Ωραίο σύστημα 1---------------->Bulletin

#1

Να λυθεί το παρακάτω σύστημα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών:

$\left\{ \begin{array}{ll} x+y+z=3 } \\ x^3+y^3+z^3=15} \\ x^5+y^5+z^5=83.} \end{array} \right.$

Αλέξανδρος

Dimitris X · #2

Μπορεί να έχω κάνει κάποιο λάθος στις πράξεις αλλά η στρατηγική πιστεύω είναι σωστή.

Έστω a=x+y+z,b=xy+yz+zx,c=xyz

.

To σύστημα γίνεται το εξής:
a=3

(1)

(2)

(3).

Από την (2) παίρνουμε:
c=3b-4

.

Και από την (3):
243-135b+15b^2+45c-5bc=83

Βάζοντας όπου c=3b-4

και μετά από κάποιες πράξεις αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος παίρνουμε b=1

Άρα και

.

Επομένως τα x,y,z

που ψάχνουμε είναι τα zeros της εξίσωσης
x^3-3x^2+x+1=0

Άρα $x=1,y=1+\sqrt{2},z=1-\sqrt{2}$ και όλα τα symmetric permutations.

#3

Πολύ σωστά Δημήτρη! Είχες κάποια στρατηγική για να βρεις τις παραστάσεις συναρτήσει των στοιχειωδών συμμετρικών πολυωνύμων a,b,c ή ύψωσες στην 3η και στην 5η δύναμη αντίστοιχα κι έκανες πράξεις?

Αλέξανδρος

#4

Γράφω μία ταυτότητα με επαναλαμβανόμενη χρήση της οποίας παίρνουμε άθροισμα οποιονδήποτε δυνάμεων συναρτήσει των στοιχειωδών πολυωνύμων S_1=x+y+z, S_2=xy+yz+zx, S_3=xyz

.

Γνωρίζουμε ότι x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=S_1^2-2S_2

Για $n\geq 3$ ισχύει (ταυτότητα Newton):

$\boxed{x^{n}+y^{n}+z^{n}=(x+y+z)\left(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1}\right)-(xy+yz+xz)\left(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2}\right)+xyz\left(x^{n-3}+y^{n-3}+z^{n-3}\right)}$

Παράδειγμα

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)\left(x^2+y^2+z^2\right)-(xy+yz+zx)(x+y+z)+xyz\left(x^{0}+y^{0}+z^{0}\right) = S_1(S_1^2-2S_2)-S_1S_2+3S_3=S_1^3-3S_1S_2+3S_3.$

Χρησιμοποιώντας την παραπάνω μπορούμε να βρούμε το x^4+y^4+z^4

, το

κτλ κτλ.

Για εξάσκηση έχω βάλει την παρακάτω άσκηση εδώ η οποία είναι από κάποιο μαθηματικό διαγωνισμό.

Αλέξανδρος

Ωραίο σύστημα 1---------------->Bulletin

Ωραίο σύστημα 1---------------->Bulletin

Re: Ωραίο σύστημα 1

Re: Ωραίο σύστημα 1

Re: Ωραίο σύστημα 1

Μέλη σε σύνδεση