1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

#21

4η Περίπτωση

Στην τελευταία περίπτωση αυτής της προσπάθειας μερικής συστηματοποίησης της πιο σημαντικής κατηγορίας ασκήσεων στα μαθηματικά κατεύθυνσης θα εντάξω τις εξής περιπτώσεις :

- Η συνάρτηση βρίσκεται από μια συναρτησιακή εξίσωση, με ή χωρίς παραγώγους , με μία ή δύο μεταβλητές.

Εδώ φρεσκάρουμε ότι αν η σχέση έχει δύο μεταβλητές και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, τότε μπορούμε να θεωρούμε τη μία μεταβλητή σταθερή και να παραγωγίζουμε ως προς την άλλη.Με επιλεγμένες στη συνέχεια τιμές για τη μία μεταβλητή, παίρνουμε μια σχετικά βατή διαφορική εξίσωση με μία μεταβλητή και βρίσκουμε τη ζητούμενη συνάρτηση. Σχετικές ασκήσεις έχουν όλα τα βοηθήματα και αν προλάβω, θα βάλω και μία εδώ.Α! Να μην ξεχάσω τη βασική τεχνική που τη συνάρτηση την βρίσκουμε από μια σχέση της μορφής g(f(x)) = g(h(x))

, όπου

είναι μια

συνάρτηση.Πρόκειται για την πιο απλή και έξυπνη συγχρόνως περίπτωση.

Να τονίσουμε στους μαθητές μας ότι σε τέτοια θέματα και μάλιστα όταν το ερώτημα είναι '' να βρεθεί η συνάρτηση .... '', είναι πιθανό να χρειάζεται επαλήθευση. Τέτοια ώρα- τέτοια λόγια θα μου πείτε και θα συμφωνήσω.Αλλά από την άλλη σε κανένα δε θα άρεσε να έρθει ο μαθητής μετά από δυο μέρες και του πει '' κύριε, δεν μας το είχατε τονίσει αυτό τελευταία !''.
Αυτός που ετοιμάζει μαθητές θέλει να έχει μια σχέση ευθύνης με τον εαυτό του και το μαθητή του και δικαιολογημένα στεναχωριέται όταν δεν τονίσει κάτι βασικό.Μόνο με αυτό το σκεπτικό αναφέρω ότι καλό είναι να έχουμε και την επαλήθευση στο μυαλό μας, όχι μόνο σε θέματα εύρεσης αλλά και σε μερικές άλλες αναγκαίες περιπτώσεις.

- Η συνάρτηση είναι πολυωνυμική και στη σχέση που δίνεται υπάρχουν δυνάμεις και παράγωγοι πρώτης ή δευτέρας τάξεως.

Η αντιμετώπιση, όπως καλά γνωρίζετε, γίνεται σε δύο βήματα :
α) Εντοπίζουμε το βαθμό κάθε όρου και καταλήγουμε σε μια απλή εξίσωση ως ν, όπου ν είναι ο βαθμός του ζητούμενου πολύωνύμου.Πιθανόν να χρειαστεί η σχετική διερεύνηση.
β) Με βάση το θεώρημα για την ισότητα πολυωνύμων προσδιορίζουμε τους συντελεστές του ζητούμενου πολυωνύμου.

- Η διαφορική εξίσωση προκύπτει από μόνη της ή από σύστημα σχέσεων, δίνοντας πληροφορία για δυο συναρτήσεις (ή για μία) και τις αρχικές τους.

Εδώ ο μαθητής πρέπει να ξέρει να χρησιμοποιεί τον ορισμό της αρχικής και από κει πέρα να παίζει με άνεση τις βασικές περιπτώσεις αντιπαραγώγισης. Σημειώνω ότι οι ασκήσεις με αρχικές είναι ιδανικές για εξετάσεις και δεν έχουμε δει ακόμα τέτοιο θέμα.

Για φέτος θα σταματήσω σε αυτή μόνο την κατηγορία,δηλαδή την εύρεση συνάρτησης , μια και οι εξετάσεις έφτασαν !
Τις ομάδες ασκήσεων που αναφέρονται σε :

Ύπαρξη , Όρια, Πλήθος ριζών, Ειδικά ολοκληρώματα, Εξισώσεις, Ανισώσεις και Ανισότητες(κυρίως με ολοκληρώματα) ,

θα τις αναλύσουμε στη διάρκεια της επόμενης σχολικής χρονιάς.

Ας δώσω μια εφαρμογή για επανάληψη στα προηγούμενα και αύριο ξαναερχόμαστε στις παραπάνω περιπτώσεις για μερικές πολύ χαρακτηριστικές περιπτώσεις.

Εφαρμογή για επανάληψη

α) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:R\to R$ με f(0)=2

, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις :

$f(x)g(x)={{e}^{2x}}$ και $f\,'\,(x)g\,'\,(x)={{e}^{2x}}$

για κάθε $x\in R$ . Να βρείτε τους τύπους των f , g .

β) Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f\,:\,(0\,,\,+\,\infty )\,\to \,R$ με f(1)=0

,

και τέτοια , ώστε ${f}''(x)\cdot {{e}^{2f(x)}}=-1$ για κάθε x > 0 . Να βρείτε την

.

(Tις έχουμε ξαναλύσει στο mathematica!)

*** Κάνω μερικές συμπληρώσεις στα σχόλια και τίποτα περισσότερα.

#22

Εφαρμογή 7(γενική)

Δίνεται μια συνάρτηση

, δύο φορές παραγωγίσιμη , με την ιδιότητα :

f(1) = 1

και

για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb R}$ .

Α. Να αποδείξετε ότι :

α) xf'(x) = 2x^2

, για κάθε $\displaystyle{x\in \,\mathbb R}$

β) f(x) = x^2

, για κάθε $\displaystyle{x\in \,\mathbb R}$

Β. Να βρείτε :

α) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C_f

που διέρχονται από το σημείο M( 2 , - 5)

.

β) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C_f

και τις παραπάνω δύο εφαπτομένες .

Theoxaris Malamidis · #23

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Εφαρμογή 5(γενική)

Δίνεται μια συνάρτηση , δύο φορές παραγωγίσιμη , με την ιδιότητα :

και για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb R}$ .

Α. Να αποδείξετε ότι :

α) , για κάθε $\displaystyle{x\in \,\mathbb R}$

β) , για κάθε $\displaystyle{x\in \,\mathbb R}$

Β. Να βρείτε :

α) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων της που διέρχονται από το σημείο .

β) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη και τις παραπάνω δύο εφαπτομένες .

A.
α) $\displaystyle xf'(x)=2x^{2}\Rightarrow (xf'(x))'=(2x^{2})'\Rightarrow f'(x)+xf''(x)=4x\Rightarrow f'(x)=x(4-f''(x))$

β) $\displaystyle xf'(x)=2x^{2}\Rightarrow \frac{xf'(x)}{x}=\frac{2x^{2}}{x}\Rightarrow f'(x)=2x\Rightarrow f(x)=x^{2}+c$

$\displaystyle f(1)=1\Leftrightarrow 1^{2}+c=1\Leftrightarrow c=0$

αρα $\displaystyle f(x)=x^{2}$

#24

Εφαρμογή 8

( Η εφαρμογή αυτή αναφέρεται κυρίως στην 4η περίπτωση και έχει το χαρακτήρα γενικού θέματος, μια και προσφέρεται για κάτι τέτοιο.Το ίδιο συμβαίνει και με την επόμενη εφαρμογή.)

Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση

με την ιδιότητα $4f(x)={{\left( f'(x) \right)}^{2}}+{{x}^{2}}$ για κάθε $x\in R$ .

α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}$ , $x\in R$ .

β) Να αποδείξετε ότι από τα σημεία της ευθείας $\varepsilon :y=-\frac{1}{2}$ άγονται δύο κάθετες μεταξύ τους εφαπτομένες προς τη ${{C}_{f}}$ .

γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $A=\int_{-1}^{1}{\frac{f(x)}{{{e}^{x}}+1}}dx$ .

δ) Ένα σημείο

της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

με θετική τετμημένη απομακρύνεται από τον άξονα y'y

με ρυθμό

.Να βρείτε το ρυθμό που

μεταβάλλεται η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της ${{C}_{f}}$ στο σημείο

με τον άξονα x'x

, τη στιγμή που αυτή είναι ίση με ${{45}^{o}}$ .

Εφαρμογή 9

Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty )\to R$ έχει την ιδιότητα $\displaystyle{f(xy)+f\left( \frac{x}{y} \right)=2f(x)}$ , για κάθε $\displaystyle{~x\text{ },\text{ }y\text{ }>\text{ }0}$ .

Αν f(1) = 0

και

, να αποδείξετε ότι:

α) $\displaystyle{f(x)+f\left( \frac{1}{x} \right)=0}$ , για κάθε $\displaystyle{x\text{ }>\text{ }0}$ .

β) $\displaystyle{f\text{ }\left( x \right)+\frac{1}{{{x}^{2}}}f'(\frac{1}{x})=\frac{2}{x}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\text{ }>\text{ }0}$ .

γ) $\displaystyle{f\left( x \right)\text{ }=\text{ }lnx,~x\text{ }>\text{ }0}$ .

#25

Θεοχάρη, για ξανά δες το παρακάτω γιατί δεν απέδειξες το ζητούμενο αλλά το αντίστροφό του.

Theoxaris Malamidis έγραψε: α) $\displaystyle xf'(x)=2x^{2}\Rightarrow (xf'(x))'=(2x^{2})'\Rightarrow f'(x)+xf''(x)=4x\Rightarrow f'(x)=x(4-f''(x))$

Ξανά δες και το παρακάτω γιατί όταν x=0

έχεις διαιρέσει με το

. Εδώ το σωστό χρειάζεται κάποια δικαιολόγηση.

Theoxaris Malamidis έγραψε:β) $\displaystyle xf'(x)=2x^{2}\Rightarrow \frac{xf'(x)}{x}=\frac{2x^{2}}{x}\Rightarrow f'(x)=2x\Rightarrow f(x)=x^{2}+c$

$\displaystyle f(1)=1\Leftrightarrow 1^{2}+c=1\Leftrightarrow c=0$

αρα $\displaystyle f(x)=x^{2}$

BAGGP93 · #26

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Εφαρμογή 5(γενική)

Δίνεται μια συνάρτηση , δύο φορές παραγωγίσιμη , με την ιδιότητα :

και για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb R}$ .

Α. Να αποδείξετε ότι :

α) , για κάθε $\displaystyle{x\in \,\mathbb R}$

β) , για κάθε $\displaystyle{x\in \,\mathbb R}$

Β. Να βρείτε :

α) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων της που διέρχονται από το σημείο .

β) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη και τις παραπάνω δύο εφαπτομένες .

Καλησπέρα σε όλους.

Λύση.

Η αρχική σχέση για $\displaystyle{x=0}$ δίνει $\displaystyle{f^\prime(0)=0}$ .

Αα)Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ έχουμε

$\displaystyle{f^\prime(x)=4x-xf''(x)\Leftrightarrow f^\prime(x)+xf''(x)=4x\Leftrightarrow \left[xf^\prime(x)\right]'=\left(2x^2\right)'\Leftrightarrow \exists c\in\mathbb{R}:xf^\prime(x)=2x^2+c,x\in\mathbb{R}}$

Από την τελευταία σχέση για $\displaystyle{x=0}$ παίρνουμε $\displaystyle{c=0}$ και συνεπώς $\displaystyle{xf^\prime(x)=2x^2,x\in\mathbb{R}}$

Αβ)Για κάθε $\displaystyle{x\neq 0}$ είναι

$\displaystyle{xf^\prime(x)=2x^2\Leftrightarrow f^\prime(x)=2x}$ απ' όπου παίρνουμε ότι

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} x^2+c_1 ,x>0\\ x^2+c_2 ,x<0\\ \end{cases}$

Από την συνέχεια της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{x=0}$ λαμβάνουμε

$\displaystyle{f(0)=\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}f(x) (\ast)}$ .

Είναι,

$\displaystyle{\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=c_1}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=c_2}$ , οπότε $\displaystyle{c_1\stackrel{(\ast)}{=}c_2}$

Τότε, $\displaystyle{f(x)=x^2+c_1,x\neq 0}$ και $\displaystyle{f(1)=1\Rightarrow 1+c_1=1\Rightarrow c_1=0}$ .

Η σχέση $\displaystyle{(\ast)}$ τώρα δίνει $\displaystyle{f(0)=\lim_{x\to 0}f(x)=0}$ .

Συνεπώς, $\displaystyle{f(x)=x^2,x\in\mathbb{R}}$ .

Βα)Η εξίσωση της εφαπτομένης σε τυχόν σημείο $\displaystyle{A\left(x_0,f(x_0)\right)}$ της $\displaystyle{C_{f}}$ δίνεται από την σχέση

$\displaystyle{y-f(x_0)=f^\prime(x_0)(x-x_0)\Leftrightarrow f^\prime(x_0)\cdot x-y+f(x_0)-x_0\cdot f^\prime(x_0)=0}$ .

Αναζητούμε εκείνες, των οποίων η εξίσωση επαληθεύεται απο τις συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{M\left(2,-5\right)}$ .

Δηλαδή, εκείνες που ικανοποιούν την σχέση $\displaystyle{2f^\prime(x_0)+5+f(x_0)-x_0\cdot f^\prime(x_0)=0$ .

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε

$\displaystyle{4x_0+5+x_0^2-2x_0^2=0\Leftrightarrow x_0^2-4x_0=5\Leftrightarrow \left(x_0-2\right)^2=9\Leftrightarrow (x_0-2=3\ \lor x_0-2=-3)\Leftrightarrow x_0=5\ \lor x_0=-1}$ .

Συνεπώς, τα σημεία είναι τα $\displaystyle{A_{1}\left(5,25\right)}$ και $\displaystyle{A_{2}\left(-1,1\right)}$ με αντίστοιχες εξισώσεις τις

$\displaystyle{\left(\epsilon_{1}\right):y=10x-25}$ και $\displaystyle{\left(\epsilon_{2}\right):y=-2x-1}$ .

Ββ)Έχοντας όλα τα παραπάνω και αν $\displaystyle{E}$ είναι το ζητούμενο εμβαδό, τότε

$\displaystyle{E=\int_{0}^{1}\left(f(x)-(-2x-1)\right)\,dx-\int_{-1}^{-\frac{1}{2}}(-2x-1)\,dx+\int_{0}^{1}\left(-2x-1-10x+25\right)\,dx+\int_{0}^{5}\left(f(x)-10x+25\right)\,dx=}$

$\displaystyle{=\int_{-1}^{0}(x+1)^2\,dx+\left[x^2+x\right]_{-1}^{-\frac{1}{2}}+\int_{0}^{1}\left(-12x+24\right)\,dx+\int_{0}^{5}\left(x-5)\right)^2\,dx}$

$\displaystyle{=\left[\frac{1}{3}\left(x+1\right)^3\right]_{-1}^{0}+\left[x^2+x\right]_{-1}^{-\frac{1}{2}}+\left[-6x^2+24x\right]_{0}^{2}+\left[\frac{1}{3}\left(x-5\right)^2\right]_{0}^{5}=...}$

#27

Εφαρμογή 9

Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty )\to R$ έχει την ιδιότητα $\displaystyle{f(xy)+f\left( \frac{x}{y} \right)=2f(x)}$ , για κάθε $\displaystyle{~x\text{ },\text{ }y\text{ }>\text{ }0}$ .

Αν f(1) = 0

και

, να αποδείξετε ότι:

α) $\displaystyle{f(x)+f\left( \frac{1}{x} \right)=0}$ , για κάθε $\displaystyle{x\text{ }>\text{ }0}$ .

β) $\displaystyle{f\text{ }\left( x \right)+\frac{1}{{{x}^{2}}}f'(\frac{1}{x})=\frac{2}{x}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\text{ }>\text{ }0}$ .

γ) $\displaystyle{f\left( x \right)\text{ }=\text{ }lnx,~x\text{ }>\text{ }0}$ .[/quote]

ΛΥΣΗ

α) Για x=1

θα ισχύει ότι $f(y)+f(\frac{1}{y})=2f(1)=0,\,\,\,\,y>0$ άρα ισχύει ότι $f(x)+f(\frac{1}{x})=0,\,\,\,\,x>0$

β) Για y=c>0

ισχύει ότι $f(xc)+f(\frac{x}{c})=2f(x),\,\,\,\,\,x>0$ και παραγωγίζοντας ως προς

προκύπτει ότι

$c{f}'(xc)+\frac{1}{c}{f}'(\frac{x}{c})=2{f}'(x),\,\,\,\,\,x>0$ οπότε και για x=1

θα ισχύει ότι $c{f}'(c)+\frac{1}{c}{f}'(\frac{1}{c})=2{f}'(1)=2$

άρα ισχύει ότι $x{f}'(x)+\frac{1}{x}{f}'(\frac{1}{x})=2,\,\,\,\,\,x>0$ άρα και ${{x}^{2}}{f}'(x)+{f}'(\frac{1}{x})=2x,\,\,\,\,\,x>0$

και για όπου

το $\frac{1}{x}$ θα ισχύει ότι $\frac{1}{{{x}^{2}}}{f}'(\frac{1}{x})+{f}'(x)=2\frac{1}{x},\,\,\,\,\,x>0$

γ) Από $\frac{1}{{{x}^{2}}}{f}'(\frac{1}{x})+{f}'(x)=2\frac{1}{x},\,\,\,\,\,x>0$ έχουμε ότι

${{\left( -f(\frac{1}{x}) \right)}^{\prime }}+{f}'(x)=(2\ln x{)}',\,\,\,\,\,x>0$ άρα και $-f(\frac{1}{x})+f(x)=2\ln x+c,\,\,\,\,\,x>0$

που λόγω του (α) θα έχουμε ότι $2f(x)=2\ln x+c,\,\,\,\,\,x>0$ και επειδή f(1)=0

προκύπτει

άρα $f(x)=\ln x,\,\,\,\,\,x>0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#28

["Μπάμπης Στεργίου"]Εφαρμογή 8

( Η εφαρμογή αυτή αναφέρεται κυρίως στην 4η περίπτωση και έχει το χαρακτήρα γενικού θέματος, μια και προσφέρεται για κάτι τέτοιο.Το ίδιο συμβαίνει και με την επόμενη εφαρμογή.)

Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση

με την ιδιότητα $4f(x)={{\left( f'(x) \right)}^{2}}+{{x}^{2}}$ για κάθε $x\in R$ .

α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}$ , $x\in R$ .

β) Να αποδείξετε ότι από τα σημεία της ευθείας $\varepsilon :y=-\frac{1}{2}$ άγονται δύο κάθετες μεταξύ τους εφαπτομένες προς τη ${{C}_{f}}$ .

γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $A=\int_{-1}^{1}{\frac{f(x)}{{{e}^{x}}+1}}dx$ .

δ) Ένα σημείο

της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

με θετική τετμημένη απομακρύνεται από τον άξονα y'y

με ρυθμό

.Να βρείτε το ρυθμό που

μεταβάλλεται η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της ${{C}_{f}}$ στο σημείο

με τον άξονα x'x

, τη στιγμή που αυτή είναι ίση με ${{45}^{o}}$ .

ΛΥΣΗ

α) Προφανώς το σταθερό πολυώνυμο δεν επαληθεύει την ισότητα για κάθε $x\in R$ άρα η

είναι πολυώνυμική $\nu$ βαθμού με $\nu \ge 1$

Αν $\nu =1$ τότε $f(x)=\alpha x+\beta ,\,\,\,\,\alpha \ne 0$ και η ${f}'(x)=\alpha ,\,\,\,\,x\in R$ και η δοθείσα θα είναι

$4\alpha x+4\beta ={{\alpha }^{2}}+{{x}^{2}}$ που είναι αδύνατο για κάθε $x\in R$

Έτσι η

θα είναι αναγκαία πολυωνυμική βαθμού $\nu \ge 2$ οπότε η {f}'

θα είναι πολυωνυμική $\nu -1$ βαθμού άρα η

${{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}$ πολυωνυμική $2(\nu -1)\ge 2$ βαθμού και λόγω της ισότητας $4f(x)={{({f}'(x))}^{2}}+{{x}^{2}}$

θα ισχύει από την ισότητα των βαθμών των πολυωνύμων ότι $\nu =2(\nu -1)\Leftrightarrow \nu =2$ οπότε

$f(x)=\alpha {{x}^{2}}+\beta x+\gamma ,\,\,\,\,\alpha \ne 0$ και επειδή ${f}'(x)=2\alpha x+\beta$ στην δοθείσα σχέση θα έχουμε

$4\alpha {{x}^{2}}+4\beta x+4\gamma ={{(2\alpha x+\beta )}^{2}}+{{x}^{2}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4\alpha {{x}^{2}}+4\beta x+4\gamma =(4{{\alpha }^{2}}+1){{x}^{2}}+4\alpha \beta x+{{\beta }^{2}}$ και λόγω της ισότητας θα ισχύουν

$4\alpha =4{{\alpha }^{2}}+1\Leftrightarrow \alpha =\frac{1}{2}$ και $4\beta =4\alpha \beta \Leftrightarrow \beta =\frac{1}{2}\beta \Leftrightarrow \beta =0$

και $4\gamma ={{\beta }^{2}}=0$ επομένως $f(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}},\,\,\,\,\,x\in R$

β) Είναι {f}'(x)=x

και από σημείο της $M({{x}_{0}},\,\,\,\frac{1}{2}x_{0}^{2})$ η εφαπτομένη έχει εξίσωση

$y-\frac{1}{2}x_{0}^{2}={{x}_{0}}(x-{{x}_{0}})\Leftrightarrow y={{x}_{0}}x-\frac{1}{2}x_{0}^{2}$ και αν περνάει από σημείο

$(\kappa ,\,\,-\frac{1}{2})$ της $y=-\frac{1}{2}$ θα ισχύει ότι

$-\frac{1}{2}={{x}_{0}}\kappa -\frac{1}{2}x_{0}^{2}\Leftrightarrow x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}\kappa -1=0$ και επειδή η εξίσωση

${{x}^{2}}-2\kappa x-1=0$ έχει διακρίνουσα $\Delta =4{{\kappa }^{2}}+4>0$ θ έχει πάντα δύο ρίζες , έστω ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$

που λόγω Vietta θα έχουν γινόμενο ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1$ δηλαδή θα ισχύει ότι ${f}'({{x}_{1}}){f}'({{x}_{2}})=-1$

που σημαίνει ότι οι εφαπτόμενες στα σημεία με τετμημένες ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ είναι κάθετες.

γ) Με u=-x

είναι

και για $x=-1\to u=1,\,\,\,\,x=1\to u=-1$ και το

$A=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f(x)}{{{e}^{x}}+1}}dx=\int\limits_{1}^{-1}{\frac{f(-x)}{{{e}^{-x}}+1}(-}du)=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f(x){{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}dx}=B$

Έτσι έχουμε $A+B=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f(x)({{e}^{x}}+1)}{{{e}^{x}}+1}dx}\Leftrightarrow 2A=\int\limits_{-1}^{1}{f(x)dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{{{x}^{2}}dx}\Leftrightarrow ....\Leftrightarrow A=\frac{1}{6}$

δ) Γνωρίζουμε ότι {x}'(t)=2

και έστω $\omega$ η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη στο σημείο

τότε θα ισχύει ότι

$\varepsilon \varphi \omega ={f}'(x)=x>0$ και τότε για κάθε χρονική στιγμή θα ισχύει ότι $\varepsilon \varphi (\omega (t))=x(t)$

άρα παραγωγίζοντας θα ισχύει ότι $(1+\varepsilon {{\varphi }^{2}}(\omega (t))){\omega }'(t)={x}'(t)$ και την χρονική στιγμή που

$\omega ({{t}_{0}})=\frac{\pi }{4}$ θα είναι $(1+1){\omega }'({{t}_{0}})=2\Leftrightarrow {\omega }'({{t}_{0}})=1\,$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

johnmad · #29

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Εφαρμογή για επανάληψη

α) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:R\to R$ με , για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις :

$f(x)g(x)={{e}^{2x}}$ και $f\,'\,(x)g\,'\,(x)={{e}^{2x}}$

για κάθε $x\in R$ . Να βρείτε τους τύπους των f , g .

β) Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f\,:\,(0\,,\,+\,\infty )\,\to \,R$ με , και τέτοια , ώστε ${f}''(x)\cdot {{e}^{2f(x)}}=-1$ για κάθε x > 0 . Να βρείτε την .

(Tις έχουμε ξαναλύσει στο mathematica!)

Θα μπορούσε κάποιος να δώσει τα links για αυτές....
τις έψαξα, αλλά δεν μπόρεσα να τις εντοπίσω...
ευχαριστώ....

#30

Καλημέρα σε όλους.
Ας βάλω και εγώ ένα χεράκι στην ωραία και χρήσιμη προσπάθεια του Μπάμπη .

Εφαρμογή για επανάληψη

α .
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:R\to R$ με f(0)=2

, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις :
$f(x)g(x)={{e}^{2x}}$ και $\displaystyle{}$ ${f}'(x){g}'(x)={{e}^{2x}}$
για κάθε $x\in R$ . Να βρείτε τους τύπους των f , g .

............................................Λύση........................................................

Είναι $f(x)=\frac{{{e}^{2x}}}{g(x)}\Rightarrow {f}'(x)=\frac{2{{e}^{2x}}\cdot g(x)-{{e}^{2x}}\cdot {g}'(x)}{{{g}^{2}}(x)}$ άρα η
${f}'(x){g}'(x)={{e}^{2x}}$ γίνεται
$\frac{2{{e}^{2x}}\cdot g(x)-{{e}^{2x}}\cdot {g}'(x)}{{{g}^{2}}(x)}{g}'(x)={{e}^{2x}}\Leftrightarrow \left( 2g(x)-{g}'(x) \right)\cdot {g}'(x)={{g}^{2}}(x)\Leftrightarrow 2g(x)\cdot {g}'(x)-{{\left( {g}'(x) \right)}^{2}}={{g}^{2}}(x)\Leftrightarrow {{g}^{2}}(x)-2g(x)\cdot {g}'(x)+{{\left( {g}'(x) \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( g(x)-{g}'(x) \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow g(x)={g}'(x)\Leftrightarrow g(x)=c\cdot {{e}^{x}}$
Άρα η $f(x)g(x)={{e}^{2x}}$ γίνεται $f(x)\cdot c\cdot {{e}^{x}}={{e}^{2x}}$ και για $\displaystyle{x=0}$ έχουμε $c=\frac{1}{2}$ άρα $f(x)=2{{e}^{x}}$ και $g(x)=\frac{{{e}^{x}}}{2}$ που επαληθεύουν τις αρχικές σχέσεις .

β .
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left[ 0,+\infty \right)\to R$ με f(0)=0

,

και τέτοια , ώστε ${f}''(x)\cdot {{e}^{2f(x)}}=-1\,\,\,\,\left( 1 \right)$ για κάθε $\displaystyle{x\ge 0}$ . Να βρείτε την

.
............................................Λύση........................................................
Είναι
${f}''(x)\cdot {{e}^{2f(x)}}=-1\Leftrightarrow$
${f}''(x)=-{{e}^{-2f(x)}}$

$\overset{\varepsilon \pi \iota \,\,{f}'(x)\,\,}{\mathop{\Rightarrow }}\,$

${\mathop{\Rightarrow }}\,2{f}''(x)\cdot {f}'(x)=-{{e}^{-2f(x)}}\cdot 2{f}'(x)\Leftrightarrow$
${{\left[ {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}} \right]}^{\prime }}={{\left( {{e}^{-2f(x)}} \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow$
${{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}={{e}^{-2f(x)}}+{{c}_{1}}$

Για $\displaystyle{x=0}$ έχουμε ${{c}_{1}}=0$ άρα
${{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}={{e}^{-2f(x)}}\Leftrightarrow 2{f}'(x)\cdot {f}'(x)\cdot {{e}^{2f(x)}}=2\Leftrightarrow {f}'(x)\cdot {{\left( {{e}^{2f(x)}} \right)}^{\prime }}=2\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Από $\displaystyle{\left( 1 \right)\text{ }+\left( 2 \right)~}$ έχουμε
${f}''(x)\cdot {{e}^{2f(x)}}+{f}'(x)\cdot {{\left( {{e}^{2f(x)}} \right)}^{\prime }}=1\Leftrightarrow {{\left( {f}'(x)\cdot {{e}^{2f(x)}} \right)}^{\prime }}=(x{)}'\Leftrightarrow {f}'(x)\cdot {{e}^{2f(x)}}=x+{{c}_{2}}$

Για $\displaystyle{x=0}$ έχουμε ${{c}_{2}}=1$
${f}'(x)\cdot {{e}^{2f(x)}}=x+1\Leftrightarrow 2{f}'(x)\cdot {{e}^{2f(x)}}=2x+2\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{2f(x)}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow {{e}^{2f(x)}}={{x}^{2}}+2x+{{c}_{3}}$

Για $\displaystyle{x=0}$ έχουμε ${{c}_{3}}=1$
${{e}^{2f(x)}}={{x}^{2}}+2x+1\Leftrightarrow \ln {{e}^{2f(x)}}=\ln {{\left( x+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2f(x)=2\ln \left| x+1 \right|\overset{x>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,f(x)=\ln \left( x+1 \right)$
που επαληθεύει την αρχική σχέση .

Υ.Γ :
Στο β : Έγινε διόρθωση της ισοδυναμίας σε συνεπάγεται στο σημείο που πολλαπλασιάζω με την παράγωγο επίσης έχω δώσει τη λύση μια δίκης μου άσκησης , αλλάζοντας τα $\displaystyle{f\left( 1 \right)=0\text{ }}$ και $\displaystyle{\text{ }{f}'\text{ }\left( 1 \right)=1}$ σε $\displaystyle{f\left( 0 \right)=0\text{ }}$ και $\displaystyle{\text{ }{f}'\text{ }\left( 0 \right)=1}$
Ευχαριστώ τον Μπάμπη και Θανάση για τα π.μ.

johnmad · #31

Ευχαριστώ....

#32

Εφαρμογή 10

(Για την 4η περίπτωση : Είναι η πιο εύκολη περίπτωση να ξεκινήσει κάποιος να στήνει ένα θέμα.)

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\to R$ με την ιδιότητα $\displaystyle{2f(x)\text{ +}f(1\text{ -}x)\text{ }=\text{ }3{{x}^{2}}-2x+\text{ }4}$ για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{x}$ .

Α. Να αποδειχθεί ότι :

α) $\displaystyle{~2f(1-x)\text{ }+f(x)\text{ }=\text{ }3{{x}^{2}}-4x+5}$

β) ο τύπος της $\displaystyle{~f}$ δίνεται από τη σχέση $\displaystyle{f(x)\text{ = }{{\text{x}}^{2}}+\text{ }1}$

B. Δύο εφαπτόμενες της $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ διέρχονται από το σημείο $\displaystyle{M \left( \text{ }3\text{ },9 \right)}$ . Να βρείτε :

α) τα σημεία επαφής της $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ με τις εφαπτόμενες αυτές.

β) τις εξισώσεις των εφαπτόμενων αυτών και το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα σε αυτές και τη γραφική παράσταση.

#33

Related video:

http://www.operedidixe.gr/archive/issue ... teliko.pdf

#34

KAKABASBASILEIOS έγραψε: δ) Γνωρίζουμε ότι και έστω $\omega$ η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη στο σημείο τότε θα ισχύει ότι

$\varepsilon \varphi \omega ={f}'(x)=x>0$ και τότε για κάθε χρονική στιγμή θα ισχύει ότι $\varepsilon \varphi (\omega (t))=x(t)$

άρα παραγωγίζοντας θα ισχύει ότι $(1+\varepsilon {{\varphi }^{2}}(\omega (t))){\omega }'(t)={x}'(t)$ και την χρονική στιγμή που

$\omega ({{t}_{0}})=\frac{\pi }{4}$ θα είναι $(1+1){\omega }'({{t}_{0}})=2\Leftrightarrow {\omega }'({{t}_{0}})=1\,$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Γεννάται βέβαια το ερώτημα, γιατί η $\omega$ είναι παραγωγίσιμη...

#35

socrates έγραψε:Related video:

http://www.operedidixe.gr/archive/issue ... teliko.pdf

Θανάση, πολύ ωραίο αρχείο.Είχα καιρό να περάσω από τα μέρη του Νίκου και μου διέφυγε !

Σε ευχαριστώ πολύ.

Μπάμπης

#36

KAKABASBASILEIOS έγραψε:["Μπάμπης Στεργίου"]Εφαρμογή 8

( Η εφαρμογή αυτή αναφέρεται κυρίως στην 4η περίπτωση και έχει το χαρακτήρα γενικού θέματος, μια και προσφέρεται για κάτι τέτοιο.Το ίδιο συμβαίνει και με την επόμενη εφαρμογή.)

Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση με την ιδιότητα $4f(x)={{\left( f'(x) \right)}^{2}}+{{x}^{2}}$ για κάθε $x\in R$ .

α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}$ , $x\in R$ .

β) Να αποδείξετε ότι από τα σημεία της ευθείας $\varepsilon :y=-\frac{1}{2}$ άγονται δύο κάθετες μεταξύ τους εφαπτομένες προς τη ${{C}_{f}}$ .

γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $A=\int_{-1}^{1}{\frac{f(x)}{{{e}^{x}}+1}}dx$ .

δ) Ένα σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με θετική τετμημένη απομακρύνεται από τον άξονα με ρυθμό .Να βρείτε το ρυθμό που

μεταβάλλεται η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της ${{C}_{f}}$ στο σημείο με τον άξονα , τη στιγμή που αυτή είναι ίση με ${{45}^{o}}$ .

ΛΥΣΗ

................................

δ) Γνωρίζουμε ότι και έστω $\omega$ η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη στο σημείο τότε θα ισχύει ότι

$\varepsilon \varphi \omega ={f}'(x)=x>0$ και τότε για κάθε χρονική στιγμή θα ισχύει ότι $\varepsilon \varphi (\omega (t))=x(t)$

άρα παραγωγίζοντας θα ισχύει ότι $(1+\varepsilon {{\varphi }^{2}}(\omega (t))){\omega }'(t)={x}'(t)$ και την χρονική στιγμή που

$\omega ({{t}_{0}})=\frac{\pi }{4}$ θα είναι $(1+1){\omega }'({{t}_{0}})=2\Leftrightarrow {\omega }'({{t}_{0}})=1\,$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Βασίλη, το ερώτημα αυτό για μαθητές έχει παγίδα, διότι θα πάρουν $tan \omega(t)=(f(x(t)))'$ και η συνέχεια θα δώσει άλλα αποτελέσματα.Το πιο δύσκολοβήμα της άσκησης είναι να καταλάβουν σε ποιο ακριβώς σημείο πρέπει να μπει η μεταβλητή

του χρόνου.

Σε ευχαριστώ για τις ωραίες λύσεις σου !

Μπάμπης

#37

Εφαρμογή 11

Μια νεοσύστατη ...''ανθρώπινη'' άσκηση με βασικές γνώσεις και ωραία βήματα στην εύρεση, μάλλον για Θέμα Δ.

Δίνονται οι γνησίως μονότονες και παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f:R\to R$ με τις ιδιότητες :

$2\int_{\,0}^{\,x}{f(t)dt\,=\,{{g}^{2}}(x)}$ και $2\int_{\,0}^{\,x}{g(t)dt\,=\,{{f}^{2}}(x)}$ για κάθε $x\in \mathbb R$ .

α) Να αποδείξετε ότι f=g

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=x

, $x\in \mathbb R$ .

γ) Να υπολογίσετε τα όρια:

$A=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}^{2}})}{f({{x}^{2}})+\eta \mu x+1}$ , $B=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}(\sigma \upsilon \nu \frac{1}{f(x)}-1) \right)$ , $\Gamma=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1-f(x)}{f(x)-\eta \mu x} \right)}^{2}}$

δ) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

$I=\int_{\,-1\,}^{\,1}{\frac{3{{f}^{2}}(x)}{{{e}^{x}}+1}}\,dx$ και $J = \int_{\, - 1\,}^{\,1} {{f^{2013}}(x)\ln (1 + {e^x})dx} \,$
.

Μπάμπης

Grigoris K. · #38

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Εφαρμογή 11

Μια νεοσύστατη ...''ανθρώπινη'' άσκηση με βασικές γνώσεις και ωραία βήματα στην εύρεση, μάλλον για Θέμα Δ.

Δίνονται οι γνησίως μονότονες και παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f:R\to R$ με τις ιδιότητες :

$2\int_{\,0}^{\,x}{f(t)dt\,=\,{{g}^{2}}(x)}$ και $2\int_{\,0}^{\,x}{g(t)dt\,=\,{{f}^{2}}(x)}$ για κάθε $x\in \mathbb R$ .

α) Να αποδείξετε ότι

β) Να αποδείξετε ότι , $x\in \mathbb R$ .

γ) Να υπολογίσετε τα όρια:

$A=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}^{2}})}{f({{x}^{2}})+\eta \mu x+1}$ , $B=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}(\sigma \upsilon \nu \frac{1}{f(x)}-1) \right)$ , $\color{red} {\Gamma} =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1-f(x)}{f(x)-\eta \mu x} \right)}^{2}}$

δ) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

$I=\int_{\,-1\,}^{\,1}{\frac{3{{f}^{2}}(x)}{{{e}^{x}}+1}}\,dx$ και $J = \int_{\, - 1\,}^{\,1} {{f^{2013}}(x)\ln (1 + {e^x})dx} \,$
.

Μπάμπης

Καλημέρα κ. Μπάμπη. Κάνω μία προσπάθεια:

$\displaystyle{ a) }$ Καταρχάς εύκολα $\displaystyle{ f(0) = g(0) = 0 }$ . Παραγωγίζοντας προκύπτει $\displaystyle{ f(x) = g(x) \cdot g'(x) \implies f(x) \cdot g(x) = g^2(x) \cdot g'(x) }$

και $\displaystyle{ g(x) = f'(x) \cdot f(x) \implies f(x) \cdot g(x) = f^2(x) \cdot f'(x) }$ . Επομένως ισχύει $\displaystyle{ 3g^2(x) \cdot g'(x) = 3f^2(x) f'(x) \implies \left (g^3(x) \right )' = \left (f^3(x) \right )' \implies }$

$\displaystyle{ \implies g^3(x) = f^3(x) + c }$ και αφού $\displaystyle{ g(0) = f(0) }$ προκύπτει ότι $\displaystyle{ g^3(x) = f^3(x) \implies g(x) = f(x) }$ .

$\displaystyle{ b) }$ Ισχύει $\displaystyle{ f(x) = f(x) \cdot f'(x) }$ . Επειδή $\displaystyle{ f }$ γν. μονότονη και $\displaystyle{ f(0) = 0 }$ το $\displaystyle{ x_0=0 }$ είναι η μοναδική της ρίζα. Επομένως είναι $\displaystyle{ f(x) \neq 0 }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \mathbb R^{*} }$ .

Συμπεραίνεται λοιπόν ότι $\displaystyle{ f'(x) = 1 }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \mathbb R^{*} }$ , δηλαδή ότι $\displaystyle{ f(x) = x + c_1 }$ για $\displaystyle{ x> 0 }$ και $\displaystyle{ f(x) = x +c_2 }$ για $\displaystyle{ x<0 }$ ενώ $\displaystyle{ f(0) = 0 }$ .

Λόγω συνέχειας προκύπτει ότι $\displaystyle{ c_1 = c_2 = 0 }$ άρα $\displaystyle{ f(x) = x }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \mathbb R }$ .

$\displaystyle{ c) }$ Ισχύει $\displaystyle{ A = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{1 + \frac{\sin x}{x^2 } + \frac{1}{x^2}} = 1 }$ . Επίσης $\displaystyle{ B = \lim_{u \to 0} \frac{\cos u -1}{u^2} = - \frac{1}{2} }$ και $\displaystyle{ \Gamma = +\infty }$ .

$\displaystyle{ d) }$ Είναι $\displaystyle{ I = \int_{-1}^{1} \frac{3x^2}{e^x+ 1} dx }$ και κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής $\displaystyle{ u = -x }$ προκύπτει ότι $\displaystyle{ I = \int_{-1}^{1} \frac{3u^2e^u}{e^u+ 1} du}$ . Επομένως $\displaystyle{ 2I = \int_{-1}^{1} 3x^2 dx = 2 \implies I = 1 }$ .

Το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ J }$ υπολογίζεται με την ίδια λογική.

parmenides51 · #39

και συγκεντρωμένο σε αρχείο pdf το ανέβασε ο Μπάμπης Στεργίου στο blog του Μάκη εδώ

1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Re: 1. Η μεθόδευση στην εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση