ΘΕΜΑ 12

Βασίλης Καλαμάτας · #1

Καλησπέρα σε όλους...
Επειδή η διδασκαλία του πρώτου κεφάλαιου της ανάλυσης πλησιάζει προς το τέλος, παραθέτω ένα θέμα από το προσωπικό μου διαγώνισμα. Είναι δική μου σύνθεση με διάφορες πηγές, από ερωτήματα που υπάρχουν ακόμη και στο σχολικό βιβλίο...
Θα αποτελέσει τιμή και μεγάλη χαρά να βοηθήσω κάποιον να συμπληρώσει το δικό του διαγώνισμα με αυτήν.
Επίσης θα ήθελα, αν κρίνεται κατάλληλη από το Θωμά που το ξεκίνησε αλλά τον έχω χάσει, να μπει στη συλλογή των θεμάτων του mathematica. Στην περίπτωση αυτή παρακαλώ ας με ενημερώσει κάποιος για την αρίθμηση που έχουν φθάσει τα θέματα για να βάλω το αντίστοιχο νούμερο..

ΘΕΜΑ 12
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=ln(1-x)-x

, με

και $g(x)=1-e^{x}$ με $x\epsilon R$ .

α) Να βρείτε τη συνάρτηση της σύνθεσης (fog)

, τη συνάρτηση της σύνθεσης (gof)

και να αποδείξετε οτι για κάθε x<1

ισχύει $(fog)(x)=e^{x}\cdot (gof)(x)$ .

β) Να αποδείξετε οτι η συνάρτηση

είναι 1-1 και να βρείτε το σημείο, στο οποίο η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x'x.

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $d(x)=e^{x}-\frac{1}{x}$ , με x>0

.

δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση $\varphi (x)=1-\frac{1}{x}$ , με $x\neq 0$ . Να αποδείξετε οτι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

και $\varphi$ τέμνονται σε μοναδικό σημείο.

ε) Δίνεται μια συνάρτηση

συνεχής στο

για την οποία γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση h(2007)+h(2008)=h(2009)+h(2010)+(fog)(0)

. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

δεν αντιστρέφεται.

Καλό βράδυ σε όλους.........

Υ.Γ. Το βρήκα το νούμερο, θα παρακαλούσα όποιον συνάδελφο μπορεί να βοηθήσει να συνεχίσουμε τη συλλογή ασκήσεων, δε βλέπω το λόγο να σταματήσει....

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Βασίλη νομίζω ότι το όμορφο ερώτημα είναι το τελευταίο, αλλά το βρίσκω λίγο ξεκομένο από τα υπόλοιπα ερωτήματα... Όσο αφορά για τις ασκήσεις που μαζεύαμε, σταμάτησε (έτσι πιστεύω) και απλά τις ονομάζουμε επαναληπτικές ασκήσεις (τουλάχιστον εγώ αυτό πράττω). Αν και η άσκηση έχει 5 διαφορετικές συναρτήσεις (αυτό αποφεύγεται στις Πανελλήνιες εξετάσεις) νομίζω ότι για διαγώνισμα να ελέξουμε τα παιδιά είναι κατάλληλη. Δίνω ενδεικτικές λύσεις {και το ε ερώτημα προτείνω να το βάλουμε ως ξεχωριστή άσκηση ..}

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Καλημέρα σε όλους...

Βασίλης Καλαμάτας · #3

Καλημέρα...
Για το (ε) υπάρχει λύση που είναι στα σχολικά πλαίσια, χωρίς τη χρήση της πρότασης αν h συνεχής και 1-1 τότε είναι γνήσια μονότονη, που δεν έχει το σχολικό βιβλίο. Θα το αφήσω για λίγο να το δει όποιος θέλει και μετά θα το δώσω...
Το ερώτημα είναι πράγματι ξεκομένο από τα υπόλοιπα και πολύ δύσκολο, αλλά στο διαγώνισμα προσπαθώ κάποιο ερώτημα να μην έχουν ξαναδεί ποτέ παρόμοιο οι μαθητές για να δω πως θα αντιδράσουν...
Όσο για τις 5 συναρτήσεις το πιο πιθανό είναι να μη δοθεί ποτέ τέτοιο θέμα στις Πανελλήνιες, αλλά σκοπός μου είναι ακριβώς όπως είπε ο Μάκης να εξετάσω τους μαθητές στο ευρύτερο δυνατό φάσμα της ύλης...

