Δ' ΔΕΣΜΗ 1986

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\begin{vmatrix} x+3 & 2x & 3x-1\\ -3 & 2x-6 & -x-1\\ 1 & 5 & 1 \end{vmatrix}=0}$

2. Να προσδιορισθούν οι τιμές του $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ ώστε το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (\lambda +3)x+(\lambda -1)y=2\lambda +1 \\ (\lambda -2)x-(\lambda -1)y=3\lambda +7 \end{matrix}\right} }$ να είναι αδύνατο.

3. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-36x+90,x \in \mathbb{R}}$ .
Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης.

4. α) i) Έστω $\displaystyle{S}$ το σύνολο των τιμών μιας μεταβλητής $\displaystyle{X }$ ενός δείγματος μεγέθους $\displaystyle{V}$ .
Τι ονομάζουμε σχετική συχνότητα μιας τιμής $\displaystyle{x\in S}$ ;
ii) Έστω μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ορισμένη σε ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και ${{x}_{0}}\in \Delta$ .
Πότε η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ λέγεται παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}$ ;
β. Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ f}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{5}{2}{{x}^{2}}+7x-1}$ , $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .
Αν $\displaystyle{C_f}$ είναι η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $\displaystyle{C_f}$ στο σημείο $\displaystyle{\left(1,\frac{23}{6}\right)}$ .
Στη συνέχεια να βρείτε σε ποιο σημείο η εφαπτομένη αυτή τέμνει τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ .

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\begin{vmatrix} x+3 & 2x & 3x-1\\ -3 & 2x-6 & -x-1\\ 1 & 5 & 1 \end{vmatrix}=0}$

Λύση

Ας είναι $\displaystyle{P(x)=\begin{vmatrix} x+3 & 2x & 3x-1\\ -3 & 2x-6 & -x-1\\ 1 & 5 & 1 \end{vmatrix}}$

Αφαιρώντας από την δεύτερη στήλη πέντε φορές την πρώτη, και, από την τρίτη στήλη, μια φορά την πρώτη, έχουμε ότι

$\displaystyle{P(x)=\begin{vmatrix} x+3 & -3x-15 & 2x-4\\ -3 & 2x+9 & 2-x\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}}=\begin{vmatrix} -3x-15 & 2x-4\\ 2x+9 & 2-x \end{vmatrix}=-x^2-x+6}$

Συνεπώς,

$\displaystyle{\begin{aligned} P(x)=0&\Leftrightarrow -x^2-x+6=0\\&\Leftrightarrow x^2+x=6\\&\Leftrightarrow \left(x+\frac{1}{2}\right)^2=6+\frac{1}{4}\\&\Leftrightarrow \left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\\&\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\ \lor x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}\\&\Leftrightarrow x=2\ \lor x=-3\end{aligned}}$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

BAGGP93 · #4

parmenides51 έγραψε:

3. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-36x+90,x \in \mathbb{R}}$ .
Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης.

Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με παράγωγο συνάρτηση την

$\displaystyle{f^\prime(x)=6x^2+6x-36=6(x+3)(x-2)\,\,,x\in\mathbb{R}}$

Είναι, $\displaystyle{f^\prime(x)>0\ \forall x\in\left(-\infty,-3\right)\cup\left(2,+\infty\right)\,\,,f^\prime(x)<0\ \forall x\in\left(-3,2\right)\,\,,f^\prime(-3)=f^\prime(2)=0}$ .

Επίσης, η $\displaystyle{f^\prime}$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f''(x)=12x+6}$

και άρα $\displaystyle{f''(-3)=-30<0\,\,,f''(2)=30>0}$ .

Επομένως, η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο $\displaystyle{x_1=-3}$ και τοπικό ελάχιστο στο $\displaystyle{x=2}$ τους αριθμούς

$\displaystyle{f(-3)=171}$ και $\displaystyle{f(2)=46}$ αντίστοιχα.

gavrilos · #5

Αυτά τα θέματα(και τα αντίστοιχα του 1987) είχε δώσει ο πατέρας μου όταν ήταν μαθητής..

Christos75 · #6

3. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-36x+90,x \in \mathbb{R}}$ .
Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης.

