ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{\phi}$ συνάρτηση του $\displaystyle{A}$ στο $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\sigma}$ συνάρτηση του $\displaystyle{B}$ στο $\displaystyle{\Gamma}$
τότε τη σύνθεση της $\displaystyle{\phi}$ με τη $\displaystyle{\sigma}$ θα την παραστήσουμε όπως συνηθίζεται με $\sigma \circ \phi$ .
α) Να δείξετε ότι η σύνθεση συναρτήσεων έχει τη προσεταιριστική ιδιότητα.
β) Αν είναι $\displaystyle{\phi}$ συνάρτηση του $\displaystyle{A}$ στο $\displaystyle{A}$ τότε ορίζουμε ${{\phi }_{1}}=\phi$ και ${{\phi }_{\nu +1}}={{\phi }_{1}}\circ {{\phi }_{\nu }}$ για κάθε $\nu \in \mathbb{N}$ .
Αν ${ {\color{red}A}_{\nu }}$ είναι το σύνολο τιμών της ${{\phi }_{\nu }}$ να δείξετε ότι για κάθε φυσικό $\displaystyle{\nu}$ το σύνολο ${{A }_{\nu +1}}$ είναι υποσύνολο του ${A}_{\nu }}$ .
γ) Αν η συνάρτηση $\displaystyle{\phi}$ του προηγούμενου ερωτήματος είναι επί του $\displaystyle{A}$ να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για τη συνάρτηση ${{\phi }_{\nu }}}$ για κάθε $\nu \in \mathbb{N}$ .

2. Αν είναι $\displaystyle{y={{x}^{2}}-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}}$ να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση $\displaystyle{1<{{\log }_{y}}\left( \frac{x-2}{x} \right)}$ .
Να διακρίνετε τις περιπτώσεις $\displaystyle{y>1}$ και $\displaystyle{0<y<1}$ .

3. α) Να δώσετε τον ορισμό του ορίου συνάρτησης $\displaystyle{\phi(x) }$ όταν $x\to {{x}_{0}}$ η συνάρτηση έχει όριο τον πραγματικό αριθμό ${{y}_{0}}$ .
β) Να δώσετε μια γεωμετρική ερμηνεία του ορισμού αυτού ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
γ) Να βρείτε χρησιμοποιώντας γνωστές ιδιότητες , το όριο της συνάρτησης $\displaystyle{\phi (x)=\frac{{{x}^{2}}-3x+20}{3x-4}}$ όταν $x\to 3$ .

4. α) Χρησιμοποιώντας τις μεθόδους του διαφορικού λογισμού να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση $y=1+(x+2) ^{\displaystyle\frac{4}{5}}}$
στο διάστημα $\displaystyle{\Delta=[-3,-1]}$
β) Να εξετάσετε αν εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle για την προηγούμενη συνάρτηση στο διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ .

edit's
μετονομασία
διόρθωση στο latex στο 1ο
προσθήκη λέξεων στο 1γγ

Ιστοσελίδα · #2

Nα μου επιτρέψετε ένα σχολιασμό στα θέματα εκείνης της εποχής όντας υποψήφιος. Με μια αφελή παρατήρηση στο τρίτο και τέταρτο θέμα θα μπορούσε σε σύγκριση με τα μεταγενέστερα θέματα να πει «βατά και αναμενόμενα». Αυτό όμως είναι μέγα λάθος γιατί, δεν συνηθιζόταν η ανάλυση εκείνη την εποχή, υπήρχαν μάλιστα μεγάλα φροντιστήρια που δεν προετοίμαζαν καθόλου τους υποψήφιους στην μετέπειτα ύλη της ανάλυσης , για μας εκείνη την εποχή η λέξη Rolle φάνταζε ως μάρκα απορρυπαντικού και τίποτε άλλο. Τα δε στατιστικά εκείνης της εποχής έλεγαν για 85 - 90% κάτω από την βάση και ήταν φυσιολογικό. Να ενημερώσω ότι πηγαίνοντας φροντιστήριο σε μεγάλο της εποχής στο κέντρο της Αθήνας έκανα την εβδομάδα, 2 ώρες τριώνυμο, 2 ακολουθίες, 2 τριγωνομετρία, 3 γεωμετρία, 1 στερεομετρία και 2 όλα τα άλλα (από σύνολα και συναρτήσεις μέχρι και θεωρία αριθμών), κάπου λοιπόν στα μέσα τις χρονιάς κάποιες ώρες κάναμε και συναρτήσεις, όσο για το σχολείο μόνο την σπουδή της συναρτήσεως
$\varphi (x)=a{{x}^{2}}+bx+c$ ,
τα δε όρια τα γράφαμε
$\overset{\subset }{\mathop{o}}\,\rho \varphi (x)$
βάζοντας πάνω από το ο την δασεία.

