Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

Συντονιστής: exdx

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 148
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 03, 2010 2:43 pm

Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ » Τρί Ιουν 11, 2013 2:29 pm

Αν x , y , z πραγματικοί αριθμοί , να λυθεί το σύστημα

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
x+5zx+3yz=0\\  
y+5zy+3xz=0\\  
5x^2+6xy+5y^2=8 
\end{matrix} \right\}}


stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 676
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Τρί Ιουν 11, 2013 3:10 pm

Προσθέτουμε τους δύο πρώτες εξισώσεις:
x+y+8yz+8zx=0 \Leftrightarrow (x+y)+8z(x+y)=0 \Leftrightarrow (x+y)(1+8z)=0 \Leftrightarrow

x+y=0 ή 1+8z=0 \Leftrightarrow y=-x ή z=-\dfrac{1}{8} .

\bullet Αν z=-\dfrac{1}{8} αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση παίρνουμε:

x-\dfrac{5x}{8}-\dfrac{3y}{8}=0 \Leftrightarrow 3x-3y=0 \Leftrightarrow x=y .

Από την τρίτη εξίσωση έχουμε: 16x^2=8 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Δηλαδή x=y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} .

\bullet Αν y=-x αντικαθιστώντας στην τρίτη εξίσωση παίρνουμε:

5x^2-6x^2+5x^2=8 \Leftrightarrow x^2=2 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2} .

Από την πρώτη εξίσωση για: x=\sqrt{2} ,  y=-\sqrt{2} παίρνουμε z=-\dfrac{1}{2}

ενώ για x=-\sqrt{2} ,  y=\sqrt{2} παίρνουμε πάλι z=-\dfrac{1}{2} .

Τελικά (x,y,z)\in\{ \; \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{8}\right) \; , \;  \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{8}\right) \; , \; \left(\sqrt{2},-\sqrt{2},-\frac{1}{2}\right) \; , \; \left(-\sqrt{2},\sqrt{2},-\frac{1}{2}\right) \} .


Στράτης Αντωνέας
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Ιουν 11, 2013 3:12 pm

Πολλαπλασιάζουμε την 1η εξίσωση με \displaystyle{x} και τη 2η με \displaystyle{y} και έχουμε : \displaystyle{x^2+5zx^2+3xyz=0,~y^2+5zy^2+3xyz=0}.

Aφαιρούμε κατά μέλη : \displaystyle{x^2-y^2+5z(x^2-y^2)=0\Leftrightarrow (x^2-y^2)(1+5z)=0\Leftrightarrow x=y~\acute{\eta}~x=-y~\acute{\eta}~z=-\frac{1}{5}}.

\displaystyle{\bullet} Για \displaystyle{x=y} στην 3η εξίσωση : \displaystyle{5x^2+6x^2+5x^2=8\Leftrightarrow 16x^2=8\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}} και στην 1η:

\displaystyle{x+5zx+3zx=0\overset{x \ne 0}\Leftrightarrow z=-\frac{1}{8}}.

\displaystyle{\bullet} Για \displaystyle{x=-y} στην 3η εξίσωση : \displaystyle{5x^2-6x^2+5x^2=8\Leftrightarrow 4x^2=8\Leftrightarrow x^2=2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}} και στην 1η:

\displaystyle{x+5zx-3zx=0\overset{x \ne 0}\Leftrightarrow z=-\frac{1}{2}}.

\displaystyle{\bullet} Για \displaystyle{z=-\frac{1}{5}} στην 1η και τη 2η εξίσωση : \displaystyle{y=0,x=0} που δεν επαληθεύουν την 3η.

Τελικά, \displaystyle{(x,y,z)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{8}\right)~\acute{\eta}~(x,y,z)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{8}\right)~\acute{\eta}~(x,y,z)=\left(\sqrt{2},-\sqrt{2},-\frac{1}{2}\right)}

\displaystyle{\acute{\eta}~(x,y,z)=\left(-\sqrt{2},\sqrt{2},-\frac{1}{2}\right)}

Edit: Στην πορεία είδα τη λύση του Στράτη, αφήνω αφού είναι διαφορετική η επίλυση


Γιώργος
ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 148
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 03, 2010 2:43 pm

Re: Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ » Τρί Ιουν 11, 2013 3:39 pm

Στρατή - Γιώργο ευχαριστώ για τις λύσεις σας.
Όταν πρωτοέλυσα το σύστημα το έλυσα με άλλον τρόπο , διαφορετικό απο
αυτούς που παρουσιάσατε. Μετά ο 2ος τρόπος που μου ήρθε ήταν του Στρατή.


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τρί Ιουν 11, 2013 3:58 pm

Καλησπέρα σε όλους

Λίγο διαφορετικά από το Γιώργο
Γιώργος Απόκης έγραψε:Πολλαπλασιάζουμε την 1η εξίσωση με \displaystyle{x} και τη 2η με \displaystyle{y}
να πολλαπλασιάσουμε την πρώτη με y τη δεύτερη με x

και να πάρουμε \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
xy+5xyz+3y^2z=0\\  
xy+5xyz+3x^2z=0 
\end{matrix} \right\}},αφαιρώντας έχουμε y=\pm x


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες