Ανισότητα σε κλειστό διάστημα (1)

#1

Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a+b+1}{a^2+b^2+1}+\frac{b+c+1}{b^2+c^2+1}+\frac{c+a+1}{c^2+a^2+1}\leq \frac{2}{a+1}+\frac{2}{b+1}+\frac{2}{c+1},}$

για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b,c\in [0,1].$

#2

Δείξτε ότι η παραπάνω δεν ισχύει όταν $a,b,c\in [0,1]$ αλλά ισχύει όταν a,b,c>1.

Ευχαριστώ Θάνο!

#3

Από την $\displaystyle{3(x^2+y^2+1)\geq (x+y+1)^2}$ είναι

$\displaystyle{\rm \sum \frac{a+b+1}{a^2+b^2+1}\leq 3\sum \frac{1}{a+b+1}}$ ,

Επίσης, από Cauchy-Schwarz είναι

$\displaystyle{\rm \sum \frac{2}{a+1}\geq \sum \frac{4}{a+b+2}.}$

Απομένει να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\rm \sum \frac{4}{a+b+2}\geq 3\sum \frac{1}{a+b+1}}$ .

Όμως είναι

$\displaystyle{\rm \frac{4}{a+b+2}\geq \frac{3}{a+b+1}}$ και τα όμοια,

αφού $\displaystyle{\rm a,b,c\geq 1.}$

spiros filippas · #4

Και αλλιώς:

Ισχύει:

$\displaystyle \frac{a+b+1}{a^2+b^2+1}\leq \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}~~(1)$

αφού ισοδυναμεί με την $a^3+b^3+a^2+b^2+1\geq 3ab+a+b$ η οποία προκύπτει με πρόσθεση των

$a^3+b^3+1 \geq 3ab$ (am-gm)

$a^2 \geq a$

$b^2\geq b$ .

Η (1) και οι όμοιες μας δίνουν τη ζητούμενη.

Ανισότητα σε κλειστό διάστημα (1)

Ανισότητα σε κλειστό διάστημα (1)

Re: Ανισότητα σε κλειστό διάστημα (1)

Re: Ανισότητα σε κλειστό διάστημα (1)

Re: Ανισότητα σε κλειστό διάστημα (1)

Μέλη σε σύνδεση