Διαιρετότητα

#1

Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους

για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{\frac{n!-1}{2n+7}}$ είναι ακέραιος.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Ἀπάντηση:

ἤ

.

Ἀπόδειξη. Ἄν $n\le 5$ , τότε γιά n=1

ἤ

ἔχομε θετική ἀπάντηση.

Ἄν $n\ge 6$ καί 2n+7

σύνθετος, τότε ὁ 2n+7

ἔχει πρῶτο διαιρέτη μικρότερο τοῦ

, ἄτοπο.

Ἄρα ἄν $n\ge 6$ , τότε ὁ 2n+7

εἶναι ὑποχρεωτικά πρῶτος, ὁπότε θά διαιρεῖ καί τόν (2n+6)!+1

- ὑπενθυμίζεται ὅτι ἄν

πρῶτος, τότε

διαιρεῖ τὀν (p-1)!+1

.

Ἄρα ὁ p=2n+7

θά διαιρεῖ καί τόν $(2n+6)!+1 +n!-1=n!+(2n+6)!=n!\big( 1+(n+1)\cdots(2n+6)\big)$ , καί ἀφοῦ εἶναι σχετικῶς πρῶτος μέ τόν

, τότε ὁ

θά διαιρεῖ καί τόν $1+(n+1)\cdots(2n+6)$ καθώς καί τόν

$\displaystyle{ 1+(2n+7-n-1)\cdots (2n+7-2n-5)(2n+7-2n-6)=1+(-1)^{n+6}(n+6)(n+5)\cdots 2\cdot 1=1+(-1)^{n+6}(n+6)!, }$

καί συνεπῶς καί τόν ἀριθμό

$\displaystyle{ n!-1 +1+(-1)^{n+6}(n+6)! = n! \big( 1+(-1)^{n+6}(n+1)(n+2)\cdots (n+6)\big) =\frac{2^6+(-1)^n(p-5)(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)(p+5)}{2^6}, }$

καί τέλος ὁ p=2n+7

θά πρέπει νά διαιρεῖ καί τόν

$\displaystyle{ 2^6+(-1)^n 3^25^2 = 64 \pm 225. }$

Δηλαδή

διαιρεῖ τόν 289 ἤ τόν 161. Ἄρα ὁ p=2n+7

ἰσοῦται μέ 17, 7 ἤ 23, δηλαδή ὁ

Ἰσοῦται μέ 0,5 ἤ 8.

gavrilos · #3

Διαγράφω τη δημοσίευση επειδή η διόρθωση που έκανα στην άσκηση ήταν δικό μου λάθος τελικά.

Με εκτίμηση,
gavrilos

#4

gavrilos έγραψε:
... άρα το $\displaystyle{0,5}$ απορρίπτεται.

Για δες όμως τι γράφει ο Γιώργος. Επισημαίνω ότι 2n+7

ισούται με 17, 7

ή

, δηλαδή ὁ

ισούται με .... (συμπλήρωσέ το).

Γ.-Σ. Σμυρλής · #5

Παρεμπιπτόντως, ὡς ὑποδιαστολή χρησιμοποιῶ τήν ΤΕΛΕΙΑ καί ὄχι τό ΚΟΜΜΑ (καθότι ἀμερικανοτραφείς...).

Ἀλλά, σίγουρα πρίν κρίνομε πρέπει νά διαβάζομε τήν ὅλη δημοσίευση.

Εὐχαριστῶ Μιχάλη γιά τήν παρέμβαση!

Διαιρετότητα

Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση