B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1982

parmenides51 · #1

Στο τίτλο έγραφε ''για βελτίωση βαθμολογίας''.

1. α) Αν δυο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους παράλληλες μια προς μια ή κάθετες μια προς μια είναι όμοια.
β) Να αποδειχθεί ότι η απόσταση οποιουδήποτε σημείου ενός κύκλου από μια χορδή του είναι μέση ανάλογος
μεταξύ των αποστάσεων του σημείου αυτού από τις εφαπτόμενες του κύκλου στα άκρα της χορδής.

2. α) Αν για τις γωνίες $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=\kappa \pi}$ , όπου $\displaystyle{\kappa }$ ακέραιος,
να δειχθεί ότι $\displaystyle{\varepsilon \phi \alpha +\varepsilon \phi \beta+ \varepsilon \phi \gamma=\varepsilon \phi \alpha \,\,\varepsilon \phi \beta \,\,\varepsilon \phi \gamma}$ . Δίνεται ότι $\alpha ,\beta ,\gamma \ne \kappa \pi +\frac{\pi }{2},\,\,\kappa \in \mathbb{Z}$ .
β) Για τις γωνίες $\displaystyle{x,y}$ να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση $\displaystyle(\varepsilon {{\phi }^{2}}x+\varepsilon {{\phi }^{2}}y)\cdot \left( \frac{1}{\varepsilon {{\phi }^{2}}x}+\frac{1}{\varepsilon {{\phi }^{2}}y} \right)\ge (\varepsilon \phi x+\varepsilon \phi y)\cdot \left( \frac{1}{\varepsilon \phi x}+\frac{1}{\varepsilon \phi y} \right)$
με $\displaystyle{x,y\ne \frac{\kappa \pi }{2},\,\,\kappa \in \mathbb{Z}}$ . Πότε η σχέση ισχύει σαν ισότητα;

3. α) Να διατυπωθεί το θεώρημα De Moivre.
β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle{{{\left( 1+iz \right)}^{\nu }}=\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}}$ με $\displaystyle{\nu}$ φυσικό αριθμό και $z\in \mathbb{C}$ δεν έχει πραγματική λύση.

4. α) Να δοθεί ο ορισμός του διανυσματικού υπόχωρου $A\ne \varnothing$ ενός διανυσματικού χώρου $\displaystyle{V}$
και να αποδειχθεί ότι και αυτός είναι διανυσματικός χώρος.
β) Στο σύνολο $G=\left\{ x\in \mathbb{R}|-1<x<1 \right\}$ ορίζουμε την πράξη $\displaystyle{*}$ ως εξής $\displaystyle{x*y=\frac{x+y}{1+xy}}$ (1) .
Να αποδειχθεί ότι η $\left( G,* \right)$ είναι αντιμεταθετική ομάδα.
Οι σημειούμενες πράξεις στο δεύτερο μέλος της (1) είναι οι συνήθεις του $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

#2

parmenides51 έγραψε:4. α) Να δοθεί ο ορισμός του διανυσματικού υπόχωρου $A\ne \varnothing$ ενός διανυσματικού χώρου $\displaystyle{V}$
και να αποδειχθεί ότι και αυτός είναι διανυσματικός χώρος.
β) Στο σύνολο $G=\left\{ x\in \mathbb{R}|-1<x<1 \right\}$ ορίζουμε την πράξη $\displaystyle{*}$ ως εξής $\displaystyle{x*y=\frac{x+y}{1+xy}}$ (1) .
Να αποδειχθεί ότι η $\left( G,* \right)$ είναι αντιμεταθετική ομάδα.
Οι σημειούμενες πράξεις στο δεύτερο μέλος της (1) είναι οι συνήθεις του $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

(α) Θεωρία

(β) Πρώτα θα αποδείξουμε ότι το $\displaystyle{G}$ είναι κλειστό ως προς την δοθείσα πράξη . Δηλαδή θα αποδείξουμε ότι για κάθε
$\displaystyle{x,y \in G\Rightarrow x * y \in G}$ . Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι :

$\displaystyle{\frac{x+y}{1+xy}\in (-1,1) \Leftrightarrow \frac{x+y}{1+xy}<1 }$ και $\displaystyle{\frac{x+y}{1+xy}>-1}$ . Οι ανισότητες αυτές αποδείχνονται στοιχειωδώς με δεδομένο ότι $\displaystyle{x,y \in (-1,1)}$
Άρα το $\displaystyle{G}$ είναι κλειστό ως προς την δοθείσα πράξη.

Η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει διότι για κάθε $\displaystyle{x,y,z\in G}$ έχουμε:

$\displaystyle{(x * y) * z=(\frac{x+y}{1+xy}) * z =\frac{\frac{x+y}{1+xy}+z}{1+\frac{x+y}{1+xy}.z}=\frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz}}$

Kαι ομοίως: $\displaystyle{x * (y * z)=\frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz}}$

H αντιμεταθετική ιδιότητα είναι προφανής αφού $\displaystyle{x * y =\frac{x+y}{1+xy}=\frac{y+x}{1+yx}=y * x}$

Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι υπάρχει ουδέτερο στοιχείο.

Πράγματι, έστω υπάρχει και είναι το $\displaystyle{e}$ . Τότε θα πρέπει για κάθε $\displaystyle{x\in G}$ , να είναι $\displaystyle{x * e=x}$ . Δηλαδή

$\displaystyle{\frac{x+e}{1+xe}=x\Leftrightarrow e(x^2 -1)=0}$ και αφού $\displaystyle{x\in (-1,1)}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{e=0}$

Άρα το $\displaystyle{e=0}$ είναι το ουδέτερο στοιχείο ως προς την δοθείσα πράξη.

Τέλος, μένει να αποδείξουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x\in G}$ , υπάρχει το συμμετρικό του (που ανήκει στο $\displaystyle{G}$ )

Πράγματι, έστω $\displaystyle{x{'}\in G}$ το συμμετρικό (αν υπάρχει) του $\displaystyle{x\in G}$ . Τότε πρέπει:

$\displaystyle{x * x{'}=e=0}$ , δηλαδή $\displaystyle{\frac{x+x{'}}{1+xx{'}}=0\Rightarrow x{'}=-x}$ και αφού $\displaystyle{x\in (-1,1)\Rightarrow -x\in (-1,1)}$

Άρα το συμμετρικό του $\displaystyle{x}$ είναι το $\displaystyle{-x}$

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η δομή $\displaystyle{(G , * )}$ είναι μια αντιμεταθετική ομάδα.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

parmenides51 έγραψε:2. α) Αν για τις γωνίες $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=\kappa \pi}$ , όπου $\displaystyle{\kappa }$ ακέραιος,
να δειχθεί ότι $\displaystyle{\varepsilon \phi \alpha +\varepsilon \phi \beta+ \varepsilon \phi \gamma=\varepsilon \phi \alpha \,\,\varepsilon \phi \beta \,\,\varepsilon \phi \gamma}$ . Δίνεται ότι $\alpha ,\beta ,\gamma \ne \kappa \pi +\frac{\pi }{2},\,\,\kappa \in \mathbb{Z}$ .
β) Για τις γωνίες $\displaystyle{x,y}$ να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση $\displaystyle(\varepsilon {{\phi }^{2}}x+\varepsilon {{\phi }^{2}}y)\cdot \left( \frac{1}{\varepsilon {{\phi }^{2}}x}+\frac{1}{\varepsilon {{\phi }^{2}}y} \right)\ge (\varepsilon \phi x+\varepsilon \phi y)\cdot \left( \frac{1}{\varepsilon \phi x}+\frac{1}{\varepsilon \phi y} \right)$
με $\displaystyle{x,y\ne \frac{\kappa \pi }{2},\,\,\kappa \in \mathbb{Z}}$ . Πότε η σχέση ισχύει σαν ισότητα;

(α) $\displaystyle{a+\beta +\gamma =k\pi \Rightarrow a+\beta =k\pi -\gamma \Rightarrow \epsilon \phi (a+\beta )=\epsilon \phi (k\pi -\gamma )\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{\epsilon \phi a +\epsilon \phi \beta}{1-\epsilon \phi a \epsilon \phi \beta}=-\epsilon \phi \gamma \Rightarrow}$

$\displaystyle{\epsilon \phi a +\epsilon \phi \beta +\epsilon \phi \gamma =\epsilon \phi a \epsilon \phi \beta \epsilon \phi \gamma}$

(β)Aρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{1+\frac{\epsilon \phi ^2 x}{\epsilon \phi ^2 y}+\frac{\epsilon \phi ^2 y}{\epsilon \phi ^2 x}+1\geq 1+\frac{\epsilon \phi x}{\epsilon \phi y}+\frac{\epsilon \phi y}{\epsilon \phi x}+1}$

ή αρκεί: $\displaystyle{(\frac{\epsilon \phi x}{\epsilon \phi y}+ \frac{\epsilon \phi y}{\epsilon \phi x})^2 -2\geq \frac{\epsilon \phi x}{\epsilon \phi y}+\frac{\epsilon \phi y}{\epsilon \phi x}}$

Θέτουμε $\displaystyle{\frac{\epsilon \phi x}{\epsilon \phi y}+\frac{\epsilon \phi y}{\epsilon \phi x} =t}$ , οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι:

$\displaystyle{t^2 -t-2\geq 0\Leftrightarrow t\leq -1}$ , ή $\displaystyle{t\geq 2}$

Θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{\epsilon \phi x \epsilon \phi y >0}$ . Τότε $\displaystyle{\frac{\epsilon \phi x}{\epsilon \phi y}+\frac{\epsilon \phi y}{\epsilon \phi x}\geq 2}$ και άρα $\displaystyle{t\geq 2}$ , οπότε έχουμε το ζητούμενο

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{ \epsilon \phi x \epsilon \phi y <0}$ . Τότε: $\displaystyle{\frac{\epsilon \phi x}{\epsilon \phi y}+\frac{\epsilon \phi y}{\epsilon \phi x}\leq -2}$ και άρα $\displaystyle{t\leq -2<-1}$ , όπου και πάλι έχουμε το ζητούμενο.

ΣΗΜ: Η ισότητα ισχύει, όταν $\displaystyle{\epsilon \phi x=\epsilon \phi y}$ , αφού τότε $\displaystyle{t=2}$

Mόλις είδα ότι την έχει λύσει και ο Ορέστης, με λίγο διαφορετικό τρόπο.

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1982

B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1982

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1982

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1982

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1982

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1982

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1982

Μέλη σε σύνδεση