Λύση

Ενδεικτική λύση δίχως την χρήση του θεωρήματος της δεύτερης παραγώγου που χρησιμοποίησε ο αγαπητός συνφορουμίτης BAGGP93 παραπάνω

Έχουμε την συνάρτηση: $f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x+90$ . Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης:

$f'(x)=6x^{2}+6x-36=6(x^{2}+x-6)$

Αναζητούμε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου:

$f'(x)=0\Leftrightarrow 6(x^{2}+x-6)=0\Leftrightarrow x^{2}+x-6=0$

Υπολογίζουμε την διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου και έχουμε: $\Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma =(+1)^{2}-4.1(-6)=1+24=25> 0$

Από όπου παίρνουμε: $\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-1(+-5)}{2}$ δηλαδή $x_{1}=-3 \vee x_{2}=2}$

Επίσης $f'(x)> 0\Leftrightarrow 6(x^{2}-x-6)> 0\Leftrightarrow x< -3\vee x> 2$

Προφανώς $f'(x)< 0\Leftrightarrow 6(x^{2}+x-6)< 0\Leftrightarrow -3<x<2$

Αφού λοιπόν στα σημεία

και

μηδενίζεται η παράγωγος και εκατέρωθεν των σημείων αυτών αλλάζει πρόσημο, τα εν λόγω
σημεία είναι τοπικά ακρότατα. Συνεπώς τα σημεία : M(-3,171)

και

είναι τα ζητούμενα σημεία.
Το πρώτο είναι τοπικό μέγιστο

και το δεύτερο

είναι τοπικό ελάχιστο.

BAGGP93 · #7

parmenides51 έγραψε:

4. α) i) Έστω $\displaystyle{S}$ το σύνολο των τιμών μιας μεταβλητής $\displaystyle{X }$ ενός δείγματος μεγέθους $\displaystyle{V}$ .
Τι ονομάζουμε σχετική συχνότητα μιας τιμής $\displaystyle{x\in S}$ ;
ii) Έστω μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ορισμένη σε ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και ${{x}_{0}}\in \Delta$ .
Πότε η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ λέγεται παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}$ ;
β. Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ f}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{5}{2}{{x}^{2}}+7x-1}$ , $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .
Αν $\displaystyle{C_f}$ είναι η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $\displaystyle{C_f}$ στο σημείο $\displaystyle{\left(1,\frac{23}{6}\right)}$ .
Στη συνέχεια να βρείτε σε ποιο σημείο η εφαπτομένη αυτή τέμνει τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ .

Γράφω και αυτό έτσι ώστε να υπάρχουν όλες οι λύσεις των εξετάσεων αυτών

α)Θεωρία

β)Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f^\prime(x)=x^2-5x+7}$

και συνεπώς, ορίζεται η εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο του γραφήματος της.

Συγκεκριμμένα, στο σημείο $\displaystyle{\left(1,\frac{23}{6}\right)\in C_{f}}$ , διότι $\displaystyle{f(1)=\frac{23}{6}}$ , η εφαπτομένη έχει αναλυτική εξίσωση την

$\displaystyle{f^\prime(1)\cdot x-y+(f(1)-f^\prime(1))=0\Leftrightarrow 3x-y+\frac{5}{6}=0}$

Έπειτα, το σημείο τομής της παραπάνω εφαπτομένης με τον άξονα των $\displaystyle{x}$ ,

θα βρεθεί από την λύση του $\displaystyle{2\times 2}$ ομογενούς γραμμικού συστήματος

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 3x-y+\frac{5}{6}=0\\ 0x+y+0=0 \end{matrix}}$

του οποίου, μοναδική λύση είναι η $\displaystyle{\left(x,y\right)=\left(-\frac{5}{18},0\right)}$ .

Επομένως, το ζητούμενο σημείο είναι το $\displaystyle{A\left(-\frac{5}{18},0\right)}$

Δ' ΔΕΣΜΗ 1986

Δ' ΔΕΣΜΗ 1986

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1986

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1986

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1986

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1986

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1986

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1986

Μέλη σε σύνδεση