι

οπότε

Διαφορετικά, (δίχως Θ. Πτολεμαίου)

Από Ν. Συνημιτόνων στο ASC

$\displaystyle{S{C^2} = A{S^2} + A{C^2} - 2 \cdot AS \cdot AC \cdot \sigma \upsilon \nu 2\omega \Leftrightarrow {7^2} = {\rm A}{S^2} + {8^2} - 16 \cdot AS \cdot \frac{{17}}{{32}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2{\rm A}{S^2} - 17 \cdot AS + 30 = 0 \Leftrightarrow AS = 6\;\; \vee AS = \frac{5}{2}}$ απορρίπτεται λόγω τριγωνικής ανισότητας στο ASB

p_gianno · #6

.

η τομή των AB , SC

$\angle A_1=\angle A_2=\angle S_1=\angle C_1 , SB=BC , AB=AC$ και $\angle B_1=\angle C_2$

Συνεπώς από γ-π-γ έχουμε $\triangle ASB=AKC$ συνεπώς y=KC=4

και επομένως BCK

ισοσκελές και μάλιστα όμοιο προς το BAC

με λόγο ομοιότητος 8:4=2

άρα

.

Είναι τώρα AK=AB-KB=6 =x

και τέλος από την σχέση $SK \cdot KC=AK \cdot KB$

παίρνουμε SK=3

που σημαίνει ότι SC=7

Άλλες δυο χορδές

Άλλες δυο χορδές

Re: Άλλες δυο χορδές

Re: Άλλες δυο χορδές

Re: Άλλες δυο χορδές

Re: Άλλες δυο χορδές

Re: Άλλες δυο χορδές

Μέλη σε σύνδεση