ΔΥΣΚΟΛΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

#1

...Καλησπερίζω την εκλεκτή παρέα με ένα θέμα που μου έδωσε μαθήτριά μου από τεστ στο σχολείο της....

Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,\,\,e)\to R$ παραγωγίσιμη με f(1)=0

και για κάθε $x\in (0,\,\,e)$ ικανοποιεί την σχέση $\ln ({f}'(x))=f(x)-\ln x$ .

α) Να βρεθεί η συνάρτηση

.

β) Να δείξετε ότι είναι γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,e)$

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της

.

δ) Να βρείτε την τιμή του

που ο ρυθμός μεταβολής της

γίνεται ελάχιστος.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Christos.N · #2

Καλησπέρα
Για το α)
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \ln (f'(x)) = f(x) - \ln x \Rightarrow f'(x) = e^{f(x) - \ln x} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}e^{f(x)} \\ f'(x)e^{ - f(x)} = \frac{1}{x} \Rightarrow - f'(x)e^{ - f(x)} = - \frac{1}{x} \Rightarrow \left( {e^{ - f(x)} } \right){'} = ( - \ln x){'} \Rightarrow e^{ - f(x)} = - \ln x + c \\ \Rightarrow f(x) = - \ln (c - \ln x) \\ f(1) = 0 \Rightarrow c = 1,\,\,\,f(x) = - \ln (1 - \ln x) \\ \end{array} }$

dennys · #3

a) οπως ο φίλος

β) Επειδή δίνει το ln(f{'}(x))

πρέπει $f{'}>0\Rightarrow f \nearrow x\in(0,e)$

ή με παράγωγο

γ) με όρια βρίσκουμε $f(A)=(-\infty,+\infty)$

d)βρίσκω την δεύτερη $f{'}{'}=\cfrac{lnx}{(x(1-lnx))^2}$

που δίνει ελάχιστο για την f{'}

στο

BAGGP93 · #4

Θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση.

Δεν θα έπρεπε να δίνει εξ' αρχής ότι $\displaystyle{f^\prime(x)>0\ \forall x\in\left(0,e\right)}$ ?

Αν δεν το δίνει αυτό, πως μπορούμε και λύνουμε την διαφορική εξίσωση?

Ευχαριστώ.

pana1333 · #5

Καλημέρα. Δε χρειάζεται να το δίνει. Το "απαιτείς" ώστε να ορίζεται η συνάρτηση.....

parmenides51 · #6

όμορφα μας τις λύνει ο Βασίλης, όμορφα δεν του τις λύνουμε όμως εμείς

#7

BAGGP93 έγραψε:Θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση.

Δεν θα έπρεπε να δίνει εξ' αρχής ότι $\displaystyle{f^\prime(x)>0\ \forall x\in\left(0,e\right)}$ ?

Αν δεν το δίνει αυτό, πως μπορούμε και λύνουμε την διαφορική εξίσωση?

Ευχαριστώ.

Ναι, πράγματι πρέπει να δίνεται στην εκφώνηση ότι f{'}(x)>0

για κάθε

pana1333 · #8

BAGGP93 έγραψε:Θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση.

Δεν θα έπρεπε να δίνει εξ' αρχής ότι $\displaystyle{f^\prime(x)>0\ \forall x\in\left(0,e\right)}$ ?

Αν δεν το δίνει αυτό, πως μπορούμε και λύνουμε την διαφορική εξίσωση?

Ευχαριστώ.

pana1333 έγραψε:Καλημέρα. Δε χρειάζεται να το δίνει. Το "απαιτείς" ώστε να ορίζεται η συνάρτηση.....

socrates έγραψε: Ναι, πράγματι πρέπει να δίνεται στην εκφώνηση ότι για κάθε

......άλλη άποψη;;;;;

perpant · #9

pana1333 έγραψε:
......άλλη άποψη;;;;;

Καλησπέρα Χρήστο.
Το έχω δει σε ασκήσεις και έτσι και αλλιώς. Δηλαδή, αν δίνεται καλώς δίνεται, αν όχι το απαιτούμε.

vanalex · #10

parmenides51 έγραψε:όμορφα μας τις λύνει ο Βασίλης, όμορφα δεν του τις λύνουμε όμως εμείς

Σωστά...

