επαναληπτικό 1 (συνδυαστική με μιγαδικούς)

parmenides51 · #1

Άλλη μια άσκηση του thanasis kopadis που ανέβασε στα αρχεία του

, για να μην μένει άλυτη.

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}}$ , συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb {R}}$ , με $\displaystyle{|2z-i|\cdot f(x) + |2z+i|\cdot f(2-x) = |2z-i| + |2z+i| , z\in C - {\color{red}\left\{}\frac{1}{2} i {\color{red}\right\}}}$

α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{ |2z-i| = |2z+i|}$

β) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{z\in\mathbb{R}}$

γ) Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{f(x)<1}$

δ) Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση $\displaystyle{h(x) =\int_{x}^{x+1}g(t)dt}$ , όπου $\displaystyle{g:\mathbb {R}\to \mathbb {R}}$ παραγωγίσιμη , γνησίως φθίνουσα και κοίλη στο $\displaystyle{ \mathbb {R}}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x}=1007 \cdot \int_{0}^{2}f(x)dx}$
i) Nα υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x}}$

ii) Να δείξετε ότι η $\displaystyle{h}$ είναι 1-1 και στρέφει τα κοίλα κάτω στο $\displaystyle{\mathbb {R}}$

iii) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\int_{x^2 +2014}^{x^2 +2015}g(t)dt+\int_{2016}^{2015}}g(t)dt=0}$

iv) Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(3x)-g(\eta \mu x)}{x}}$

edit
Διόρθωση latex, θενξ Λευτέρη

#2

parmenides51 έγραψε:Άλλη μια άσκηση του thanasis kopadis που ανέβασε στα αρχεία του , για να μην μένει άλυτη.

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}}$ , συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb {R}}$ , με $\displaystyle{|2z-i|\cdot f(x) + |2z+i|\cdot f(2-x) = |2z-i| + |2z+i| , z\in C - \left\{ \frac{1}{2} i \right\}}$

α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{ |2z-i| = |2z+i|}$

β) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{z\in\mathbb{R}}$

γ) Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{f(x)<1}$

α) Θέτουμε στην δοσμένη σχέση όπου

το

,

οπότε βρίσκουμε $\displaystyle{|2z-i|\cdot f(2-x) + |2z+i|\cdot f(x) = |2z-i| + |2z+i|}$ .

Συνεπώς:
$\displaystyle{|2z-i|\cdot f(x) + |2z+i|\cdot f(2-x) = |2z-i|f(2-x) + |2z+i|f(x) \leftrightarrow (|2z-i|-|2z+i|)(f(2-x)-f(x))=0}$ , για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Επομένως: $\displaystyle{|2z-i|-|2z+i|=0 \Leftrightarrow |2z-i|=|2z+i|}$ .

β) $\displaystyle{|2z-i|=|2z+i|\Leftrightarrow |2z-i|^2=|2z+i|^2 \Lefrtightarrow (2z-i)(2\bar{z}+i)=(2z+i)(2\bar{z}-i) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow z\bar{z}+2zi-2\bar{z}i-i^2=z\bar{z}-2zi+2\bar{z}i-i^2 \Leftrightarrow 4zi=4\bar{z}i \Leftrightarrow z=\bar{z} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}}$ .

γ) Για x=1

στην αρχική σχέση έχουμε ότι:

$\displaystyle{|2z-i|\cdot f(1) + |2z+i|\cdot f(1) = |2z-i| + |2z+i| \Leftrightarrow 2|2z-i|f(1)=2|2z-i| \Leftrightarrow f(1)=1}$ .

Αν $x \geq 1$ και αφού η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ θα ισχύει $\displaystyle{f(x) \geq f(1)}$ (απορρίπτεται).

Συνεπώς x < 1

.

#3

parmenides51 έγραψε:
δ) Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση $\displaystyle{h(x) =\int_{x}^{x+1}g(t)dt}$ , όπου $\displaystyle{g:\mathbb {R}\to \mathbb {R}}$ παραγωγίσιμη , γνησίως φθίνουσα και κοίλη στο $\displaystyle{ \mathbb {R}}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x}=1007 \cdot \int_{0}^{2}f(x)dx}$
i) Nα υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x}}$

ii) Να δείξετε ότι η $\displaystyle{h}$ είναι 1-1 και στρέφει τα κοίλα κάτω στο $\displaystyle{\mathbb {R}}$

iii) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\int_{x^2 +2014}^{x^2 +2015}g(t)dt+\int_{2016}^{2015}}g(t)dt=0}$

iv) Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(3x)-g(\eta \mu x)}{x}}$

δ. Έχουμε ότι $\displaystyle{\int_0^2f(2-x)dx=\int_2^0f(u)(-du)=\int_0^2f(u)du=\int_0^2f(x)dx}$ .

Χρησιμοποιώντας το (α) ερώτημα η δοσμένη σχέση γράφεται $\displaystyle{f(x)+f(2-x)=2}$ .

Συνεπώς:

$\displaystyle{\int_0^2f(x)dx+\int_0^2f(2-x)dx=\int_0^2 2 dx \Leftrightarrow \int_0^2f(x)dx=2}$ .

i) Τότε $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x}}=1007 \cdot 2 = 2014$ .

ii) Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle{h'(x)=g(x+1)-g(x)<0}$
(αφού η

είναι γνησίως φθίνουσα),
οπότε η

είναι γνησίως φθίνουσα, άρα και ένα προς ένα.

Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle{h''(x)=g'(x+1)-g'(x)<0}$
(αφού η

είναι κοίλη, άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα),
οπότε η

είναι κοίλη.

iii) Η δοσμένη εξίσωση ισδύναμα γράφεται: $\displaystyle{h(x^2+2104)=h(2015)}$

και αφού η

είναι ένα προς ένα προκύπτει $\displaystyle{x^2+2014 =2015 \Leftrightarrow x=\pm1}$ .

iv) Έχουμε ότι:
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{g(3x)}{x}=\lim_{u \rightarrow 0}\frac{3g(u)}{u}=3 \cdot 2014=6042}$
και

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{g(\eta \mu x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{g(\eta \mu x)}{\eta \mu x}\frac{\eta \mu x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{g(\eta \mu x)}{\eta \mu x}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\eta \mu x}{x}=\lim_{u \rightarrow 0}\frac{g(u)}{u}=2014}$ .

Συνεπώς

$\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{g(3x)-g(\eta \mu x)}{x}=6042-2014=4028}$ .

επαναληπτικό 1 (συνδυαστική με μιγαδικούς)

επαναληπτικό 1 (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Re: επαναληπτικό 1 (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Re: επαναληπτικό 1 (συνδυαστική με μιγαδικούς)

Μέλη σε σύνδεση