Αρχή περιστώνα(πρόβλημα)

st@bi · #1

Δε μπορώ να λύσω το παρακάτω πρόβλημα:

"Θεωρούμε μια ακολουθία

θετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς

διαφορετικούς αριθμούς. Να δείξετε ότι αν $N\geq2^n$ υπάρχουν δύο ή περισσότερες διαδοχικές θέσεις της ακολουθίας τέτοιες ώστε το γινόμενο των αντίστοιχων αριθμών να είναι τέλειο τετράγωνο. Π.χ. στην ακολουθία 7,5,3,5,7,5,3,7

όπου

και

, το γινόμενο των έξι τελευταίων θέσεων είναι τέλειο τετράγωνο."

-Οποιαδήποτε βοήθεια ευπρόσδεκτη.

Nick1990 · #2

Έστω $a_1, a_2, ..., a_{2^n}$ η ακολουθία. Θεωρούμε τους 2^n+1

αριθμούς:

$1, a_1, a_1a_2, ..., a_1a_2...a_{2^n}$ .

Σε κάθε έναν από αυτούς αντιστοιχίζουμε ένα διάνυσμα του $\mathbb{R}^n$ που στην

θέση έχει

αν ο

στος αριθμός εμφανίζεται άρτιο πλήθος φορών στο γινόμενο (η δεν εμφανίζεται καθόλου) και

διαφορετικά. Έχουμε 2^n

διαφορετικά τέτοια διανύσματα, οπότε σε 2 από αυτούς τους αριθμούς (και προφανώς μη διαδοχικούς) θα αντιστοιχεί το ίδιο διάνυσμα (Αρχή περιστερώνα). Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι το πηλίκο αυτών των 2 είναι γινόμενο κάποιων από τους

αριθμούς, κάθε ένας από τους οποίους θα είναι υψωμένος σε μη αρνητικό άρτιο εκθέτη, οπότε είναι τέλειο τετράγωνο.

Αρχή περιστώνα(πρόβλημα)

Αρχή περιστώνα(πρόβλημα)

Re: Αρχή περιστώνα(πρόβλημα)

Μέλη σε σύνδεση