Υπερβολικές ιδιότητες

KARKAR · #1

: Υπερβολικές ιδιότητες.png (14.6 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές

Δίνεται η υπερβολή με εξίσωση : $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ και εστία E(c,0)

. Φέρουμε την κατακόρυφη ευθεία $\displaystyle x=\frac{a^2}{c}$ .

Από σημείο S(x,y),x>0

της κωνικής , φέρω τμήμα

, κάθετο στη ευθεία . Δείξτε ότι ο λόγος $\displaystyle \frac{ST}{SE}$

είναι σταθερός . * Η ιδιότητα αυτή θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για έναν εναλλακτικό ορισμό της υπερβολής .

Γιώργος Απόκης · #2

Έχουμε $\displaystyle{ST=x-\frac{a^2}{c}\Rightarrow ST^2=\left(x-\frac{a^2}{c}\right)^2}$ . To $\displaystyle{S}$ είναι σημείο της υπερβολής, άρα $\displaystyle{y^2=\frac{b^2x^2-a^2b^2}{a^2}}$ . Επομένως

$\displaystyle{SE^2=(x-c)^2+y^2=x^2-2cx+c^2+\frac{b^2x^2-a^2b^2}{a^2}=x^2-2cx+c^2+\frac{b^2}{a^2}x^2-b^2\overset{c^2-b^2=a^2}=}$

$\displaystyle{=x^2-2cx+\frac{c^2-a^2}{a^2}x^2+a^2=\frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2=\left(\frac{c}{a}x-a\right)^2=\frac{c^2}{a^2}\left(x-\frac{a^2}{c}\right)^2=\frac{c^2}{a^2}ST^2}$ .

Επομένως, $\displaystyle{\frac{ST^2}{SE^2}=\frac{a^2}{c^2}\Rightarrow \frac{ST}{SE}=\frac{a}{c}}$ που είναι σταθερό (και ίσο με $\displaystyle{\frac{1}{\epsilon}}$ όπου $\displaystyle{\epsilon}$ η εκκεντρότητα)

Υπερβολικές ιδιότητες

Υπερβολικές ιδιότητες

Re: Υπερβολικές ιδιότητες

Μέλη σε σύνδεση