Γραμμική Άλγεβρα-Γραμμικές Απεικονίσεις

Mathletic · #1

Μπορείτε να με βοηθήσετε στην παρακάτω άσκηση;
Ποιά από τις παρακάτω γραμμικές απεικονίσεις είναι αντιστρέψιμη, και γιατί;
Όπου υπάρχει, βρείτε την αντίστροφη, $L^{−1}$ .
α) $L: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ , επί του $\mathbb{R}$ , $\, L(z)=\overline{z}$ .
β) $L:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n-1} | x=(x_{1},x_{2},...,x_{n}) \mapsto L(x)=(x_{1},x_{2},...,x_{n-1})$ .
γ) $L:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} | v \mapsto Kv$ , όπου $K=\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{pmatrix}$ .
Ευχαριστώ.

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Διόρθωση του κώδικα LATEX και λοιπά. Ειδικά, γράφουμε \rightarrow για το $\rightarrow$ και όχι "->"

#2

Καλώς ήλθες στο mathematica.

Η άσκηση που έθεσες είναι προφανώς "άσκηση στο σπίτι" από κάποιο μάθημα που παρακολουθείς. Όμως, το να παίρνεις λύσεις σε ασκήσεις (ιδίως πάρα πολύ απλές όπως αυτές που παραθέτεις) χωρίς να κάνεις καμία προσπάθεια ΔΕΝ ΣΕ ΒΟΗΘΑ. Πρέπει να μάθεις να λύνεις μόνος τις ασκήσεις που συναντάς ή, έστω, να τις προσπαθείς με ουσιαστικό τρόπο.

Το παρακάτω μήνυμα είναι κοπή/αντιγραφή από παλαιότερη ανάλογη περίπτωση, και δεν θα κουραστούμε να το λέμε:

Η άσκηση αυτή υπάρχει παρόμοια σε όλα τα βιβλία που ασχολούνται με το θέμα. Δεν υπάρχει λόγος να την απαντήσουμε εδώ, πριν διευκρινίσουμε τα εξής:

Στο φόρουμ αυτό χαιρόμαστε να βοηθάμε οποιονδήποτε έχει απορίες στα Μαθηματικά. Αυτό που δεν μας αρέσει είναι να λύνουμε τις "ασκήσεις στο σπίτι" που έχει θέσει συνάδελφος στους μαθητές του, πριν ο ερωτών μας δείξει ότι έχει επεξεργαστεί την άσκηση.

Βλέπε εδώ

για συζήτηση πάνω σε αυτό το θέμα. Με λίγα λόγια, το mathematica δεν είναι λυσάρι κανενός.

batmsup1 · #3

Οπως λέει και ο κύριος Λάμπρου πιο πάνω, το να δεις μια έτοιμη απάντηση δε θα σε ωφελήσει κάπου. Καλό είναι να παλεύεις πρώτα κάθε ερώτημα που σε δυσκολεύει. Εν προκειμένω πρέπει να ανατρέξεις στα βιβλία σου και να δεις τον ορισμό για το τι είναι γραμμική απεικόνιση και ποτε μια γραμμική απεικόνιση είναι αντιστρέψιμη. Δες τους απαραίτητους ορισμούς, δες και τη διασύνδεση που υπάρχει ανάμεσα σε γραμμικές απεικονίσεις και πίνακες και οπου δυσκολευτείς θα βοηθηθείς σίγουρα και απο εδώ. Να σου θυμίσω οτι οι γραμμικές απεικονίσεις είναι μια ειδική περίπτωση συναρτήσεων, γι αυτό και η ορολογία οπως αντιστρέψιμη, αντίστροφη κλπ μας θυμίζει τις συναρτήσεις.

Mathletic · #4

Αυτό που έχω κάνει για το (α) είναι σωστό??

α) Έστω $U:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ , με $U(\overline{z})=z$
$LU(\overline{z})=L(U(\overline{z}))=L(z)=\overline{z}$
Δηλαδή, $LU=Id_{\mathbb{C}}$
$UL(z)=U(L(z))=U(\overline{z})=z$
Δηλαδή, $UL=Id_{\mathbb{C}}$

Άρα η

είναι αντιστρέψιμη, με $L^{-1}=U$

#5

Mathletic έγραψε:Αυτό που έχω κάνει για το (α) είναι σωστό??

α) Έστω $U:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ , με $U(\overline{z})=z$
$LU(\overline{z})=L(U(\overline{z}))=L(z)=\overline{z}$
Δηλαδή, $LU=Id_{\mathbb{C}}$
$UL(z)=U(L(z))=U(\overline{z})=z$
Δηλαδή, $UL=Id_{\mathbb{C}}$

Άρα η είναι αντιστρέψιμη, με $L^{-1}=U$

Σωστά.

Είναι λίγο πιο καλά να εργαστείς με το

αντί το $\overline{z}$ . Δηλαδή ορίζεις $U(z)=\overline{z}$ ,
που σημαίνει με απλά λόγια ότι ο αντίστροφος του

είναι ο εαυτός του. Έτσι, για παράδειγμα, κάνεις την μισή δουλειά,
δείχνοντας L^2=I

.

Μ.

Mathletic · #6

Ευχαριστώ πολύ...!!!

Γραμμική Άλγεβρα-Γραμμικές Απεικονίσεις

Γραμμική Άλγεβρα-Γραμμικές Απεικονίσεις

Re: Γραμμική Άλγεβρα-Γραμμικές Απεικονίσεις

Re: Γραμμική Άλγεβρα-Γραμμικές Απεικονίσεις

Re: Γραμμική Άλγεβρα-Γραμμικές Απεικονίσεις

Re: Γραμμική Άλγεβρα-Γραμμικές Απεικονίσεις

Re: Γραμμική Άλγεβρα-Γραμμικές Απεικονίσεις

Μέλη σε σύνδεση