Ικανή και αναγκαία συνθήκη

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Μια κυρτή f είναι και συνεχής όπως πολύ εύστοχα παρατηρησε ο κ.Μαυρογιάννης σε προηγούμενη δημοσίευση μου. Βαζοντας μια συνθήκη για την f μπορούμε να δημιουργήσουμε ικανή και αναγκαια συνθηκη ώστε η f να είναι κυρτή.
Ασκηση
Έστω f:(α, β) $\displaystyle{ \to }$ R μια συνεχής συνάρτηση. Τότε η f είναι κυρτή, αν και μονο αν για κάθε δυο πραγματικούς αριθμούς γ, δ η συνάρτηση f(x)+γx+δ δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο (α, β).

#2

Στράτο νομίζω ότι η άσκηση είναι κατά το ήμισυ σωστή. Συγκεκριμένα η συνθήκη κυρτότητας είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία.
Ισχύει:
Αν $f:(\alpha, \beta) \to \mathbb{R}$ είναι κυρτή τότε για κάθε δυο πραγματικούς αριθμούς $\gamma ,\delta$ η συνάρτηση $f\left( x\right) +\gamma x+\delta$ δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο $\left( \alpha ,\beta \right)$
Απόδειξη: Θα αποδείξουμε πρώτα ότι μία κυρτή συνάρτηση

ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα δεν έχει μέγιστη τιμή. Ας πούμε πως έχει στο x_0

. Επιλέγουμε $x_{1},x_{2}$ ώστε $x_{1}<x_{0}<x_{2}$ . Τότε
$\frac{h\left( x_{0}\right) -h\left( x_{1}\right) }{x_{0}-x_{1}}\geq 0\geq \frac{h\left( x_{2}\right) -h\left( x_{0}\right) }{x_{2}-x_{0}}$ (1)
Αλλά αφού η συνάρτηση

είναι κυρτή πρέπει
$\frac{h\left( x_{2}\right) -h\left( x_{0}\right) }{x_{2}-x_{0}}<\frac{h\left( x_{0}\right) -h\left( x_{1}\right) }{x_{0}-x_{1}}$ (2)
πράγμα αδύνατο. Αρα η

δεν έχει μέγιστο.
Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι αν η

είναι κυρτή τότε και η $h\left( x\right) =f\left( x\right) +\gamma x+\delta$ είναι κυρτή. Πράγματι με $x_{1}<x_{2}$ και $p,q\in \left( 0,1\right)$ με p+q=1

έχουμε:
$h\left( px_{1}+qx_{2}\right) =f\left( px_{1}+qx_{2}\right) +\gamma \left( px_{1}+qx_{2}\right) +\delta <pf\left( x_{1}\right) +qf\left( x_{2}\right) +\gamma \left( px_{1}+qx_{2}\right) +\delta =pf\left( x_{1}\right) +qf\left( x_{2}\right) +p\gamma x_{1}+q\gamma x_{2}+p\delta +q\delta =ph\left( x_{1}\right) +qh\left( x_{2}\right)$
'Αρα $h\left( px_{1}+qx_{2}\right) <ph\left( x_{1}\right) +qh\left( x_{2}\right)$ και επομένως η

είναι κυρτή.
Τώρα αφού η

είναι κυρτή σε ανοικτό διάστημα δεν έχει μέγιστο.
ΣΧΟΛΙΟ: Η συνέχεια της

δεν χρησιμοποιήθηκε.
Δεν ισχύει:
Αν $f:(\alpha, \beta) \to \mathbb{R}$ και για κάθε δυο πραγματικούς αριθμούς $\gamma ,\delta$ η συνάρτηση $f\left( x\right) +\gamma x+\delta$ δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο $\left( \alpha ,\beta \right)$ τότε η

είναι κυρτή.
Αντιπαράδειγμα: 'Εστω η συνάρτηση $f\left( x\right) =\varepsilon \varphi x,\,\,x \in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ . Η

είναι συνεχής και η συνάρτηση $\varepsilon \varphi x+\gamma x+\delta$ στο $-\frac{\pi }{2}$ έχει όριο το $-\infty$ ενώ στο $\frac{\pi }{2}$ έχει όριο $+\infty$ . Επομένως στο $\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ δεν έχει μέγιστο. Αλλά η $\varepsilon \varphi x$ στο $\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ δεν είναι κυρτή.
Μαυρογιάννης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Το σωστό κριτήριο κυρτότητας που έχει σχέση με τα παραπάνω είναι:

Εστω $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση.

Η

είναι κυρτή αν και μόνο αν

Για κάθε a< c< d< b

και $\kappa ,\lambda \in \mathbb{R}$

η συνάρτηση $g:(c,d)\rightarrow \mathbb{R}$

με $g(x)=f(x)+\kappa x+\lambda$ δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο (c,d)

Ικανή και αναγκαία συνθήκη

Ικανή και αναγκαία συνθήκη

Re: Ικανή και αναγκαία συνθήκη

Re: Ικανή και αναγκαία συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση