Ειδικά ορθογώνια

KARKAR · #1

: Ειδικά ορθογώνια.png (9.26 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

Πάνω στην υποτείνουσα

ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημείο

, και στη συνέχεια

σημεία P,T

επί των

, ώστε

και

. Αν το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι

90^0-60^0-30^0

, πως θα επιλέξουμε το

,δηλαδή πόσο μήκος θα έχει το

, ώστε το

,

να είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ?

#2

: 21-3-2013 Γεωμετρία.jpg (13.48 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές

Έστω τρίγωνο ABC

με $\displaystyle{\widehat A = 90^\circ ,\;\widehat B = 60^\circ ,\;\widehat C = 30^\circ }$ και AC = b, AB = c

Τότε $\displaystyle{\varepsilon \varphi 60^\circ = \frac{b}{c} \Leftrightarrow b = \sqrt 3 c}$

Έστω σημεία S, P, T

στις

αντίστοιχα, ώστε BP = BS, CT = CS

.

Τότε

ισόπλευρο και στο ισοσκελές STC

είναι $\displaystyle{\widehat C = 30^\circ \Rightarrow \widehat {TSC} = \widehat {STC} = 75^\circ \Rightarrow \widehat {PST} = 45^\circ }$

Αν είναι και $\displaystyle{\widehat {PTS} = 45^\circ }$ , δηλαδή SPT

ορθογώνιο και ισοσκελές, στο ορθογώνιο PAT

θα είναι $\displaystyle{\widehat {APT} = 30^\circ \Rightarrow AT = \frac{{PT}}{2}}$

Έστω SC = x

, οπότε

οπότε

και $\displaystyle{PA = \sqrt 3 \cdot AT = \sqrt 3 \left( {b - x} \right)}$

Είναι $\displaystyle{PB = BS = PS = c - \sqrt 3 \left( {b - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}b - \sqrt 3 \left( {x - b} \right)}$ .

Οπότε $\displaystyle{PT = PS \Leftrightarrow 2\left( {b - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}b - \sqrt 3 \left( {b - x} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}b}$

Με κέντρο

και ακτίνα ίση με το

κατασκευάζουμε κύκλο που τέμνει τις BC, AC

στα

αντίστοιχα.

edit: Έκανα μια διόρθωση στο τελικό αποτέλεσμα, μετά από διακριτική υπόδειξη του Karkar, τον οποίο και ευχαριστώ!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Καλησπέρα.Μια σκέψη ακόμη

Η γωνία $\displaystyle{PST}$ για οποιαδήποτε θέση του $\displaystyle{S}$ στην $\displaystyle{BC}$ προφανώς έχει σταθερό μέτρο 45 μοιρών.Έτσι ,το ζητούμενο θα έχει απαντηθεί όταν προσδιοριστεί η θέση του $\displaystyle{P}$ (άρα και του $\displaystyle{S}$ ) στην $\displaystyle{AB}$ ώστε $\displaystyle{PS=PT}$ .Όταν όμως συμβαίνει αυτό,(επειδή ισχύει και $\displaystyle{CS=CT}$ ) η $\displaystyle{PC}$ θα είναι μεσοκάθετος της $\displaystyle{ST}$ άρα διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{C}$ .Τότε όμως όπως γνωρίζουμε ισχύει $\displaystyle{BP = \frac{{ab}}{{a + b}}}$ Άρα και (αφού το τρίγωνο $\displaystyle{PBS}$ είναι ισόπλευρο) $\displaystyle{{BS = \frac{{ab}}{{a + b}}}}$
και η θέση του $\displaystyle{S}$ στην $\displaystyle{BC}$ προσδιορίστηκε.

p_gianno · #4

.

Έστω

το έγκεντρο του τργ ABC

. Από το

(ίχνος της διχοτόμου) φέρω $PS \perp BI$ με $S \in BC$ .

Αν

το συμμετρικό του

ως προς

(δηλ $PS=PT , T \in AC$ επειδή ο άξονας συμμετρίας είναι η διχοτόμος)

τότε TPS

είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

Πράγματι από την κατασκευή του

έχουμε

( $\triangle BPS$ ισόπλευρο)

Από το τργ BPC

προκύπτει

συνεπώς

άρα και

. Είναι τώρα πια SPT=90^0

. Ικανοποιούνται δηλαδή όλες οι απαιτήσεις της κατασκευής.

KARKAR · #5

: Ειδικά ορθογώνια.png (13.84 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

Να συμπληρώσω , ότι υπάρχει και δεύτερη λύση , με την κορυφή της ορθής , να είναι τώρα στην

.

Είναι φανερό ότι το

είναι το έγκεντρο του τριγώνου . Ο υπολογισμός , είτε με θεώρημα διχοτόμου

είτε κατά Γ. Ρίζο , δίνει : $\displaystyle CS=\frac{6-2\sqrt{3}}{3}b$ . To CS'

, βρίσκεται ευκολότερα : $\displaystyle CS'=\frac{2\sqrt{3}}{3}c$

Ειδικά ορθογώνια

Ειδικά ορθογώνια

Re: Ειδικά ορθογώνια

Re: Ειδικά ορθογώνια

Re: Ειδικά ορθογώνια

Re: Ειδικά ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση