Πριν τις εξετάσεις

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Αν και δεσμεύομαι ότι δεν έχω τα "θέματα της Δευτέρας" και ελπίζοντας ότι δεν θα παιχτεί "το θέατρο της Δευτέρας"

(οι παλαιότεροι ίσως να θυμούνται Δευτέρες της ΕΡΤ) παραθέτω κάποιες...

ΑΣΚΗΣΗ 1
Δυο κύκλοι έχουν διαμέτρους ίσες με $\displaystyle{ \sqrt r }$ και διάκεντρο $\displaystyle{ r }$ . Έστω $\displaystyle{ E(r) }$ το εμβαδό του κύκλου με την μικρότερη ακτίνα που μπορεί να περιέχει τους δυο αυτούς κύκλους. Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{r \to + \infty } \frac{{E(r)}}{{r^2 }} }$ .

#2

...γιά τις εξετάσεις....

Για r>1

θα είναι ${{r}^{2}}>r$ δηλαδή $r>\sqrt{r}=\frac{\sqrt{r}}{2}+\frac{\sqrt{r}}{2}$ άρα οι δύο ίσοι κύκλοι βρίσκονται εξωτερικά

ο ένας του άλλου επομένως ο μικρότερος κύκλος που θα τους περιέχει είναι αυτός που εφάπτεται εσωτερικά και στους δύο άρα θα έχει ακτίνα

$a=\frac{r+\sqrt{r}}{2}$ επομένως το εμβαδό του θα είναι $E(r)=\frac{1}{4}\pi {{(r+\sqrt{r})}^{2}}$ επομένως

$\underset{r\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{E(r)}{{{r}^{2}}}=\frac{1}{4}\pi \underset{r\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(r+\sqrt{r})}^{2}}}{{{r}^{2}}}=\frac{\pi }{4}\underset{r\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{\sqrt{r}} \right)}^{2}}=\frac{\pi }{4}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #3

Εξαιρετικά Βασίλη!!
ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ με $\displaystyle{ f( - 1) = 1 }$ η οποία ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{ f(f(x)) + x^6 f(x) = 0 }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in R }$ . Να βρεθούν οι τιμές $\displaystyle{ f(1) }$ και $\displaystyle{ f(0) }$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #4

ΑΣΚΗΣΗ 3
Αν $\displaystyle{ f }$ είναι μια συνεχή και φθίνουσα πραγματική συνάρτηση, τότε το σύστημα $\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} x = f(y) \\ y = f(z) \\ z = f(x) \\ \end{array} \right. }$ έχει μια μοναδική λύση.

gavrilos · #5

ΑΣΚΗΣΗ 2

Λοιπόν.

Αν θέσουμε στη δοσμένη σχέση $\displaystyle{x=-1}$ έχουμε $\displaystyle{f(f(-1))+(-1)^{6}f(-1)=0 \Leftrightarrow f(1)+1=0 \Leftrightarrow f(1)=-1}$ .

Edit: Η απάντησή μου για το f(0)

ήταν λάθος.Ευχαριστώ τον perpant για τη διόρθωση.

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ με $\displaystyle{ f( - 1) = 1 }$ η οποία ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{ f(f(x)) + x^6 f(x) = 0 }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in R }$ . Να βρεθούν οι τιμές $\displaystyle{ f(1) }$ και $\displaystyle{ f(0) }$ .

Συμπληρώνω τη λύση με την εύρεση του $\displaystyle{f(0).}$

Είναι $\displaystyle{f(-1)=1,f(1)=-1}$ και η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής. Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει $\displaystyle{a}$ ώστε $\displaystyle{f(a)=0.}$
Θέτοντας στην αρχική $\displaystyle{x\to a}$ βρίσκουμε $\displaystyle{f(0)=0.}$

perpant · #7

Αλλιώς, για $\displaystyle{x = 0}$ η δοθείσα δίνει $\displaystyle{f\left( {f\left( 0 \right)} \right) = 0}$ . Οπότε για $\displaystyle{x = f\left( 0 \right)}$ και πάλι στη δοσμένη $\displaystyle{f\left( {f\left( {f\left( 0 \right)} \right)} \right) + {\left( {f\left( 0 \right)} \right)^6}f\left( {f\left( 0 \right)} \right) = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) + {\left( {f\left( 0 \right)} \right)^6} \cdot 0 = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0}$

#8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3
Αν $\displaystyle{ f }$ είναι μια συνεχή και φθίνουσα πραγματική συνάρτηση, τότε το σύστημα $\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} x = f(y) \\ y = f(z) \\ z = f(x) \\ \end{array} \right. }$ έχει μια μοναδική λύση.

Από τις εξισώσεις βρίσκουμε $\displaystyle{(f\circ f\circ f) (x)=x}$ ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ )

Με εις άτοπον απαγωγή! Έστω ότι δεν υπάρχει λύση. Λόγω συνέχειας θα είχαμε $\displaystyle{f(x)>x~\forall x \vee f(x)<x~\forall x}$

Τότε, $\displaystyle{(f\circ f\circ f)(x)>x~\forall x \vee (f\circ f\circ f)(x)<x~\forall x }$

άτοπο, λόγω της ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ ).

Η μοναδικότητα είναι άμεση συνέπεια της μονοτονίας της $\displaystyle{(f\circ f\circ f) (x)-x.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #9

Από τις εξισώσεις βρίσκουμε $\displaystyle{(f\circ f\circ f) (x)=x}$ ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ )

Με εις άτοπον απαγωγή! Έστω ότι δεν υπάρχει λύση. Λόγω συνέχειας θα είχαμε $\displaystyle{f(x)>x~\forall x \vee f(x)<x~\forall x}$

Τότε, $\displaystyle{(f\circ f\circ f)(x)>x~\forall x \vee (f\circ f\circ f)(x)<x~\forall x }$

άτοπο, λόγω της ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ ).

Η μοναδικότητα είναι άμεση συνέπεια της μονοτονίας της $\displaystyle{(f\circ f\circ f) (x)-x.}$ [/quote]

Θάνο, αν έχω καταλάβει καλά το σκεπτικό σου, υποθέτεις ότι $\displaystyle{ \left( {f \circ f \circ f} \right)(x) \ne x }$ για κάθε $\displaystyle{ x }$ και προσπαθούμε να φτάσουμε σε κάποια αντίφαση. Η σχέση μετά το τότε έρχεται σε αντίφαση με την σχέση καρδιά;

εκτός αν εννοείς $\displaystyle{ \left( {f \circ f \circ f} \right)(x) > x = f(y)\,\,\eta '\,\,\,\,\,\,\left( {f \circ f \circ f} \right)(x) < x = f(y) }$
$\displaystyle{ \left( {f \circ f} \right)(x) < y = f(z)\,\,\,\,\,\,\eta '\,\,\,\,\,\,\left( {f \circ f} \right)(x) > y = f(z) }$ επειδή $\displaystyle{ f }$ φθίνουσα
$\displaystyle{ f(x) > z = f(x)\,\,\,\,\,\,\eta '\,\,\,\,\,\,f(x) < z = f(x) }$ και η τελευταία σχέση μας οδηγεί στο άτοπο.

Στράτος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #10

Αποσύρω την ΑΣΚΗΣΗ 4 μιας και διαπίστωσα ότι δεν ικανοποιείται η σχέση για $\displaystyle{ x = 0</span> }$
Συγνώμη για την αναστάτωση. προς αντικατάσταση

ΑΣΚΗΣΗ 4
Έστω $\displaystyle{ f }$ συνεχής συνάρτηση στο διάστημα $\displaystyle{ \left[ {0,1} \right] }$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{ 0 < f(x) \le 1 }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {0,1} \right] }$ .Να δειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle{ f^2 (x) - f(x) + 2x = 0 }$ έχει 1 τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{ [0,1) }$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #11

ΑΣΚΗΣΗ 5
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = x^5 + x + 1 }$

α. Η $\displaystyle{ f }$ αντιστρέφεται και να υπολογιστεί το $\displaystyle{ f^{ - 1} (3) }$ .
β. Η $\displaystyle{ f^{ - 1} }$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{ R }$
γ. Να λύσετε τις εξισώσεις $\displaystyle{ f(x) = 35,\,\,\,f^{ - 1} (x) = 2 }$
δ. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των $\displaystyle{ C_f ,\,C_{f^{ - 1} } }$ με την ευθεία $\displaystyle{ y = x }$
ε. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \left( {2\sin x - 1} \right)^5 + 2\sin x = 1 }$
στ. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{ f^{ - 1} \left( {f^{ - 1} \left( {x + 1} \right) - 1} \right) < f^{ - 1} (1) }$ .

#12

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = x^5 + x + 1 }$

α. Η $\displaystyle{ f }$ αντιστρέφεται και να υπολογιστεί το $\displaystyle{ f^{ - 1} (3) }$ .
β. Η $\displaystyle{ f^{ - 1} }$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{ R }$
γ. Να λύσετε τις εξισώσεις $\displaystyle{ f(x) = 35,\,\,\,f^{ - 1} (x) = 2 }$
δ. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των $\displaystyle{ C_f ,\,C_{f^{ - 1} } }$ με την ευθεία $\displaystyle{ y = x }$
ε. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \left( {2\sin x - 1} \right)^5 + 2\sin x = 1 }$
στ. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{ f^{ - 1} \left( {f^{ - 1} \left( {x + 1} \right) - 1} \right) < f^{ - 1} (1) }$ .

Απάντηση

α. Η

είναι παραγωγίσιμη με ${f}'(x)=5{{x}^{4}}+1>0,\,\,\,x\in R$ άρα γνήσια αύξουσα οπότε και '1-1'

άρα αντιστρέψιμη

και έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της

που είναι επειδή

συνεχής και γνήσια αύξουσα

$f(R)=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=(-\infty ,\,\,\,+\infty )=R$

και επειδή f(1)=3

θα είναι ${{f}^{-1}}(3)=1$

β. Για ${{y}_{1}}=f({{x}_{1}}),\,\,\,{{y}_{2}}=f({{x}_{2}})\in R$ με ${{y}_{1}}<{{y}_{2}}$ θα ισχύει ότι $f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$ και επειδή

${{f}^{-1}}({{y}_{1}})={{x}_{1}},\,\,\,{{f}^{-1}}({{y}_{2}})={{x}_{2}}$ θα ισχύει ότι $f({{f}^{-1}}({{y}_{1}}))<f({{f}^{-1}}({{y}_{2}}))$ και επειδή

γνήσια

αύξουσα ${{f}^{-1}}({{y}_{1}})<{{f}^{-1}}({{y}_{2}})$ που σημαίνει ότι η ${{f}^{-1}}$ γνήσια αύξουσα.

γ) Επειδή f(2)=35

ρίζα της

η

και μοναδική αφού η

είναι

και από $f(2)=35\Leftrightarrow 2={{f}^{-1}}(35)$

άρα ρίζατης ${{f}^{-1}}(x)=2$ η x=35

και μοναδική αφού ${{f}^{-1}}$ γνήσια αύξουσα άρα και '1-1'

δ) $f(x)=x\Leftrightarrow {{x}^{5}}+x+1=x\Leftrightarrow {{x}^{5}}=-1\Leftrightarrow x=-1$ άρα ${{C}_{f}}$ και η y=x

έχουν μοναδικό κοινό σημείο

το $A(-1,\,\,-1)$ που είναι και κοινό με την ${{C}_{{{f}^{-1}}}}$ λόγω συμμετρίας με την y=x

.

ε) Η εξίσωση ${{(2\sin x-1)}^{5}}+2\sin x=1\Leftrightarrow {{(2\sin x-1)}^{5}}+(2\sin x-1)+1=1\Leftrightarrow$

$f(2\sin x-1)=1\Leftrightarrow f(2\sin x-1)=f(0)$ και λόγω του '1-1'

της

έχουμε ισοδύναμα

$2\sin x-1=0\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}\Leftrightarrow (x=2\kappa \pi +\frac{\pi }{6},\,\,\,x=2\kappa \pi +\frac{5\pi }{6},\,\,\,\kappa \in \mathbb{Z})$

στ) Επειδή ${{f}^{-1}}$ είναι γνήσια αύξουσα ισοδύναμα έχουμε ότι

${{f}^{-1}}({{f}^{-1}}(x+1)-1)<{{f}^{-1}}(1)\Leftrightarrow {{f}^{-1}}(x+1)-1<1\Leftrightarrow {{f}^{-1}}(x+1)<2={{f}^{-1}}(35)\Leftrightarrow$

$x+1<35\Leftrightarrow x<34$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ηλίας Θ. · #13

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Αποσύρω την ΑΣΚΗΣΗ 4 μιας και διαπίστωσα ότι δεν ικανοποιείται η σχέση για $\displaystyle{ x = 0</span> }$
Συγνώμη για την αναστάτωση. προς αντικατάσταση

ΑΣΚΗΣΗ 4
Έστω $\displaystyle{ f }$ συνεχής συνάρτηση στο διάστημα $\displaystyle{ \left[ {0,1} \right] }$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{ 0 < f(x) \le 1 }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {0,1} \right] }$ .Να δειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle{ f^2 (x) - f(x) + 2x = 0 }$ έχει 1 τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{ [0,1) }$ .

Καλησπέρα.
'Έστω g(x)=f^2(x)-f(x)+2x

, ορισμένη και συνεχής ( ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών ) στο διάστημα $\left[0,\;1\right]$
Ισχύουν: g(0)=f^2(0)-f(0)

και αφού

για κάθε $x\in\left[0,\;1\right]$ , για x=0

έχουμε

άρα $g(0)=f(0)\left(f(0)-1\right)≤0$
g(1)=f^2(1)-f(1)+2

. Θέτω

οπότε το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα άρα είναι θετικό, όποια κι αν είναι η τιμή του f(1)

.
Έτσι: αν g(0)=0

τότε η εξίσωση g(x)=0

έχει λύση την x=0

.
Aν όμως g(0)<0

με δεδομένο ότι g(1)>0

, από Θ. Β. υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της g(x)=0

στο διάστημα (0,1)

Τελικά η εξίσωση g(x)=0

έχει ρίζα στο [0,1)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #14

ΑΣΚΗΣΗ 6

Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ για την οποία ισχύει για κάθε $\displaystyle{ x \ne 0 }$
$\displaystyle{ xf(x) + \sin x = x^2 \sin \left( {\frac{1}{x}} \right) }$
α. Να βρεθεί ο τύπος της $\displaystyle{ f }$ .
β. Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1 }$
γ. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle{ f(x) - \frac{x}{{2x + 1}} = 0 }$ έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #15

ΑΣΚΗΣΗ 7
Μια συνάρτηση $\displaystyle{ f }$ ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {f(x_o + h) - f(x_o - h)} \right] = 0 }$
Είναι άραγε η $\displaystyle{ f }$ συνεχής στο $\displaystyle{ {x_o } }$ ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #16

ΑΣΚΗΣΗ 8
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{ f }$ η οποία είναι συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{ \left[ {1,5} \right] }$ και για την οποία ισχύουν $\displaystyle{ f(5) = 1 }$ και $\displaystyle{ f(x) \cdot f\left( {f(x)} \right) = 7 }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {1,5} \right] }$ .
α. Να υπολογίσετε το $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(1)x^3 - 2x + 1}}{{f(5)x^2 + 1}} }$
β. Αν $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 7 }$ , να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{ C_f }$ διέρχεται από ένα σημείο με τεταγμένη 3.
γ. Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ g(x) = xf(x) - 13\cos (\pi x),\,\,\,\,\,x \in \left[ {1,5} \right] }$ .Να δειχθεί ότι η $\displaystyle{ C_g }$ τέμνει σε ένα τουλάχιστον σημείο τον άξονα $\displaystyle{ x'x }$ με τετμημένη στο διάστημα $\displaystyle{ \left( {4,\,5} \right) }$ .

Καλή επιτυχία!!

Πριν τις εξετάσεις

Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Re: Πριν τις εξετάσεις

Μέλη σε σύνδεση