Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

thanasis kopadis · #1

Δίνεται πολυώνυμο τρίτου βαθμού P(x)

, για το οποίο ισχύει:
$(x-\pi )P(\sigma \upsilon \nu x)-2xP(\eta \mu x)=x-2\pi$ , για κάθε $x\epsilon R$
α) Να βρείτε τις τιμές P(0)

και

β) Να βρείτε το υπόλοιπο $\upsilon (x)$ της διαίρεσης του P(x)

με το

γ) Να λύσετε την ανίσωση
$\frac{3x^3-14x^2+13x+6}{2\upsilon (x)}>0$
δ) Δίνεται το (Σ)
$\left\{\begin{matrix} \eta \mu (3\pi +\vartheta)x + \sigma \upsilon \nu (14\pi -\vartheta )\psi =1 \\ \eta \mu (\frac{9\pi}{2}-\vartheta )x-\eta \mu (\vartheta -\pi )\psi =1 \end{matrix}\right.}$
i) Nα αποδείξετε ότι το (Σ) έχει μοναδική λύση
$(x,\psi )=(\sigma \upsilon \nu \theta -\eta \mu \theta , \sigma \upsilon \nu \theta +\eta \mu \theta ) ,\theta \epsilon R$
ii) Να λύσετε την εξίσωση
$x\cdot \psi +P(1)+4P(0)=7\sigma \upsilon \nu \theta$
ε) Να λύσετε την ανίσωση log(log(x^2-(10P(1)-1)x+100))<0

στ) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=xlnx+2 , x>0

και οι αριθμοί $\alpha ,\beta ,\gamma >0$ με $\alpha ^{\alpha}\cdot \beta ^{\beta}\cdot \gamma ^{\gamma}=e^{2013}$
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
$A=f(\alpha )+f\beta )+f\gamma )-e^{-3ln(P(0)}$

Ηλίας Θ. · #2

α) Θέτοντας στην δοθείσα όπου:

το 0 θα πάρουμε $- \pi P(1)=-2\pi\Rightarrow P(1)=2$
ενώ για $x=\dfrac{\pi}{2}$ θα πάρουμε $-\dfrac{\pi}{2}P(0)-\pi P(1)=-2\pi\Rightarrow P(0)=-1$
β) Ισχύει $P(x)=(x^2-x)\pi (x)+\upsilon (x), \upsilon =0$ ή βαθμ $\upsilon (x)<$ 2 ( όπου $\pi (x)$ το πηλίκο της διαίρεσης ).
Έτσι το υπόλοιπο αν έχει βαθμό θα είναι το πολύ πρώτου. Δηλαδή, σε κάθε περίπτωση, $\upsilon (x)= \alpha x+\beta$
Αντικαθιστώντας στην ταυτότητα διαίρεσης έχουμε: $P(x)=(x^2-x)\pi (x)+\alpha x+\beta$ . Αν σε αυτήν, θέσουμε διαδοχικά όπου

τις τιμές

και

θα πάρουμε τις εξισώσεις $\left\{\begin{matrix} P(0)=\beta \\ P(1)=\alpha+\beta \end{matrix}\right$ . Άρα $\alpha=3,\; \beta=-1$ . Έτσι το υπόλοιπο είναι $\upsilon (x)=3x-1$

Ηλίας Θ. · #3

δ) Ισχύουν $\eta \mu (3\pi+\theta)=\eta \mu(2\pi+\pi+\theta)=\eta \mu(\pi +\theta)=-\eta \mu \theta$
και $\sigma \upsilon \nu(14 \pi - \theta)=\sigma \upsilon \nu(-\theta)=\sigma \upsilon \nu \theta$
i) Για το σύστημα ισχύει: $D=\begin{vmatrix} -\eta \mu \theta & \sigma \upsilon \nu \theta \\ \sigma \upsilon \nu \theta & \eta \mu \theta \end{vmatrix} =-\eta \mu^{2} \theta -\sigma \upsilon \nu^{2} \theta=-1≠0$ , άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση.
Κι επειδή $D_x=\begin{vmatrix} 1 & \sigma \upsilon \nu \theta \\ 1 & \eta \mu \theta \end{vmatrix}=\eta \mu \theta -\sigma \upsilon \nu \theta,\;\;\; D_y=\begin{vmatrix} -\eta \mu \theta & 1 \\ \sigma \upsilon \nu \theta & 1 \end{vmatrix}=-\eta \mu \theta - \sigma \upsilon \nu \theta$ ,
η λύση είναι $(x,y)=\left( \dfrac{D_x}{D}, \dfrac{D_y}{D}\right)=(-\eta \mu \theta+\sigma \upsilon \nu \theta, \eta \mu \theta+\sigma \upsilon \nu \theta)$

thanasis kopadis · #4

Aγαπητέ συνάδελφε. Ευχαριστώ για τη λύση και το μήνυμα σας. Η αλήθεια είναι ότι όταν την έλυνα εγώ στο α) ερώτημα πήρα x=0

, οπότε μου έβγαλε P(1)=2

και μετά όπου $x=\pi$ και μου έδωσε $P(0)=\frac{1}{2}.$ . Σε αυτές τις τιμές στηρίχθηκα και έφτιαξα τα υπόλοιπα ερωτήματα. Μάλλον κάποιο πρόβλημα έχει η αρχική σχέση, αν και την έχω πάρει από βιβλίο. Θα την ξανακοιτάξω...

thanasis kopadis · #5

Παραλλαγή της αρχικής υπόθεσης: Δίνεται πολυώνυμο P(x)

, τρίτου βαθμού, το οποίο αν διαιρεθεί με το x-1

αφήνει υπόλοιπο

,
ενώ αν διαιρεθεί με το

αφήνει υπόλοιπο $\frac{1}{2}$ .

thanasis kopadis · #6

α)

και $P(0)=\frac{1}{2}$

β) Αφού το P(x)

είναι τρίτου βαθμού το υπόλοιπο θα είναι της μορφής ax+b

.
Άρα $P(x)=(x^2-x)\pi (x)+ax+b$
Για x=1

,

Για

, $P(0)=b=\frac{1}{2}$
Οπότε $a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}$ , δηλαδή $\upsilon (x)=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$

γ) $\frac{3x^3-14x^2+13x+6}{3x+1}>0\Leftrightarrow \frac{(x-2)(x-3)(3x+1)}{3x+1}>0\Leftrightarrow (x-2)(x-3)>0$
Και λόγω του περιορισμού $x\neq -\frac{1}{3}$ , λύση της ανίσωσης η: $x<-\frac{1}{3}$ ή $-\frac{1}{3}<x<2$ ή x>3

δ) i) Λυμένο από το συνάδελφο Ηλία Θ.

ii) $x\cdot \psi +4=7\sigma \upsilon \nu \theta \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu ^2\vartheta -\eta \mu ^2\vartheta -7\sigma \upsilon \nu \theta +4=0\Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu ^2\vartheta -7\sigma \upsilon \nu \theta +3=0$
Άρα $\sigma \upsilon \nu \theta =3$ , αδύνατη ή $\sigma \upsilon \nu \theta =\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \theta=\sigma \upsilon \nu\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow x=2\kappa \pi \pm \frac{\pi }{3}$

ε) log(log(x^2-19x+100))<0

Θα πρέπει

ισχύει για κάθε $x\epsilon R$ , αφού D<0

και $log(x^2-19x+100)>0\Leftrightarrow x^2-19x+100>1\Leftrightarrow x^2-19x+99>0$ ισχύει για κάθε $x\epsilon R$ , αφού D<0

$log(log(x^2-19x+100))<0\Leftrightarrow log(x^2-19x+100)<1\Leftrightarrow x^2-19x+100<10 \Leftrightarrow x^2-19x+90<0\Leftrightarrow 9<x<10$

στ) $f(a)=ln\alpha^\alpha +2 , f(\beta)=ln\beta ^\beta +2 , f(\gamma )=ln\gamma ^\gamma +2$
$A=ln\alpha^\alpha+ln\beta ^\beta+ln\gamma ^\gamma+6-e^{ln8}= ln\alpha^\alpha\beta ^\beta\gamma ^\gamma+6-8=lne^{2013}-2=2011$

Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Re: Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Re: Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Re: Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Re: Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Re: Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Μέλη σε σύνδεση