#3

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Nα μου επιτρέψετε ένα σχολιασμό στα θέματα εκείνης της εποχής όντας υποψήφιος. Με μια αφελή παρατήρηση στο τρίτο και τέταρτο θέμα θα μπορούσε σε σύγκριση με τα μεταγενέστερα θέματα να πει «βατά και αναμενόμενα». Αυτό όμως είναι μέγα λάθος γιατί, δεν συνηθιζόταν η ανάλυση εκείνη την εποχή, υπήρχαν μάλιστα μεγάλα φροντιστήρια που δεν προετοίμαζαν καθόλου τους υποψήφιους στην μετέπειτα ύλη της ανάλυσης , για μας εκείνη την εποχή η λέξη Rolle φάνταζε ως μάρκα απορρυπαντικού και τίποτε άλλο. Τα δε στατιστικά εκείνης της εποχής έλεγαν για 85 - 90% κάτω από την βάση και ήταν φυσιολογικό. Να ενημερώσω ότι πηγαίνοντας φροντιστήριο σε μεγάλο της εποχής στο κέντρο της Αθήνας έκανα την εβδομάδα, 2 ώρες τριώνυμο, 2 ακολουθίες, 2 τριγωνομετρία, 3 γεωμετρία, 1 στερεομετρία και 2 όλα τα άλλα (από σύνολα και συναρτήσεις μέχρι και θεωρία αριθμών), κάπου λοιπόν στα μέσα τις χρονιάς κάποιες ώρες κάναμε και συναρτήσεις, όσο για το σχολείο μόνο την σπουδή της συναρτήσεως
$\varphi (x)=a{{x}^{2}}+bx+c$ ,
τα δε όρια τα γράφαμε
$\overset{\subset }{\mathop{o}}\,\rho \varphi (x)$
βάζοντας πάνω από το ο την δασεία.

Σπύρο, έτσι ακριβώς είχαν τότε τα πράγματα. Μπορεί τώρα να φαντάζουν "γελοίες" οι ασκήσεις ανάλυσης που έμπαιναν, όμως δεν δινόταν έμφαση στον διαφορικό λογισμό τότε. Στις αρχές της δεκαετίας του 1970, όταν ο Parmenides μας γράψει τα θέματα που έβαζαν στο Πολυτεχνείο και στην ΣΜΑ, θα θυμηθούμε το πόσο δύσκολα ήταν τα θέματα πάνω στην "κλασική" ύλη, όπως στα συστήματα, τις ταυτότητες , τις ακολουθίες , την γεωμετρία και την στεραιομετρία. Τότε δινόταν η ύλη όλων των τάξεων και ανάλογα με την σχολή, υπήρχαν από πολύ εύκολα θέματα (όπως στην Ιατρική, τις οικονομικές σχολές και αλλού), μέχρι πολύ δύσκολα (όπως στο Πολυτεχνείο και ορισμένες στρατιωτικές σχολές).
Τότε ο καθένας ανάλογα με το που ήθελε να μπει, ήξερε εκ των προτέρων το επίπεδο των θεμάτων. Δεν έμπαιναν όλοι οι υποψήφιοι σε "ένα τσουβάλι" όπως γίνεται σήμερα...

ArgirisM · #4

parmenides51 έγραψε: 3. α) Να δώσετε τον ορισμό του ορίου συνάρτησης $\displaystyle{\phi(x) }$ όταν $x\to {{x}_{0}}$ η συνάρτηση έχει όριο τον πραγματικό αριθμό ${{y}_{0}}$ .
β) Να δώσετε μια γεωμετρική ερμηνεία του ορισμού αυτού ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
γ) Να βρείτε χρησιμοποιώντας γνωστές ιδιότητες , το όριο της συνάρτησης $\displaystyle{\phi (x)=\frac{{{x}^{2}}-3x+20}{3x-4}}$ όταν $x\to 3$ .

