Ανισότητα!

#1

Αν $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_n\geq 0,}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\rm \prod_{j=1}^{n}(1+a_j)\leq \sum_{j=0}^{n}\frac{\Big(\sum_{i=1}^{n}a_i\Big)^j}{j!}}$

Tolis97 · #2

Θέτουμε $s = \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$

Αρχικά παρατηρούμε πως: $LHS \leq (1+s)^n$ . Λογαριθμίζοντας την ανισότητα, αρκεί να δειχθεί ότι: $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\log(1+a_j) \leq n\log(1+s)$ που είναι άμεση συνέπεια της Jensen αφού η συνάρτηση logx

είναι κοίλη.

Άρα αρκεί να δειχθεί πως: $\displaystyle (1+s)^n \leq \sum_{j=0}^{n}\dfrac{(ns)^j}{j!} \Leftrightarrow \sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j}s^j \leq \sum_{j=0}^{n}\dfrac{n^j}{j!}s^j$ . Αρκεί να δειχθεί πως: $\dbinom{n}{j} \leq \dfrac{n^j}{j!} \Leftrightarrow \dfrac{n!}{j!(n-j)!} \leq \dfrac{n^j}{j!} \Leftrightarrow (n-j+1)(n-j+2) \cdots n \leq n^j$ που είναι προφανές.

Η ισότητα ισχύει ανν n=1

spiros filippas · #3

viewtopic.php?f=109&t=20197&p=101747#p101747

Ανισότητα!

Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση