Βρείτε τη γωνία D

[thry]

Δίνεται τετράπλευρο με και Έστω ότι η διαγώνια διχοτομεί την γωνία και ότι ισχύει Υπολογείστε την γωνία

[Ανδρέας Πούλος]

Επίλυση με τεχνικές της Γ τάξης του Γυμνασίου.

Έστω ότι οι διαγώνιες και τέμνονται στο σημείο
Αν μέτρο γωνίας και μέτρο γωνίας ,
τότε ισχύουν:
μέτρο γωνία .
Ομοίως, , , , ,
Άρα, .
Συνεπώς, .
Άρα μέτρο γωνίας . Άρα, .

Δηλαδή μέτρο γωνίας .

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[thry]

Επίλυση με τεχνικές της Γ τάξης του Γυμνασίου.

Έστω ότι οι διαγώνιες και τέμνονται στο σημείο
Αν μέτρο γωνίας και μέτρο γωνίας ,
τότε ισχύουν:
μέτρο γωνία .
Ομοίως, , , , ,
Άρα, .
Συνεπώς, .
Άρα μέτρο γωνίας . Άρα, .

Δηλαδή μέτρο γωνίας .

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[Ανδρέας Πούλος]

Τώρα κατάλαβα τη βλακεία που έκανα.
Και μου είχε στείλει ο φίλος Δημήτρης προσωπικό μήνυμα κι εγώ επέμενα.
Έβλεπα την γωνία ως εξωτερική του τριγώνου !
Να προσέχεις μίστερ Γουάτσον.
Βιάζομαι να επανορθώσω.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[Ανδρέας Πούλος]

Διέγραψα όσα είχα γράψει. Δούλευα σε ανύπαρκτο σχήμα στο χαρτί.
Με το Geogebra διαπίστωσα ότι τέτοιο σχήμα δεν υπάρχει, αφού προηγουμένως ο Ανδρέας Βαρβεράκης δημοσίευσε τη λύση του.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[parmenides51]

διεγράφησαν λάθος σχήματα, είχα πάρει λάθος γωνίες ίσες
ευχαριστώ τον Νίκο (Doloros)

[Doloros]

Γωνία_D.png (42.1 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές

Αν η γωνία είναι οξεία έχω ( μπορεί καθένας να κατασκευάσει τα σχετικά σχήματα ) δύο σίγουρες λύσεις αλλά , όπως σωστά με ενημέρωσε ο Στάθης, το πράγμα δεν σταματάει ίσως εκεί . Μπορούμε δηλαδή εύκολα να αποδείξουμε ότι υπάρχουν αυτές οι λύσεις αλλά πρέπει να βρούμε αν υπάρχουν ή όχι άλλες.

Φιλικά Νίκος

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Καλησπέρα στην εξαιρετική παρέα.
Μετά από πολύ κόπο και αφού παιδεύτηκα αρκετά γιατί προς στιγμή θεώρησα ότι η διχοτομεί τη γωνία . (Θα θέσω το πρόβλημα σε επόμενη δημοσίευση, καθώς δεν έχω προς το παρόν λύση αν και φαίνεται ότι εδώ έχουμε μόνο την περίπτωση ).

Ας δούμε τώρα τη λύση του αρχικού πολύ ωραίου προβλήματος:
Έστω το σημείο τομής της κάθετης στην στο σηνμείο και της συμμετρικής ως προς της . Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο όπου οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες της βάσης , καθώς . Επομένως, αν η τέμνει την προέκταση της στο , το τρίγωνο είναι ισοσκελές και . Έτσι, από το Θεώρημα της Κεντρικής Δέσμης ευθειών , προκύπτει ότι η διχοτομεί την , όπου N είναι το σημείο τομής των και έστω M το σημείο τομής των .
Έστω τώρα το συμμετρικό του ως προς . Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, καθώς .
Τώρα, τα τρίγωνα έχουν . Επομένως η θα είναι ίσα, οπότε εύκολα προκύπτει ότι το είναι ισόπλευρο, οπότε , η , οπότε με υπολογισμό γωνιών προκύπτει ότι , επομένως και .