Μεγιστοποίηση γωνίας

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση γωνίας.png (6.44 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

Το

είναι σταθερό σημείο της ακτίνας

, του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , ενώ το σημείο

κινείται επί του τόξου . Για ποια θέση του

, μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat {OST}$ ?

#2

KARKAR έγραψε:Το είναι σταθερό σημείο της ακτίνας , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , ενώ το σημείο κινείται επί του τόξου . Για ποια θέση του , μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat {OST}$ ?

Προφανώς $\varphi < {90^0}$ (αφού είναι μικρότερη της $\angle OSA$ (γωνία του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle OSA$ )

Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $\vartriangle OST$ θα ισχύει: $\displaystyle\frac{{\left( {OT} \right)}}{{\eta \mu \varphi }} = \displaystyle\frac{{\left( {OS} \right)}}{{\eta \mu \left( {\angle STO} \right)}} \Rightarrow \eta \mu \varphi = \displaystyle\frac{{\left( {OT} \right)}}{{\left( {OS} \right)}} \cdot \eta \mu \left( {\angle STO} \right)$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\frac{{\left( {OT} \right)}}{{\left( {OS} \right)}} = \frac{{\left( {OT} \right)}}{R} = c\,\,(\sigma \tau \alpha \theta \varepsilon \rho o)} \eta \mu \varphi = c \cdot \eta \mu \left( {\angle STO} \right) \leqslant c$

με την ισότητα να επιτυγχάνεται αν $\eta \mu \left( {\angle STO} \right) = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{\angle STO \in \left( {0,\pi } \right]} \angle STO = {90^0}$ και επειδή η συνάρτηση "ημίτονο" είναι γνησίως αύξουσα στο 1ο τεταρτημόριο

θα έχουμε και τη μεγιστοποίηση της γωνίας $\varphi$ , δηλαδή η ζητούμενη θέση του είναι το σημείο τομής της εκ' του καθέτου προς την με το τεταρτοκύκλιο.

Στάθης

S.E.Louridas · #3

Για να γίνει η $2\varphi$ maximum, αρκεί το

να γίνει minimum και επειδή $2r \geqslant R,$ αυτό επιτυγχάνεται όταν $2r = R \Rightarrow S \equiv W\;\;\left( {WT \bot OA} \right).$

p_gianno · #4

.

Για την γωνία

έχουμε

$\displaystyle sinS=max \leftrightarrow \frac{KL}{KS}=max \leftrightarrow KL=max \leftrightarrow KL=KH=2OT$

Είναι όμως τότε $SL=S’L’ \perp OA$

Μεγιστοποίηση γωνίας

Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Μέλη σε σύνδεση