#4

ε) Είναι

, οπότε αν

g(x)=h(x+2)-h(x)

παίρνουμε

.

Οπότε g(2007)=g(2008)=0

(κι άρα η

δεν είναι 1-1)

ή

$g(2007)\cdot g(2008)<0$ ,

η οποία λόγω συνέχειας της

και το Θεώρημα Bolzano,
μας λέει ότι υπαρχει $2007<\xi<2008$ , τέτοιο ώστε $g(\xi)=0$ (κι άρα η

και πάλι δεν είναι 1-1) .

Άρα η

δεν αντιστρέφεται.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #5

Για το ε
Αν κάποιοι από τους αριθμούς h(2007) , h(2008) , h(2009) , h(2010) είναι ίσοι τότε η h δεν είναι 1 - 1 οπότε τελειώνουμε . Εργαζόμαστε τώρα για την περίπτωση που οι αριθμοί είναι διαφορετικοί μεταξύ τους .
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{ \phi (x) = 2h(x) - h(2008) - h(2007) }$ Είναι $\displaystyle{ \phi (2007) = 2h(2007) - h(2008) - h(2007) = h(2007) - h(2008) }$

$\displaystyle{ \phi (2008) = 2h(2008) - h(2008) - h(2007) = h(2008) - h(2007) }$
Άρα $\displaystyle{ \phi (2007) \cdot \phi (2008) = - \left( {h(2008) - h(2007)} \right)^2 < 0 }$
Δηλ. υπάρχει $\displaystyle{ \xi _1 \in (2007,2008) }$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{ \phi (\xi _1 ) = 0 \Leftrightarrow 2h(\xi _1 ) = h(2008) + h(2007) }$
Όμοια στο [ 2009 , 2010 ] για τη συνάρτηση $\displaystyle{ \kappa (x) = 2h(x) - h(2010) - h(2009) }$ θα υπάρχει $\displaystyle{ \xi _2 \in (2009,2010) }$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{ \phi (\xi _2 ) = 0 \Leftrightarrow 2h(\xi _2 ) = h(2010) + h(2009) }$
Δηλ. $\displaystyle{ 2h(\xi _1 ) = 2h(\xi _2 ) \Leftrightarrow h(\xi _1 ) = h(\xi _2 ) }$ άρα η h δεν αντιστρέφεται .

Υ.Γ Ενώ πληκτρολογούσα είδα και τη λύση του Αχιλλέα που μου φαίνεται πιο κομψή ωστόσο ανεβάζω και τη δική μου εκδοχή .

hsiodos · #6

Καλημέρα
Μια ιδέα ακόμη για το ε)
Ουσιαστικά έχουμε μια συνεχή στο R συνάρτηση f τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(x_1 ) + f(x_2 ) = f(x_3 ) + f(x_4 )\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\,x_1 < x_2 < x_3 < x_4}$
α) Αν $\displaystyle{f(x_1 ) = f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\eta \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) = f(x_4 )\,}$ τότε η f δεν είναι 1-1

β) Αν $\displaystyle{ f(x_1 ) \ne f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) \ne f(x_4 )\,\,\,\,\,\pi .\chi \,\,\,\,f(x_1 ) < f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) > f(x_4 )}$ τότε

$\displaystyle{ f(x_1 ) < \frac{{f(x_1 ) + f(x_2 )}}{2} < f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_4 ) < \frac{{f(x_3 ) + f(x_4 )}}{2} < f(x_3 )}$
και από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχουν $\displaystyle{ \xi _1 \in (x_1 ,x_2 )\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\xi _2 \in (x_3 ,x_4 )\,}$ , τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(\xi _1 ) = \frac{{f(x_1 ) + f(x_2 )}}{2}\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,f(\xi _2 ) = \frac{{f(x_3 ) + f(x_4 )}}{2}}$
Λόγω της (1) τώρα προκύπτει $\displaystyle{f(\xi _1 ) = f(\xi _2 )\,\,\,\,\,(\mu \varepsilon \,\,\,\xi _1 \ne \xi _2 )}$ και συνεπώς η f δεν είναι 1-1.

