Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Ας φτιάξουμε ένα post, όπου θα συγκεντρώσουμε όσες περισσότερες ασκήσεις με τετράγωνα υπάρχουν (μια ιδέα του φίλου Μπάμπη Στεργίου). Όταν φτάσουμε στον αριθμό 100, δεσμεύομαι πως θα τις "δέσω" σε ένα pdf...
Θερμή παράκληση να χρησιμοποιούνται Ελληνικά και όποιος φίλος χρησιμοποιεί Geogebra ας επισυνάπτει και το αρχείο ggb (για δική μου διευκόλυνση).
Άσκηση 001 Δίνεται τετράγωνο με κέντρο . Αν για τυχαία σημεία επί των πλευρών αντίστοιχα ισχύει , δείξτε ότι:
1) .
2) .
Θερμή παράκληση να χρησιμοποιούνται Ελληνικά και όποιος φίλος χρησιμοποιεί Geogebra ας επισυνάπτει και το αρχείο ggb (για δική μου διευκόλυνση).
Άσκηση 001 Δίνεται τετράγωνο με κέντρο . Αν για τυχαία σημεία επί των πλευρών αντίστοιχα ισχύει , δείξτε ότι:
1) .
2) .
- Συνημμένα
-
- sq001.ggb
- (3.35 KiB) Μεταφορτώθηκε 519 φορές
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
α) Έστω τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα.Μιχάλης Νάννος έγραψε:Ας φτιάξουμε ένα post, όπου θα συγκεντρώσουμε όσες περισσότερες ασκήσεις με τετράγωνα υπάρχουν (μια ιδέα του φίλου Μπάμπη Στεργίου). Όταν φτάσουμε στον αριθμό 100, δεσμεύομαι πως θα τις "δέσω" σε ένα pdf...
Θερμή παράκληση να χρησιμοποιούνται Ελληνικά και όποιος φίλος χρησιμοποιεί Geogebra ας επισυνάπτει και το αρχείο ggb (για δική μου διευκόλυνση).
Άσκηση 001 Δίνεται τετράγωνο με κέντρο . Αν για τυχαία σημεία επί των πλευρών αντίστοιχα ισχύει , δείξτε ότι:
1) .
2) .
Προφανώς το τετράπλευρο είναι τετράγωνο με μήκος πλευράς το μισό
του μήκους της πλευράς του τετραγώνου συνεπώς
.
Επειδή . Τα ορθογώνια τρίγωνα
έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες και τις
προσκείμενες οξείες γωνίες ίσες άρα είναι ίσα και έτσι θα είναι και ισοδύναμα
και άρα δηλαδή
β) Πάλι λόγω της ισότητας των τριγώνων έχουμε
.
- Συνημμένα
-
- τετράγωνα_001.ggb
- (9.78 KiB) Μεταφορτώθηκε 361 φορές
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Άσκηση 002 Δίνεται τετράγωνο και με πλευρά κατασκευάζω εξωτερικά το ισόπλευρο . Αν , δείξτε ότι .
- Συνημμένα
-
- sq002.ggb
- (4.19 KiB) Μεταφορτώθηκε 584 φορές
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Είναι κι επειδή , όπου η πλευρά του τετραγώνου ,θα είναι κι έτσι τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε κι ακόμη και .Άρα
Έστω η προβολή της στην .Προφανώς . Τώρα με γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα στο αμβλυγώνιο τρίγωνο παίρνουμε
και το ζητούμενο αποδείχτηκε
Έστω η προβολή της στην .Προφανώς . Τώρα με γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα στο αμβλυγώνιο τρίγωνο παίρνουμε
και το ζητούμενο αποδείχτηκε
- Συνημμένα
-
- sq002.ggb
- (7.7 KiB) Μεταφορτώθηκε 361 φορές
-
- sq.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 18553 φορές
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Άσκηση 003 Δίνεται τετράγωνο και με πλευρά κατασκευάζω εσωτερικά το ισόπλευρο . Αν τετράγωνο στο ημιεπίπεδο που ορίζεται απ’ την και στο οποίο δεν ανήκει το , να δείξετε ότι .
- Συνημμένα
-
- sq003.ggb
- (4.89 KiB) Μεταφορτώθηκε 371 φορές
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
ΚαλημέραΜιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 003
Δίνεται τετράγωνο και με πλευρά κατασκευάζω εσωτερικά το ισόπλευρο . Αν τετράγωνο στο ημιεπίπεδο που ορίζεται απ’ την και στο οποίο δεν ανήκει το , να δείξετε ότι .
Φέρω
Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού και
Άρα
Φωτεινή Καλδή
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Άσκηση 004 Δίνεται τετράγωνο πλευράς και εσωτερικό του σημείο , τέτοιο ώστε και . Να δείξετε ότι .
- Συνημμένα
-
- sq004.ggb
- (3.86 KiB) Μεταφορτώθηκε 391 φορές
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Μιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 002 Δίνεται τετράγωνο και με πλευρά κατασκευάζω εξωτερικά το ισόπλευρο . Αν , δείξτε ότι .
Καλημερίζω τον… Μιχαήλ και τον… Μιχάλη. Καλημέρα σε όλους. Λίγο διαφορετικά από τον Μιχάλη ( τον Τσουρακάκη)
Εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι και το τρίγωνο
έχει .
Αν γράψουμε τον κύκλο προφανώς
και το ζητούμενο αποδείχτηκε .
Φιλικά Νίκος
- Συνημμένα
-
- τετράγωνα_002.ggb
- (11.01 KiB) Μεταφορτώθηκε 363 φορές
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Το σημείο προσδιορίζεται από την τομή των τόξων που βρίσκονται μέσα στοΜιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 004 Δίνεται τετράγωνο πλευράς και εσωτερικό του σημείο , τέτοιο ώστε και . Να δείξετε ότι .
τετράγωνο :
Α) Τεταρτοκύκλιο και
Β) Ημικυκλίου όπου το μέσο του .
Τα τρίγωνα είναι ισοσκελή με κορυφές αντίστοιχα και επειδή
οι παρά την βάση τους γωνίες είναι συμπλήρωμα της γωνίας , θα είναι όμοια με
λόγο ομοιότητας .
Φιλικά Νίκος
- Συνημμένα
-
- τετράγωνα_004.ggb
- (10.65 KiB) Μεταφορτώθηκε 328 φορές
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Άσκηση 005 Δίνεται τετράγωνο και έστω το μέσο της . Αν , να δείξετε ότι .
- Συνημμένα
-
- sq005.ggb
- (4.24 KiB) Μεταφορτώθηκε 346 φορές
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Τα τρίγωνα : είναι ως γνωστό όμοια .Μιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 005 Δίνεται τετράγωνο και έστω το μέσο της . Αν , να δείξετε ότι .
Επειδή , αν και , θα είναι:
. Ας πούμε το σημείο τομής της
, από την ομοιότητα των τριγώνων θα έχουμε :
. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο
, θα προκύψει : .
Δηλαδή .
Επειδή δε πάλι από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ισχύει :
η γίνεται :
.
(αργότερα και το αρχείο .ggb)
Φιλικά Νίκος
- Συνημμένα
-
- τετράγωνα_005.ggb
- (10.28 KiB) Μεταφορτώθηκε 339 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Μάιος 30, 2013 2:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Ευχαριστώ το Νίκο και όλους τους φίλους που συμμετέχουν στη δημιουργία αυτής της συλλογής.
Άσκηση 006 Δίνεται τετράγωνο και έστω το μέσο της . Αν , να δείξετε ότι .
Άσκηση 006 Δίνεται τετράγωνο και έστω το μέσο της . Αν , να δείξετε ότι .
- Συνημμένα
-
- sq006.ggb
- (4.31 KiB) Μεταφορτώθηκε 350 φορές
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Ας πούμε το σημείο τομής των . Τα ορθογώνια τρίγωναΜιχάλης Νάννος έγραψε:Ευχαριστώ το Νίκο και όλους τους φίλους που συμμετέχουν στη δημιουργία αυτής της συλλογής.
Άσκηση 006 Δίνεται τετράγωνο και έστω το μέσο της . Αν , να δείξετε ότι .
έχουν τις κάθετες πλευρές του ίσες και τις
προσκείμενες οξείες γωνίες γιατί έχουν κάθετες πλευρές , οπότε θα είναι
ίσα και ισεμβαδικά , θα έχουν δε και τα αντίστοιχα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα ,
Δηλαδή έχουμε :
. έτσι όμως θα ισχύει και
.
Φιλικά Νίκος
- Συνημμένα
-
- τετράγωνα_006.ggb
- (10.02 KiB) Μεταφορτώθηκε 330 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Μάιος 30, 2013 3:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Ισχύει πωςΜιχάλης Νάννος έγραψε:Ευχαριστώ το Νίκο και όλους τους φίλους που συμμετέχουν στη δημιουργία αυτής της συλλογής.
Άσκηση 006Δίνεται τετράγωνο και έστω το μέσο της . Αν , να δείξετε ότι .
Στο σχήμα του κυρίου Νάννου,τα τρίγωνα είναι όμοια επειδή είναι ορθογώνια κι επειδή .
Η βρίσκουμε με Π.Θ. πως ισούται με .
Άρα ο λόγος ομοιότητας των δύο τριγώνων είναι ίσος με .
Συνεπώς .
Άρα όσο δηλαδή το εμβαδόν του τριγώνου μας.
**Βλέπω ότι με πρόλαβε ο κύριος Νίκος αλλά νομίζω πως έχουμε διαφορετική λύση.
Με εκτίμηση,
gavrilos
Γιώργος Γαβριλόπουλος
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
.Το είναι εγγράψιμο οπότε .Αλλά τα τρίγωνα
είναι ίσα αφού (οξείες με κάθετες πλευρές) κι έτσι .Άρα
Όταν δημοσίευα τη λύση αυτή ,,δεν είχα δει ότι ο Νίκος είχε δημοσιεύσει ακριβώς την ίδια πριν 3΄.
- Συνημμένα
-
- sq006.ggb
- (5.77 KiB) Μεταφορτώθηκε 321 φορές
-
- sq006.png (7.34 KiB) Προβλήθηκε 18350 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Πέμ Μάιος 30, 2013 4:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Άσκηση 007 Δίνεται τετράγωνο και εξωτερικό του σημείο , τέτοιο ώστε . Αν , να δείξετε ότι:
1) .
2) .
1) .
2) .
- Συνημμένα
-
- sq007.ggb
- (4.75 KiB) Μεταφορτώθηκε 368 φορές
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
1) Απο Πυθαγόρειο στο τρίγωνο έχουμε ότιΜιχάλης Νάννος έγραψε:Άσκηση 007 Δίνεται τετράγωνο και εξωτερικό του σημείο , τέτοιο ώστε . Αν , να δείξετε ότι:
1) .
2) .
Έστω
τότε .Οπότε
Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο έχουμε
2) Όμοια έστω
τότε .Οπότε
Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο έχουμε
Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Άσκηση 008 Δίνεται τετράγωνο και έστω το μέσο της . Αν , να δείξετε ότι .
- Συνημμένα
-
- sq008.ggb
- (4.28 KiB) Μεταφορτώθηκε 401 φορές
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Άσκηση 009
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εσωτερικό σημείο Ε, τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΕΑΒ να είναι ισοσκελές, με τις ίσες γωνίες του ΕΑΒ και ΕΒΑ να ισούνται προς 15 μοίρες.
Να δειχτεί ότι το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισόπλευρο.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εσωτερικό σημείο Ε, τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΕΑΒ να είναι ισοσκελές, με τις ίσες γωνίες του ΕΑΒ και ΕΒΑ να ισούνται προς 15 μοίρες.
Να δειχτεί ότι το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισόπλευρο.
Re: Ασκήσεις με τετράγωνα - Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η
Προεκτείνουμε την ΑΕ που τέμνει την ΓΔ στο σημείο Ζ.Τα τρίγωνα είναι ίσα.
'Αρα οι γωνίες και
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο άρα
'Αρα οι γωνίες και
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο άρα
- Συνημμένα
-
- sq008 ΛΥΣΗ.ggb
- (6.55 KiB) Μεταφορτώθηκε 425 φορές
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες