Εύρεση πολυωνύμων

#1

Έστω $\displaystyle{a}$ ένας περιττός ακέραιος. Να βρείτε όλα τα μονικά πολυώνυμα $\displaystyle{p}$ με ακέραιους συντελεστές, τα οποία έχουν την εξής ιδιότητα:

Για κάθε ακέραιο $\displaystyle{n}$ υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{m}$ ώστε $\displaystyle{p(m)+p(n)=a}$

Nick1990 · #2

s.kap έγραψε:Έστω $\displaystyle{a}$ ένας περιττός ακέραιος. Να βρείτε όλα τα μονικά πολυώνυμα $\displaystyle{p}$ με ακέραιους συντελεστές, τα οποία έχουν την εξής ιδιότητα:

Για κάθε ακέραιο $\displaystyle{n}$ υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{m}$ ώστε $\displaystyle{p(m)+p(n)=a}$

Τα σταθερά πολυώνυμα δε μας κάνουν ενώ τα $p(x)=x+t, t \in \mathbb{Z}$ μας κάνουν. Έστω τώρα deg(p)=q>1

. Έστω μια ακολουθία ακεραίων s_1, s_2, ..., s_n, ...

τέτοια ώστε $p(n) + p(s_n) = a \forall n \in \mathbb{N}$ . Επειδή $p(s_n) \rightarrow \pm \infty$ πρέπει και $s_n \rightarrow \pm \infty$ (γιατί;). Έστω M_n

για κάθε

ο αριθμός μεταξύ των

και

με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή και m_n

αυτός με τη μικρότερη. Τότε εύκολα το $\frac{p(n) + p(s_n) - n^q - (s_n)^q}{(M_n)^{q-1}}$ είναι φραγμένο, οπότε αφού $\frac{p(n) + p(s_n)}{(M_n)^{q-1}} = \frac{a}{(M_n)^{q-1}} \rightarrow 0$ , θα πρέπει $\frac{n^q+(s_n)^q}{(M_n)^{q-1}} = \frac{(m_n)^q+(M_n)^q}{(M_n)^{q-1}}$ να είναι επίσης φραγμένο. Άρα υπάρχει μια σταθερά

ώστε $|\frac{(m_n)^q+(M_n)^q}{(M_n)^{q-1}}| \leq c$ . Επειδή εύκολα για μεγάλα

οι αριθμοί M_n, m_n

έχουν αντίθετα πρόσημα με $|M_n| \geq |m_n|$ , προκύπτει:
$|1 + (\frac{m_n}{M_n})^q| \leq \frac{c}{|M_n|} \Leftrightarrow |1 - (\frac{|m_n|}{|M_n|})^q| \leq \frac{c}{|M_n|} \Leftrightarrow$
$1 - (\frac{|m_n|}{|M_n|})^q \leq \frac{c}{|M_n|} \Leftrightarrow |M_n|^q -c|M_n|^{q-1} \leq (|M_n| - d_n)^q (*)$
όπου $d_n = |M_n| - |m_n| \geq 0$ .

Αν το d_n

έπαιρνε κάποια ακέραια τιμή

άπειρες φορές, θα είχαμε $p(M_n)+p(-M_n \pm d) = a$ για άπειρα M_n

τα οποία εύκολα θα έπαιρναν άπειρες διαφορετικές τιμές, οπότε θα είχαμε $p(x) + p(-x - d) \equiv a$ , ή $p(x) + p(-x + d) \equiv a$ . Χωρίς βλάβη έστω ότι ισχύει το δεύτερο, τότε λαμβάνοντας υπ' όψιν ότι ο

είναι περιττός (απλό), εξισώνοντας συντελεστές στις δυνάμεις

και

προκύπτει $qd = -2a_{q-1}$ με $p(x) = x^q + a_{q-1}x^{q-1} + ...$ , οπότε πρέπει να έχουμε ότι

άρτιος. Αν τώρα δουλέψουμε (mod2)

, προκύπτει: p(x) + p(-x) = a = 1 (mod2)

, άτοπο αφού το πολυώνυμο του αριστερού μέλους έχει μόνο άρτιους συντελεστές. Άρα για μεγάλα

θα πρέπει να ισχύει $d_n \geq c$ και επειδή ο

είναι περιττός, η (*)

δίνει: $|M_n|^q - c|M_n|^{q-1} \leq (|M_n| - c)^q \Rightarrow 0 \leq (1-q)c|M_n|^{q-1} + u(M_n)$ με

πολυώνυμο βαθμού το πολύ q-2

, και αυτό για άπειρα

με τα αντίστοιχα |M_n|

να γίνονται οσοδήποτε μεγάλα, πράγμα αδύνατο.

Άρα τα $p(x)=x+t, t \in \mathbb{Z}$ είναι τα μόνα που μας κάνουν.

ΥΓ: Μια λύση (ελπίζω σωστή) μετά από πολλούς μήνες. Πρέπει να ζεσταθούμε λίγο όμως γιατί σε 2 εβδομάδες έχουμε προκριματικό για IMC (ναι, επιτρέπεται η συμμετοχή και σε 5ετείς από σχολές 5 ετών!)

Ilias_Zad · #3

Μπράβο ρε Νίκο, πολύ ωραίος.

Σαν σημείωση απλά να τονίσω ότι ο

βγαίνει άρτιος μόνο αν υποτεθεί ότι q>1

και μάλιστα εκεί έγκειται το άτοπο.

Μια ερώτηση που προκύπτει αρκετά φυσιολογικά είναι γύρω από το τι δομή μπορεί γενικά να έχει το $p(\mathbb{Z})$ με

πολυώνυμο.

Ο Νίκος απέδειξε ότι δεν μπορεί να είναι συμμετρικό γύρω από ένα $\frac{a}{2}$ με

περιττό. Έχει κάποιος υπόψιν του κάποιον γενικό χαρακτηρισμό ή κάποια πληροφορία προς αυτήν την κατεύθυνση ;

Nick1990 · #4

Ilias_Zad έγραψε:Μπράβο ρε Νίκο, πολύ ωραίος.

Σαν σημείωση απλά να τονίσω ότι ο βγαίνει άρτιος μόνο αν υποτεθεί ότι και μάλιστα εκεί έγκειται το άτοπο.

Μια ερώτηση που προκύπτει αρκετά φυσιολογικά είναι γύρω από το τι δομή μπορεί γενικά να έχει το $p(\mathbb{Z})$ με πολυώνυμο.

Ο Νίκος απέδειξε ότι δεν μπορεί να είναι συμμετρικό γύρω από ένα $\frac{a}{2}$ με περιττό. Έχει κάποιος υπόψιν του κάποιον γενικό χαρακτηρισμό ή κάποια πληροφορία προς αυτήν την κατεύθυνση ;

Την έκανα την υπόθεση αυτή στην αρχή

Εύρεση πολυωνύμων

Εύρεση πολυωνύμων

Re: Εύρεση πολυωνύμων

Re: Εύρεση πολυωνύμων

Re: Εύρεση πολυωνύμων

Μέλη σε σύνδεση