Γιώργος

Μάκης Χατζόπουλος · #7

Πολύ ωραίες λύσεις και τελικά είχα δίκιο είναι ένα πολύ όμορφο θέμα Βασίλη

Υπάρχει και άλλη λύση με μέγιστη και ελάχιστη τιμή ...

#8

hsiodos έγραψε:Καλημέρα
Μια ιδέα ακόμη για το ε)
Ουσιαστικά έχουμε μια συνεχή στο R συνάρτηση f τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(x_1 ) + f(x_2 ) = f(x_3 ) + f(x_4 )\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\,x_1 < x_2 < x_3 < x_4}$
α) Αν $\displaystyle{f(x_1 ) = f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\eta \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) = f(x_4 )\,}$ τότε η f δεν είναι 1-1

β) Αν $\displaystyle{ f(x_1 ) \ne f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) \ne f(x_4 )\,\,\,\,\,\pi .\chi \,\,\,\,f(x_1 ) < f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_3 ) > f(x_4 )}$ τότε

$\displaystyle{ f(x_1 ) < \frac{{f(x_1 ) + f(x_2 )}}{2} < f(x_2 )\,\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(x_4 ) < \frac{{f(x_3 ) + f(x_4 )}}{2} < f(x_3 )}$
και από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχουν $\displaystyle{ \xi _1 \in (x_1 ,x_2 )\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\xi _2 \in (x_3 ,x_4 )\,}$ , τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(\xi _1 ) = \frac{{f(x_1 ) + f(x_2 )}}{2}\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,f(\xi _2 ) = \frac{{f(x_3 ) + f(x_4 )}}{2}}$
Λόγω της (1) τώρα προκύπτει $\displaystyle{f(\xi _1 ) = f(\xi _2 )\,\,\,\,\,(\mu \varepsilon \,\,\,\xi _1 \ne \xi _2 )}$ και συνεπώς η f δεν είναι 1-1.

Γιώργος

Πιο γενικά:

Έστω

συνεχής στο $\mathbb{R}$ και $n\geq 1$ . Αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $x_1<x_2<\cdots<x_{2n}$ και θετικοί ρητοί αριθμοί $m_1, m_2,\dots m_n$ τέτοιοι ώστε

$\displaystyle{m_1 h(x_1)+m_2 h(x_2)+\cdots +m_n h(x_n)= m_1 h(x_{n+1})+m_2 h(x_{n+2})+\cdots +m_n h(x_{2n})}$ ,(*)

τότε η

δεν είναι 1-1.

Φιλικά,

Αχιλλέας

(*) Φυσικά το ουσιώδες για τους $m_1, m_2,\dots m_n$ είναι το άθροισμα τους. Οπότε στο δεύτερο μέλος μπορούμε να πολλαπασιάσουμε τους $h(x_{n+1}),h(x_{n+2}),\dots, h(x_{2n})$ με οποιαδήποτε μετάθεση των $m_1, m_2,\dots m_n$ .

Βασίλης Καλαμάτας · #9

Στο κάλεσμα του Μάκη για Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής....

Επειδή h συνεχής στο [2007,2008] απο Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής ισχύει $m\leq h(x)\leq M$ για κάθε $x\epsilon [2007,2008]$ .
Για x=2007 είναι $m\leq h(2007)\leq M$
Για x=2008 είναι $m\leq h(2008)\leq M$
Άρα είναι $2m\leq h(2007)+h(2008)\leq 2M$ δηλαδή $m\leq \frac{h(2007)+h(2008)}{2}\leq M$
Από Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών υπάρχει ένα τουλ. $\xi \epsilon (2007,2008)$ ώστε $h(\xi )=\frac{h(2007)+h(2008)}{2}$ .

Όμοια στο [2009,2010]...... υπάρχει ένα τουλ. $\vartheta \epsilon (2009,2010)$ ώστε $h(\theta )=\frac{h(2009)+h(2010)}{2}$ .

Από τη δοσμένη σχέση προκύπτει ότι $h(\xi )=h(\theta )$ , άρα η h δεν είναι 1-1.

Ευχαριστώ πολύ όλους εσάς που ασχοληθήκατε (Μάκη, Γιώργο, Χρήστο, Αχιλλέα), όλες οι λύσεις ήταν καταπληκτικές....
Όταν βρω χρόνο υπόσχομαι να πληκτρολογήσω τις λύσεις και να τις ανεβάσω...

Υ.Γ. Πρέπει να πω, για να είμαι ειλικρινής, ότι είναι στο πνεύμα της λύσης του Γιώργου τώρα που το είδα καλύτερα... Συγγνώμη φίλε αλλά χάθηκα στον πλουραλισμό των λύσεων.... Επέτρεψε μου να μη το σβήσω, μην πάει χαμένη τόση πληκτρολόγηση...

John13 · #10

Μήπως στο δ έπρεπε να λέει χ>0 για να είναι ίση με τη d(x)?
edit: Δεν θα έπρεπε να πούμε και ότι για χ<0 είναι αδύνατη και μετά ότι για χ>0 είναι ίση με τη d?

Μάκης Χατζόπουλος · #11

Μια διόρθωση στο (δ) όπως μου επισήμανε πολύ σωστά ο Βασίλης

Αν x>0

τότε έχουμε την $\phi(x)- g(x)=d(x)$ που είναι γν. αύξουσα και έχει σ.τ τους πραγματικούς αριθμούς άρα το

ανήκει στο σύνολο τιμών της οπότε υπάρχει μοναδικό x_0

τέτοιο ώστε d(x_0)=0

Αν

τότε η $\phi(x) - g(x)=d(x) >0$ άρα δεν μηδενίζεται για κανένα x<0

οπότε έχει ένα μοναδικό σημείο που τέμνονται οι γραφ. παραστάσεις $\phi$ και

(και είναι στο διάστημα $(0,+\infty)$

Βασίλης Καλαμάτας · #12

Διόρθωσα και τον τίτλο.... Όταν βρω χρόνο να πληκτρολογήσω θα ανεβάσω και τις λύσεις...

Παρακαλώ όποιον από τους διαχειριστές είναι διαθέσιμος να τη μετακινήσει στο φάκελο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ

Βασίλης Καλαμάτας · #13

Καλημέρα σε όλους....
Είχα υποσχεθεί να βρω χρόνο να πληκτρολογήσω σε ένα αρχείο τις εξαιρετικές λύσεις που μαζεύτηκαν για το ερώτημα (ε) του θέματος 12.
Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συναδέλφους που ασχολήθηκαν με την άσκηση και στο συννημένο μπορεί όποιος θέλει να κρατήσει για το αρχείο του τις λύσεις που προτάθηκαν.
Επειδή γνωρίζετε πόσο μονότονη και κουραστική είναι η πληκτρολόγηση, περιμένω τις παρατηρήσεις και τις διορθώσεις σας, ίσως και κάποια άλλη ιδέα για να προσθέσω.

Φιλικά...

Μάκης Χατζόπουλος · #14

Βασίλη πολύ όμορφη δουλειά, αλλά έχω ένσταση!!! Την δική μου λύση δεν γράφτηκε και ήταν και η πρώτη!!! Αστειεύομαι φυσικά (έχεις βάλει σχολικές λύσεις, i know...)

ΘΕΜΑ 12

ΘΕΜΑ 12

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ MATHEMATI

Re: ΘΕΜΑ 12

Re: ΘΕΜΑ 12

Re: ΘΕΜΑ 12

Μέλη σε σύνδεση