Α. Για $x\in \left(0,e \right)$ :

$\displaystyle{ln(f'(x))=f(x)-lnx\Rightarrow f'(x)=e^{f(x)-lnx}\Rightarrow f'(x)=\frac{e^{f(x)}}{e^{lnx}}\Rightarrow f'(x)=e^{f(x)}\frac{1}{x}\Rightarrow e^{-f(x)}f'(x)=\frac{1}{x}\Rightarrow e^{-f(x)}(-f'(x))=-\frac{1}{x}\Rightarrow}$

$\displaystyle{ \Rightarrow (e^{-f(x)})'=(-lnx)'\Rightarrow(e^{-f(x)})'=(-lnx)'\Rightarrow (e^{-f(t)})'=(-lnt)'\Rightarrow \int_{1}^{x}{(e^{-f(t)})'dt}=\int_{1}^{x}{(-lnt)'}\Rightarrow e^{-f(x)}-e^{-f(1)}=-lnx+ln1\Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow e^{-f(x)}-1=-lnx\Rightarrow e^{-f(x)}=1-lnx\Rightarrow -f(x)=ln(1-lnx)\Rightarrow \boxed{f(x)=-ln(1-lnx)},\; \; x\in \left(0,e \right)}$

Β. Για να έχει νόημα και να ισχύει η δοθείσα σχέση τότε πρέπει f'(x)>0

άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για κάθε $x\in \left(0,e \right)$ .

Γ. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα (0, e)

είναι $\displaystyle{f\left(A \right)=\left(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x),\lim_{x\rightarrow e^{-}}f(x) \right)}$ . Βρίσκουμε τα αντίστοιχα όρια:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(-ln(1-lnx))=\lim_{u\rightarrow +\propto }(-lnu)=-(+\propto)=-\propto }$ , αφού θέσαμε:

$\displaystyle{u=1-lnx\rightarrow u_{0}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(1-lnx)=1-(-\propto )=+\propto }$ . Ομοίως, για το επόμενο όριο:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow e^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow e^{-}}(-ln(1-lnx))=\lim_{u\rightarrow 0^{-} }(-lnu)=-(-\propto)=+\propto }$ , αφού θέσαμε:

$\displaystyle{u=1-lnx\rightarrow u_{0}=\lim_{x\rightarrow e^{-}}(1-lnx)=1-1=0} \rightarrow \boxed { f\left(A \right)=\left(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x),\lim_{x\rightarrow e^{-}}f(x) \right)=(-\propto ,+\propto )}$

Δ. Για να βρούμε το σημείο του ελαχίστου του ρυθμού μεταβολής μελετάμε τη δεύτερη παράγωγο ως προς τη μονοτονία και έχουμε:

$\displaystyle{f'(x)=e^{f(x)}\frac{1}{x}=e^{-ln(1-lnx)}\frac{1}{x}=\frac{1}{x(1-lnx)}\Rightarrow f''(x)=-\frac{1}{(x(1-lnx))^{2}}(1-lnx+x(-\frac{1}{x}))=\frac{lnx}{x^{2}(1-lnx)^{2}}>0\Rightarrow lnx>0\Rightarrow x>1}$

Οπότε για x>1

η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και για x<1

είναι γνησίως φθίνουσα. Στο x=1

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και στο οποίο ο ρυθμός μεταβολής γίνεται ελάχιστος.

ΔΥΣΚΟΛΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

ΔΥΣΚΟΛΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

Re: ΔΥΣΚΟΛΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

Re: ΔΥΣΚΟΛΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

Re: ΔΥΣΚΟΛΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

Re: ΔΥΣΚΟΛΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

Re: ΔΥΣΚΟΛΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

Re: ΔΥΣΚΟΛΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

Re: ΔΥΣΚΟΛΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

Re: ΔΥΣΚΟΛΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

Re: ΔΥΣΚΟΛΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

Μέλη σε σύνδεση