Συναρτησιακή Εξίσωση Cauchy

#21

Mihalis_Lambrou έγραψε:
spyros έγραψε:Ενημερωτικά πάντα και επειδή κάτι μου θύμιζε αυτό το αξίωμα της επιλογής στο οποίο αναφέρθηκε ο κ. Λάμπρου, στις σελίδες 116 έως 119 στο "Διάλογος η άλλη όψη" του περιοδικού μαθηματική έκφραση τ.2 , αναφέρεται σε αυτό και ο κ. Μάκρας για ένα αποδεκτό άλμα όπως το χαρακτηρίζει που γίνεται ,σε πολλά βιβλία, στην απόδειξη της άσκησης:
Θεωρούμε μια συνάρτηση $f:\left[ \alpha ,\beta \right]\to \mathbb{R}$ συνεχή στο $\left( \alpha ,\beta \right)$ και παραγωγίσημη στα διαστήματα $\left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)$ και $\left( {{x}_{0}},\beta \right)$ . Αν υπάρχει το $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f^{\prime}\left( x \right)$ και είναι ίσο με $\lambda \in \mathbb{R}$ , τότε η είναι παραγωγίσιμη και στο ${{x}_{0}}$ και μάλιστα $f^{\prime}\left( {{x}_{0}} \right)=\lambda$

Σπύρο,
μου κάνει εντύπωση η γνώμη του κ. Μάκρα. Δεν πιστεύω ότι χρειάζεται το Αξίωμα Επιλογής στο παραπάνω θεώρημα. Bγαίνει με l' Hospital.

Πολύ θα ήθελα να έβλεπα το εν λόγω άρθρο στην Μαθηματική Έκφραση. Το έχει κανείς; Επ' αυτού θα ήθελα να ρώταγα αν γνωρίζει κανείς αν στο περιοδικό αυτό δημοσιεύουν άρθρα μετά από ουσιαστική κρίση από εξωτερικό κριτή. Προσοχή, δεν λέω ότι πρέπει να απορρίψουμε συλλήβδην όλα τα άρθρα σε μία ευγενή προσπάθεια, αλλά με ξενίζει η σύνδεση του παραπάνω με το Αξίωμα Επιλογής.

Έλαβα αντίτυπα του παραπάνω άρθρου του Στράτου Μάκρα. Ευχαριστώ τον Σπύρο Βασιλόπουλο και τον Γιώργο Ρίζο, που μου το έστειλαν.

Το άρθρο είναι ενδιαφέρον και καλογραμμένο. Προέρχεται από ένα αξιέπαινο περιοδικό
που εξέδωσε ο αείμνηστος Χ. Βαφειάδης, με συντάκτες τους συναδέλφους των Τρικάλων
(Την ευθύνη την είχε ο νυν Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας, ο φίλος Δημήτρης Ντρίζος)

Με λίγα λόγια, ο συγγραφέας του άρθρου δίνει μία απόδειξη του παραπάνω όπου χρησιμοποιείται κρυφά το Αξίωμα Επιλογής. Κατόπιν επισημαίνει με ακρίβεια το επίμαχο σημείο και δείχνει, πάντα σε επίπεδο κατανοητό για τον μαθητή, πώς παρακάμπτεται η δυσκολία.

Γνώριζα μόνο την απόδειξη με l' Hospital που δεν εμπλέκει το Αξίωμα Επιλογής (το ανέφερα στο αρχικό μου κείμενο). Τώρα έμαθα και μία διαφορετική, που μπορεί να το παρακάμψει, αν χρειαστεί.

Ευχαριστώ όλους για τα φώτα τους.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#22

'Ελαβα από τον Στράτο Μάκρα αντίγραφο του συγκεκριμένου άρθρου και, επειδή οι ακριβείς πληροφορίες είναι και οι καλές πληροφορίες, το αναρτώ σε ένα pdf.

Stratos Makras.pdf

Μαυρογιάννης

#23

Mihalis_Lambrou έγραψε:Δεν πιστεύω ότι χρειάζεται το Αξίωμα Επιλογής στο παραπάνω θεώρημα. Bγαίνει με l' Hospital.

Ευχαριστώ τι Νίκο για ανάρτηση του άρθρου το Στράτου Μακρα.

Γα να μην αιωρούνται αποχρώσεις στο παραπάνω που έγραψα, το οποίο ήταν η αφορμή να αναδυθεί το άρθρο, θα ήθελα να επισημάνω την κατακλείδα:

Έγραψα ότι " Δεν πιστεύω ότι χρειάζεται το Αξίωμα Επιλογής στο παραπάνω θεώρημα. Bγαίνει με l' Hospital"

Η απόδειξη με l' Hospital που γνωριζα, αυτό λέει. Το κείμενο του Στράτου, αυτό ξαναλέει για κάποια άλλη, διαφορετική απόδειξη.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#24

Μιας και κάναμε τόση συζήτηση για τις ασυνεχείς λύσεις της Cauchy να προτείνω μια άσκηση (ομορφούλα νομίζω) που αφορά τις συνεχείς λύσεις

Αν f,f_1,f_2,...,f_n

συνεχείς στο

συναρτήσεις και ισχύει
$f(x_1+x_2+...+x_n)=f_1(x_1)+f_2(x_2)+...+f_n(x_n) , \forall x_1,x_2,...,x_n\in R$
να βρεθούν οι τύποι των f,f_1,f_2,...,f_n

#25

Καλή σας μέρα
Ροδολφε μία ιδέα θα μπορούσε να ήταν η ακόλουθη.
Διαλέγουμε ένα

και θέτουμε όλα τα x_j

με το

να είναι διάφορο του

μηδέν. Θα βρούμε
$f(x_i)=f_{i}(x_i)+c_i$ όπου c_i

είναι σταθερά. Οπότε τελικά
$f\left( x_{1}+...+x_{n}\right) =f\left( x_{1}\right) +...+f\left( x_{n}\right) +M$
με

σταθερά. Συγκεκριμένα $M=\left( 1-n\right) f\left( 0\right)$
Oνομάζουμε x_1=x

και

και θέτουμε τα υπόλοιπα x_i

ίσα με μηδέν.
Βρίσκουμε ότι
$f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right) +C$
όπου

σταθερά.
Επομένως
$f\left( x+y\right) +C=\left( f\left( x\right) +C\right) +\left( f\left( y\right) +C\right)$
'Αρα η συνεχής $g\left( x\right) =f\left( x\right) +C$ είναι λύση της συναρτησιακής εξίσωσης του Cauchy. Οπότε
$\boxed{f\left( x\right) =ax-C}$ .
Τα υπόλοιπα, νομίζω, είναι εύκολα.
Μαυρογιάννης

Συναρτησιακή Εξίσωση Cauchy

Re: Συναρτησιακή Εξίσωση Cauchy

Re: Συναρτησιακή Εξίσωση Cauchy

Re: Συναρτησιακή Εξίσωση Cauchy

Re: Συναρτησιακή Εξίσωση Cauchy

Re: Συναρτησιακή Εξίσωση Cauchy

Μέλη σε σύνδεση