α, β) Θεωρία.
γ) Αφού για x = 3

είναι $9 - 4 = 5 \neq 0$ , αυτό ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και έχουμε $\lim_{x \to 3} \phi (x) = \frac{\lim_{x \to 3} (x^2 - 3x + 20)}{\lim_{x \to 3} (3x - 4)}} = \frac{20}{5} = 4$ .

Εμφανώς οι απαιτήσεις στην ανάλυση δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλες, σε αντίθεση με την άλγεβρα. Το δεύτερο θέμα είναι υπερπαραγωγή! Σας παρακαλώ, μην αναρατήσετε την λύση του, διότι καθώς τελείωνα την δεύτερη περίπτωση κόλλησε το internet και το έχασα τελείως, οπότε αρκέστηκα σε αυτή της ανάλυσης, που δεν λέει και σπουδαία πράγματα. Λογικά θα την έχω αναρτήσει μέχρι το βράδυ.

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

parmenides51 · #6

μιας και το 'φερε η κουβέντα,
δείτε (ενδεικτικά) στο συννημένο την Εξεταστέα ύλη των Μαθηματικών στις Εισαγωγικές Εξετάσεις του 1971 για Πολυτεχνικό, ΦυσικοΜαθηματικό, Γεωδασοπονολογικό, Οικονομικό και Τεχνικό Κύκλο, προέρχεται από το ψηφιακό αρχείο εφημερίδων εδώ , από την εφημερίδα ''Μακεδονία'' φύλλο 16/4/1971 σελίδα 4

ArgirisM · #7

2. Αν είναι $\displaystyle{y={{x}^{2}}-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}}$ να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση $\displaystyle{1<{{\log }_{y}}\left( \frac{x-2}{x} \right)}$ .
Να διακρίνετε τις περιπτώσεις $\displaystyle{y>1}$ και $\displaystyle{0<y<1}$ .

Σύγγνωμη για την καθυστέρηση, είμαι ασυγχώρητος

... Βλέπετε Κυριακή βράδυ καταπιάστηκα με του τα των ιδιαιτέρων που είχα την άλλη και μέρα ενώ μετά... Δευτέρα κάτι έχω, την Τρίτη δεν αντέχω... Τέλος πάντων, να η λύση. Ελπίζω να μην έχασα κανένα νούμερο. Σε πρώτη φάση θα πάρουμε κάποιους περιορισμούς. Απαιτούμε $\frac{x - 2}{x} > 0, x \neq 0 \Longleftrightarrow x(x - 2) > 0, x \neq 0 \Longleftrightarrow x \in (- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ . Ακόμη πρέπει $0 < y \neq 1 \Longleftrightarrow 0 < x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{4}{3}, x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{7}{3} \neq 0 \Longleftrightarrow 3x^2 - 4x - 4 > 0, 3x^2 - 4x - 7 \neq 0$ .
Για την ανίσωση έχουμε: $\Delta = 64$ οπότε $x_{1, 2} = \frac{4 \pm 8}{6} \Longleftrightarrow x = 2$ ή $x = - \frac{2}{3}$ . Άρα $x \in (- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (2, + \infty)$ . Για τη δεύτερη σχέση έχουμε $\Delta ' = 100$ οπότε $x \neq \frac{4 \pm 10}{6} \Longleftrightarrow x \neq \frac{7}{3}, - 1$ . Τελικά λοιπόν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι $D_f = (- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{2}{3}) \cup (2, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, + \infty)(1)$ (Μαμά η συνάρτηση που θα μου βάλουν του χρόνου θέλω να έχει ένα τέτοιο πεδίο ορισμού!

). Έστω τώρα ότι y < 1

. Παραγοντοποιούμε με βάση τη διακρίνουσα που βρήκαμε παραπάνω και έχουμε $(x + 1)(x - \frac{7}{3}) < 0 \Longleftrightarrow x \in (- 1, \frac{7}{3}) \Longrightarrow x \in (- 1, - \frac{2}{3}) \cup (2, \frac{7}{3})$ (από την (1)

). Σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε $\log_{y}(\frac{x - 2}{x}) > \log_{y}y \Longleftrightarrow y > \frac{x - 2}{x} \Longleftrightarrow x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{4}{3} > \frac{x - 2}{x} \Longleftrightarrow x^2(3x^2 - 4x - 4) > 3x(x - 2) \Longleftrightarrow 3x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 6x > 0 \Longleftrightarrow x(3x^3 - 4x^2 - 7x + 6) > 0 \Longleftrightarrow x(x - 2)(3x^2 + 2x - 3) > 0 \Longleftrightarrow x(x - 2)(x - \frac{- 1 + \sqrt{10}}{3})(x + \frac{1 + \sqrt{10}}{3}) > 0 \Longleftrightarrow x \in ( - \infty, - \frac{1 + \sqrt{10}}{3}) \cup (0, \frac{\sqrt{10} - 1}{3}) \cup (2, + \infty)$ .
Λαμβάνοντας υπ' όψιν αυτό και τις τιμές για τις οποίες η συνάρτηση είναι φθίνουσα έχουμε $x \in (2, \frac{7}{3})$ . Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι $x \in ( - \infty, - 1) \cup (\frac{7}{3}, + \infty)$ . Έτσι λύνοντας πάλι την ανίσωση έχουμε $0 > x(x - 2)(x - \frac{- 1 + \sqrt{10}}{3})(x + \frac{1 + \sqrt{10}}{3}) \Longleftrightarrow x \in (- \frac{1 + \sqrt{10}}{3}, 0) \cup (\frac{\sqrt{10} - 1}{3}, 2)$ . Έτσι, καταλήγουμε τελικά στο διάστημα $x \in (- \frac{1 + \sqrt{10}}{3}, - 1)$ . Συγκεντρωτικά λοιπόν, οι τιμές για τις οποίες έχει λύση η ανίσωση είναι $(- \frac{1 + \sqrt{10}}{3}, - 1) \cup (2, \frac{7}{3})$ .

edit: Προέκυψε λάθος στις συναληθεύσεις, το οποίο βρήκα αφού δημοσίευσε τη λύση του ο Ορέστης. Συγκεκριμένα είχα $\frac{2}{3} > \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$ και $\frac{- 1 + \sqrt{10}}{3} > 2$

orestisgotsis · #8

ΠΕΡΙΤΤΑ

parmenides51 · #9

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Nα μου επιτρέψετε ένα σχολιασμό στα θέματα εκείνης της εποχής όντας υποψήφιος. Με μια αφελή παρατήρηση στο τρίτο και τέταρτο θέμα θα μπορούσε σε σύγκριση με τα μεταγενέστερα θέματα να πει «βατά και αναμενόμενα». Αυτό όμως είναι μέγα λάθος γιατί, δεν συνηθιζόταν η ανάλυση εκείνη την εποχή, υπήρχαν μάλιστα μεγάλα φροντιστήρια που δεν προετοίμαζαν καθόλου τους υποψήφιους στην μετέπειτα ύλη της ανάλυσης , για μας εκείνη την εποχή η λέξη Rolle φάνταζε ως μάρκα απορρυπαντικού και τίποτε άλλο. Τα δε στατιστικά εκείνης της εποχής έλεγαν για 85 - 90% κάτω από την βάση και ήταν φυσιολογικό. Να ενημερώσω ότι πηγαίνοντας φροντιστήριο σε μεγάλο της εποχής στο κέντρο της Αθήνας έκανα την εβδομάδα, 2 ώρες τριώνυμο, 2 ακολουθίες, 2 τριγωνομετρία, 3 γεωμετρία, 1 στερεομετρία και 2 όλα τα άλλα (από σύνολα και συναρτήσεις μέχρι και θεωρία αριθμών), κάπου λοιπόν στα μέσα τις χρονιάς κάποιες ώρες κάναμε και συναρτήσεις, όσο για το σχολείο μόνο την σπουδή της συναρτήσεως
$\varphi (x)=a{{x}^{2}}+bx+c$ ,
τα δε όρια τα γράφαμε
$\overset{\subset }{\mathop{o}}\,\rho \varphi (x)$
βάζοντας πάνω από το ο την δασεία.

για την ιστορία κοιτάζοντας λύσεις της εποχής , τότε τα όρια τα έλυναν με ακολουθίες

ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣΟΠ. ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση