Αδύνατη διοφαντική

#1

Δείξτε ότι η εξίσωση $x^2-y^{10}+z^5=6$ δεν έχει ακέραιες λύσεις.

http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=21&t=6145&start=0

Δεν έχω λύση.

S.E.Louridas · #2

Επειδή δεν έχουμε απάντηση στο όμορφο αυτό θέμα ας το επιχειρήσουμε (κατά το δυνατό στοιχειωδώς):
Διακρίνοντες από τις $\;2^{3}=8$ περιπτώσεις βλέπουμε ότι αν η εξίσωση είχε λύση στους ακεραίους θα έπρεπε (

-άρτιος,

-περιττός,

-περιττός) ή (

-περιττός,

-άρτιος,

-περιττός).
Στην πρώτη περίπτωση θα είχαμε
$4h^2 = 6 + \left( {4t + 1} \right)^5 - \left( {2r + 1} \right)^5 .$
Αν ο

είναι άρτιος καταλήγουμε σε άτοπο αφού ο

δεν διαιρεί τον

.
Αν ο

είναι περιττός τότε πάμε σε παράσταση της μορφής
$4h^2 = 6 + \left( {4t + 1} \right)^5 - \left( {4b + 3} \right)^5 \Rightarrow ... \Rightarrow 4/6,$ άτοπο.
Στην δεύτερη περίπτωση θα είχαμε:
$4m + 1 + 2^5 k^5 = 6 + \left( {4g + 1} \right)^5 \Rightarrow ... \Rightarrow 4/6,$ άτοπο.

Αδύνατη διοφαντική

Αδύνατη διοφαντική

Re: Αδύνατη διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση