Α' ΔΕΣΜΗ 1983
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Α' ΔΕΣΜΗ 1983
Ξεκινάμε. Τα θέματα θα προτείνονται ανά δημοσίευση προς επίλυση (των ασκήσεων τους).
Συγκεντρωμένες θα είναι στο Ευρετήριο Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων
1. α) Αν ακολουθίες πραγματικών αριθμών με να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας με
2. Η συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο κλειστό διάστημα έχει παράγωγο στο ανοικτό διάστημα και .
Να αποδειχθεί :
α) Ότι για τη συνάρτηση όπου υπάρχει τέτοιο ώστε .
β) Αν , ότι υπάρχει τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στο σημείο της γραμμής με εξίσωση διέρχεται από το σημείο .
3. α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει η σχέση .
β) Έστω η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα με .
Να αποδειχθεί ότι :
i) Η είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της
ii) Είναι φθίνουσα στο διάστημα
iii)
4. Στο τετράεδρο να αποδειχθεί ότι :
α) Αν και τότε
β) Αν και είναι η απόσταση των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων και είναι η απόσταση των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων τότε .
Υ.Γ. Για να φαίνεται πιο ωραία η απάντηση της καλό είναι να συνοδεύεται από την εκφώνηση της.
Για να το κάνετε αυτό κάνετε παράθεση στην αρχική δημοσίευση
και από την παράθεση αυτή σβήνετε τις υπόλοιπες ασκήσεις, κατόπιν την λύνετε κανονικά .
edit
Διορθώθηκε ο παρονομαστής στην κλαδική συνάρτηση στο 3ο θέμα, σωστός ο Ωmega Man
Συγκεντρωμένες θα είναι στο Ευρετήριο Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων
1. α) Αν ακολουθίες πραγματικών αριθμών με να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας με
2. Η συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο κλειστό διάστημα έχει παράγωγο στο ανοικτό διάστημα και .
Να αποδειχθεί :
α) Ότι για τη συνάρτηση όπου υπάρχει τέτοιο ώστε .
β) Αν , ότι υπάρχει τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στο σημείο της γραμμής με εξίσωση διέρχεται από το σημείο .
3. α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει η σχέση .
β) Έστω η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα με .
Να αποδειχθεί ότι :
i) Η είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της
ii) Είναι φθίνουσα στο διάστημα
iii)
4. Στο τετράεδρο να αποδειχθεί ότι :
α) Αν και τότε
β) Αν και είναι η απόσταση των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων και είναι η απόσταση των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων τότε .
Υ.Γ. Για να φαίνεται πιο ωραία η απάντηση της καλό είναι να συνοδεύεται από την εκφώνηση της.
Για να το κάνετε αυτό κάνετε παράθεση στην αρχική δημοσίευση
και από την παράθεση αυτή σβήνετε τις υπόλοιπες ασκήσεις, κατόπιν την λύνετε κανονικά .
edit
Διορθώθηκε ο παρονομαστής στην κλαδική συνάρτηση στο 3ο θέμα, σωστός ο Ωmega Man
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Τρί Ιουν 11, 2013 10:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1983
(α) Ήταν θεωρίαparmenides51 έγραψε:1. α) Αν ακολουθίες πραγματικών αριθμών με να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας με
(β)
Αλλά και
Άρα
ΣΗΜ: Έγινε αλλαγή του γράμματος με το και διορθώθηκε μια αβλεψία στο τέλος
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ σε Τρί Ιουν 11, 2013 9:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1983
(a) Για την συνάρτηση , ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle. Άρα υπάρχει ώστε να είναιparmenides51 έγραψε:2. Η συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο κλειστό διάστημα έχει παράγωγο στο ανοικτό διάστημα και .
Να αποδειχθεί :
α) Ότι για τη συνάρτηση όπου υπάρχει τέτοιο ώστε .
β) Αν , ότι υπάρχει τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στο σημείο της γραμμής με εξίσωση διέρχεται από το σημείο .
(β) Από το πρώτο ερώτημα, έχουμε . Αλλά . Άρα
. Συνεπώς:
, (ΣΧΕΣΗ 1).
Θα αποδείξουμε τώρα ότι το που ζητάμε , είναι αυτό που βρήκαμε στην πρώτη ερώτηση.
Πράγματι, η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της , στο σημείο με τετμημένη , είναι:
. Πρέπει να δείξουμε ότι η ευθεία αυτή διέρχεται από το σημείο
Αρκεί να δείξουμε ότι , το οποίο είναι αληθές εξ αιτίας της (ΣΧΕΣΗΣ 1).
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1983
α) Για είναι προφανές ότι , για επαληθεύεται η ισότητα και μένει να δούμε τι γίνεται για .parmenides51 έγραψε:3. α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει η σχέση .
β) Έστω η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα με .
Να αποδειχθεί ότι :
i) Η είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της
ii) Είναι φθίνουσα στο διάστημα
iii)
Έχουμε λοιπόν και εφόσον η h είναι γνησίως φθίνουσα και , έπεται ότι .
Άρα για κάθε .
β)
i. , άρα στο είναι συνεχής.
Όμοια , άρα είναι συνεχής στο .
ii. , αφού ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός αρκεί να μελετήσουμε τον αριθμητή.
, άρα αφού κ γνησίως αύξουσα και και , έπεται ότι , άρα για κάθε .
iii.
τελευταία επεξεργασία από Ωmega Man σε Δευ Ιουν 17, 2013 2:57 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
What's wrong with a Greek in Hamburg?
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1983
Αγαπητέ Δημήτρη μήπως το όριο είναι και όχι με τη ρίζα?ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:(α) Ήταν θεωρίαparmenides51 έγραψε:1. α) Αν ακολουθίες πραγματικών αριθμών με να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας με
(β)
Αλλά και
Άρα
Χρήστος Λοΐζος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1983
Christos75 έγραψε:Αγαπητέ Δημήτρη μήπως το όριο είναι και όχι με τη ρίζα?ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:(α) Ήταν θεωρίαparmenides51 έγραψε:1. α) Αν ακολουθίες πραγματικών αριθμών με να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας με
(β)
Αλλά και
Άρα
Ναι, έκανα απροσεξία στο τέλος, πράγματι είναι . Θα κάνω την διόρθωση
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1983
Κανένα πρόβλημα, λάθη λόγω κεκτημένης όλοι κάνουμε!ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Christos75 έγραψε:Αγαπητέ Δημήτρη μήπως το όριο είναι και όχι με τη ρίζα?ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:(α) Ήταν θεωρίαparmenides51 έγραψε:1. α) Αν ακολουθίες πραγματικών αριθμών με να αποδειχθεί ότι .
β) Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας με
(β)
Αλλά και
Άρα
Ναι, έκανα απροσεξία στο τέλος, πράγματι είναι . Θα κάνω την διόρθωση
Χρήστος Λοΐζος
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1983
Και αντί για ακολουθία συνάρτηση
Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης με
Για
Είναι
και
Θέτουμε και
Τότε
Άρα
Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης με
Για
Είναι
και
Θέτουμε και
Τότε
Άρα
Σωτήρης Στόγιας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1983
(α)parmenides51 έγραψε:4. Στο τετράεδρο να αποδειχθεί ότι :
α) Αν και τότε
β) Αν και είναι η απόσταση των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων και είναι η απόσταση των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων τότε .
=
(β)Έχουμε:
. Επίσης:
Με πρόσθεση κατά μέλη αυτών, και με δεδομένο ότι τα είναι τα μέσα των και αντιστοίχως, έχουμε:
Άρα , (ΣΧΕΣΗ 1)
Με τον ίδιο τρόπο, βρίσκουμε ότι:
, (ΣΧΕΣΗ 2)
Από τις σχέσεις 1 και 2 έχουμε
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1983
4. Στο τετράεδρο να αποδειχθεί ότι :
α) Αν και τότε
β) Αν και είναι η απόσταση των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων και είναι η απόσταση των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων τότε .
Μία ακόμη εκδοχή για το α) ερώτημα της παραπάνω άσκησης.
Συνεχίζοντας έχουμε:
και τελικά έχουμε:
Άρα προκύπτει το ζητούμενο!
Όπου G θεωρούμε το σημείο Γ.
α) Αν και τότε
β) Αν και είναι η απόσταση των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων και είναι η απόσταση των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων τότε .
Μία ακόμη εκδοχή για το α) ερώτημα της παραπάνω άσκησης.
Συνεχίζοντας έχουμε:
και τελικά έχουμε:
Άρα προκύπτει το ζητούμενο!
Όπου G θεωρούμε το σημείο Γ.
Χρήστος Λοΐζος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες