Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

christodoulou · #1

Να αποδείξετε ότι : $\alpha +\beta i=\gamma +\delta i$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in R\Leftrightarrow \alpha =\gamma$ και $\beta =\delta .$

mathxl · #2

Μία απόδειξη στην φιλοσοφία της κατεύθυνσης β΄λυκείου για τα i,j.

Ευθύ
α+βι=γ+δι ισοδύναμα
α-γ=(δ-β)ι , σχέση (1)
Αν α διαφορετικό του γ τότε 1=[(δ-β)/(α-γ)]ι άτοπο αφύ το πρώτο μέλος είναί πραγματικός ενώ το δεύτερο μέλος φανταστικός ή ο πραγματικός 0
Συνεπώς α=γ. Από την (1) με αντικατάσταση έχουμε 0=(δ-β)ι ισοδύναμα δ=β

Αντίστροφα
Αν α=γ και β=δ ισοδύναμα
α=γ και βι=δι. Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε το ζητούμενο

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Νομίζω, ότι δεν είναι δυνατόν, να αποδειχθεί ένας ορισμός!
Ο ορισμός δεν επιδέχεται απόδειξη, ούτε αμβισβήτηση.
Φιλικά Χρήστος

mathxl · #4

Χρήστο έχεις δικιο ως προς αυτά που λεςγια τον ορισμό (το αναφέει κα το σχολικό ότι είναι ορισμός).

Είναι όμως πράγματι ορισμός;

Χρήστος Λαζαρίδης · #5

mathxl έγραψε:Χρήστο έχεις δικιο ως προς αυτά που λεςγια τον ορισμό (το αναφέει κα το σχολικό ότι είναι ορισμός).

Είναι όμως πράγματι ορισμός;

Αυτό Βασίλη είναι μία άλλη ιστορία.
Νομίζω ότι πρέπει να αρκεστούμε στον σχολικό ορισμό και να μη περιπλέκουμε τα πράγματα.
Φιλικά Χρήστος

Α.Κυριακόπουλος · #6

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Νομίζω, ότι δεν είναι δυνατόν, να αποδειχθεί ένας ορισμός!
Ο ορισμός δεν επιδέχεται απόδειξη, ούτε αμβισβήτηση.
Φιλικά Χρήστος

Αγαπητέ Χρήστο.
Ένας ορισμός ,όντως δεν επιδέχεται απόδειξη, γιατί την ισοδυναμία σε έναν ορισμό την δεχόμαστε. Αμφισβήτηση όμως, υπό την έννοια ότι μπορεί να μην γίνεται δεκτός, επιδέχεται και αυτό στην περίπτωση που μας οδηγεί σε αντιφάσεις.
Mε εκτίμηση και αγάπη.

Χρήστος Λαζαρίδης · #7

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Νομίζω, ότι δεν είναι δυνατόν, να αποδειχθεί ένας ορισμός!
Ο ορισμός δεν επιδέχεται απόδειξη, ούτε αμβισβήτηση.
Φιλικά Χρήστος
Αγαπητέ Χρήστο.
Ένας ορισμός ,όντως δεν επιδέχεται απόδειξη, γιατί την ισοδυναμία σε έναν ορισμό την δεχόμαστε. Αμφισβήτηση όμως, υπό την έννοια ότι μπορεί να μην γίνεται δεκτός, επιδέχεται και αυτό στην περίπτωση που μας οδηγεί σε αντιφάσεις.
Mε εκτίμηση και αγάπη.

Αντώνη ο ορισμός της ισότητας μιγαδικών, είναι αμφισβητήσιμος;
Δεν είμαστε υποχρεωμένοι, να τον δεχτούμε;
Αν η παρατήρησή σου ήταν γενικότερη, συμφωνώ. Αποδείξεις τέτοιου τύπου όμως, κατά τη γνώμη μου είναι δυνατόν να δημιουργήσουν ερωτήματα στα παιδιά;
Με εκτίμηση Χρήστος

#8

ΣΧΟΛΙΑ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΑΘΗΤΕΣ !

Νομίζω πως στο σχολικό βιβλίο δεν υπήρχε λόγος να δοθεί αυτή η σχέση ως ορισμός, αλλά απλά ως μια επισήμανση και τίποτα άλλο. Γιατί να μην το πει ''Θεώρημα'' και να το αφήσει αναπόδεικτο ;

Εξάλλου το C είναι σώμα , όπως ακριβώς σώμα είναι και το IR.Έχουμε δώσει ορισμό για την ισότητα δύο πραγματικών ; ΟΧΙ ! Γιατί λοιπόν να δώσουμε ορισμό για την ισότητα δύο μιγαδικών ;

Αλλά , το ξαναλέω, στη σχολική τάξη δεν ανοίγουμε κουβέντα για αυτά. Ο μαθητής αρκείται στο να γνωρίζει πότε δύο μιγαδικοί είναι ίσοι και τίποτα παραπάνω.Έχει τόσα να μάθει και να κατανοήσει στην γ΄τάξη , που είναι ήδη αρκετά.

Με εκτίμηση σε όλες τις απόψεις - Μπάμπης

mathxl · #9

Κύριε Αντώνη , Χρήστο και Μπάμπη
Η απόδειξη σε σχολικό επίπεδο ΔΕΝ ΕΥΣΤΑΘΕΙ (αυτό για να μην μπερδεύεται κανένας μαθητής) αφού το σχολικό μας λέει ότι πρόκειται για ορισμό που όπως σωστα αναφέρθηκε δεν επιδέχεται απόδειξης.

Αυτό που φαντάζομαι ότι ζήτησε ο συνάδελφος(;) είναι απόδειξη του: επειδή στο C ο μιγαδικός z=α+βι γράφεται κατά μοναδικό τρόπο΄, μπορούμε βάσει αυτού να αποδείξουμε (να προκύψει) η ισότητα των μερών ίσων μιγαδικών. Αυτό προσπάθησα να δώσω κινούμενος όπως στο βιβλίο της β΄κατεύθυνσης.

christodoulou · #10

Δίνω μία απόδειξη , που προσωπικά τη θεωρώ διδακτική για τους μαθητές :
$\right)\alpha +\beta i=\gamma +\delta i\Leftrightarrow \alpha -\gamma =\delta i-\beta i\Leftrightarrow \alpha -\gamma =i\left(\delta -\beta \right)\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=\left[i\left(\delta -\beta \right) \right]^2\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=i^{2}\left(\delta -\beta \right)^{2}\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=-\left(\delta -\beta \right)^{2}\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}+\left(\delta - \beta \right)^{2}=0\Leftrightarrow \alpha -\gamma =0 \: \kappa \alpha \iota \: \delta -\beta =0\Leftrightarrow \alpha =\gamma \: \kappa \alpha \iota \: \beta =\delta$
Δε βρίσκω το λόγο να ορίσουμε κάτι που μπορούμε να αποδείξουμε με τους ήδη υπάρχοντες ορισμούς(χρησιμοποίησα μόνο ότι $i^{2}=-1$ στην απόδειξη). Πιστεύω ότι δεν μπερδεύουμε τους μαθητές λέγοντας τους την αλήθεια όσον αφορά τα κακώς κείμενα του σχολικού βιβλίου

#11

mathxl έγραψε:Κύριε Αντώνη , Χρήστο και Μπάμπη
Η απόδειξη σε σχολικό επίπεδο ΔΕΝ ΕΥΣΤΑΘΕΙ (αυτό για να μην μπερδεύεται κανένας μαθητής) αφού το σχολικό μας λέει ότι πρόκειται για ορισμό που όπως σωστα αναφέρθηκε δεν επιδέχεται απόδειξης.

Αυτό που φαντάζομαι ότι ζήτησε ο συνάδελφος(;) είναι απόδειξη του: επειδή στο C ο μιγαδικός z=α+βι γράφεται κατά μοναδικό τρόπο΄, μπορούμε βάσει αυτού να αποδείξουμε (να προκύψει) η ισότητα των μερών ίσων μιγαδικών. Αυτό προσπάθησα να δώσω κινούμενος όπως στο βιβλίο της β΄κατεύθυνσης.

Δεν ξέρω πώς του ήρθε του φίλου μας αυτού και καλού συναδέλφου να βάλει τέτοιο ερώτημα.Δεν το είχα σκεφτεί ποτέ, ούτε καν είχα προσέξει ότι το σχολικό το έχει ως ορισμό !
Αλλά σκέφτομαι τελικά ότι όλα ξεκινούν από το πότε ένας μιγαδικός α+βi είναι μηδέν.
ΑΝ δεχτούμε ως προφανές ότι αυτό γίνεται μόνο για α=β=0 , τότε η ισότητα μιγαδικών δεν χρειάζεται να δοθεί ούτε με απόδειξη , ούτε ως ορισμός ούτε ως τίποτα, παρά ως μία παρατήρηση και μόνο !
Αν έχουμε πρόβλημα να ορίσουμε το μιγαδικό μηδέν , τότε όλα γίνονται φαύλος κύκλος και αναγκαστικά, όπως γίνεται πάντα σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει να πάμε στα θεμέλια :
Τι είναι οι μιγαδικοί κλπ, δηλαδή να πάμε στο ΣΩΜΑ C ! Εκεί όλα ξεκαθαρίζουν και ο δρόμος ανοίγεται διαυγής και διάπλατος !!!

Μπάμπης

Βασίλης Καλαμάτας · #12

christodoulou έγραψε:Δίνω μία απόδειξη , που προσωπικά τη θεωρώ διδακτική για τους μαθητές :
$\right)\alpha +\beta i=\gamma +\delta i\Leftrightarrow \alpha -\gamma =\delta i-\beta i\Leftrightarrow \alpha -\gamma =i\left(\delta -\beta \right)\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=\left[i\left(\delta -\beta \right) \right]^2\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=i^{2}\left(\delta -\beta \right)^{2}\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=-\left(\delta -\beta \right)^{2}\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}+\left(\delta - \beta \right)^{2}=0\Leftrightarrow \alpha -\gamma =0 \: \kappa \alpha \iota \: \delta -\beta =0\Leftrightarrow \alpha =\gamma \: \kappa \alpha \iota \: \beta =\delta$
Δε βρίσκω το λόγο να ορίσουμε κάτι που μπορούμε να αποδείξουμε με τους ήδη υπάρχοντες ορισμούς(χρησιμοποίησα μόνο ότι $i^{2}=-1$ στην απόδειξη). Πιστεύω ότι δεν μπερδεύουμε τους μαθητές λέγοντας τους την αλήθεια όσον αφορά τα κακώς κείμενα του σχολικού βιβλίου

Είναι σίγουρο ότι ισχύουν οι ισοδυναμίες???

#13

christodoulou έγραψε:Δίνω μία απόδειξη , που προσωπικά τη θεωρώ διδακτική για τους μαθητές :
$\right)\alpha +\beta i=\gamma +\delta i\Leftrightarrow \alpha -\gamma =\delta i-\beta i\Leftrightarrow \alpha -\gamma =i\left(\delta -\beta \right)\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=\left[i\left(\delta -\beta \right) \right]^2\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=i^{2}\left(\delta -\beta \right)^{2}\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=-\left(\delta -\beta \right)^{2}\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}+\left(\delta - \beta \right)^{2}=0\Leftrightarrow \alpha -\gamma =0 \: \kappa \alpha \iota \: \delta -\beta =0\Leftrightarrow \alpha =\gamma \: \kappa \alpha \iota \: \beta =\delta$
Δε βρίσκω το λόγο να ορίσουμε κάτι που μπορούμε να αποδείξουμε με τους ήδη υπάρχοντες ορισμούς(χρησιμοποίησα μόνο ότι $i^{2}=-1$ στην απόδειξη). Πιστεύω ότι δεν μπερδεύουμε τους μαθητές λέγοντας τους την αλήθεια όσον αφορά τα κακώς κείμενα του σχολικού βιβλίου

Η σκέψη σου είναι καλή και αποτελεί όντως μια απόδειξη . Όμως αυτό θα μπορούσε να γίνει στο σημείο που θέλουμε να δούμε πότε ένας αριθμός είναι μηδέν(δεν αλλάζει στην ουσία τίποτα!).

Στην παραπάνω απόδειξη θέλω τελείως φιλικά και συναδελφικά να σου πω ότι , αν θέλεις , την τρίτη ισοδυναμία να την κάνεις συνεπαγωγή ( ....μας περιμένει και ο φίλος μας ο Αντώνης με την ....καραμπίνα(καλά κάνει βέβαια και ξέρει ότι τον πειράζω με αυτό το σχόλιο!)). Εννοώ εκεί που υψώνεις στο τετράγωνο !

Μπάμπης

ΣΧΟΛΙΟ

Αν το σχολικό ήθελε να κάνει πιο αυστηρή εισαγωγή - κινούμενος στο πνεύμα του παραπάνω μηνύματος (εγώ δεν προτείνω τίποτα : καλά έκανε για μένα και το απέφυγε , διότι για αυτό υπάρχουν οι δάσκαλοι : για να να απαντήσουν σε τυχόν ερώτηση των μαθητών τους !) , θα μπορούσε στο σημείο που λέει πότε ένας μιγαδικός είναι μηδέν , να προχωρήσει με το εξής σκεπτικό :

Αν $a+bi = 0 \Rightarrow a = -bi \Rightarrow a^2 = (-ib)^2 \Rightarrow a^2 = -b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 0 \Rightarrow a=b=0$

Το αντίστροφο είναι προφανές.

Από εκεί και μετά προκύπτει αμέσως ως εφαρμογή αυτό που συζητάμε.

christodoulou · #14

Είναι σίγουρο ότι δεν ισχύουν οι ισοδυναμίες;

#15

Γειά σας
Κατ΄αρχάς θα ήθελα να τονίσω και εγώ ότι η όποια κουβέντα δεν αφορά την διδασκαλία του θέματος. Τα παιδιά δεν υποχρεούνται ούτε να μάθουν την απόδειξη της ισότητας, ούτε να την αντιμετωπίσουν σαν άσκηση. Το πολύ πολύ η κουβέντα που κάνουμε να αποτελέσει υλικό συζήτησης με μαθητές που δείχνουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και έχουν έντονες μαθηματικές ανησυχίες.
Μετά από αυτές τις διευκρινήσεις μπορώ να πω την γνώμη μου:
1) Στο σχολικό βιβλίο η ισότητα των μιγαδικών δεν ορίζεται. Τεκμαίρεται από την περιγραφή των μιγαδικών αριθμών που προηγείται (σελίδα 86). Από που; Από την γραφή κάθε μιγαδικού αριθμού κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή $\alpha +\beta i$ και από το ότι ισχύουν οι ιδιότητες των πράξεων:
$\alpha +\beta i=\gamma +\delta i\Leftrightarrow \left( \alpha -\gamma \right) +\left( \beta -\delta \right) i=0+0i\Leftrightarrow \alpha -\gamma =0,\,\ \ \beta -\delta =0\Leftrightarrow \alpha =\gamma ,\,\ \beta =\delta$
2) Θεωρώ πως στον συλλογισμό

christodoulou έγραψε: $\right)\alpha +\beta i=\gamma +\delta i\Leftrightarrow \alpha -\gamma =\delta i-\beta i\Leftrightarrow \alpha -\gamma =i\left(\delta -\beta \right)\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=\left[i\left(\delta -\beta \right) \right]^2\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=i^{2}\left(\delta -\beta \right)^{2}\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=-\left(\delta -\beta \right)^{2}\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}+\left(\delta - \beta \right)^{2}=0\Leftrightarrow \alpha -\gamma =0 \: \kappa \alpha \iota \: \delta -\beta =0\Leftrightarrow \alpha =\gamma \: \kappa \alpha \iota \: \beta =\delta$

όπως επισήμάνθηκε και από άλλους συναδέλφους δεν ισχύουν οι ισοδυναμίες. Αν τα τετράγωνα δύο μιγαδικών είναι ίσα αυτοί είναι ίσοι ή αντίθετοι. Ωστόσο ο συλλογισμός μπορεί με μικρές τροποποιήσεις να δουλέψει μια χαρά.
3) Το $\mathbb{C}$ ορίζεται σχετικά εύκολα από το $\mathbb{R}$ και γι' αυτό μπορούμε να ορίσουμε ισότητα. Αντίθετα κάθε ορισμός του $\mathbb{R}$ από το $\mathbb{Q}$ είναι δύσκολος και γι' αυτό δεν δίνουμε σε σχολικό επίπεδο τον ορισμό της ισότητας πραγματικών: Γιατί σε αυτό το επίπεδο αδυνατούμε να τους ορίσουμει.
Μαυρογιάννης

sxima · #16

Εφόσον C=RxR δηλαδή ο μιγαδικός α+βi είναι το διατεταγμένο ζεύγος (α,β) ,τότε
α+βi=γ+δi αν και μόνο αν (α,β)=(γ,δ) δηλαδή α=γ και β=δ

christodoulou · #17

Το αντίστροφο των ισοδυναμιών ισχύει εφόσον ξεκινώντας από τη σχέση $\alpha =\gamma \: \kappa \alpha \iota \: \beta =\delta \Rightarrow \alpha -\gamma =0\: \kappa \alpha \iota \: \beta -\delta =0$ οπότε μπορούν να φύγουν τα τετράγωνα αφού στην ουσία έχουμε 0=0.(τετριμμενη περίπτωση). Εξάλλου το αντίστροφο είναι προφανές ότι ισχύει( βλέπε την απόδειξη του mathxl).

#18

christodoulou έγραψε: $\right)\alpha +\beta i=\gamma +\delta i\Leftrightarrow \alpha -\gamma =\delta i-\beta i\Leftrightarrow \alpha -\gamma =i\left(\delta -\beta \right) {\color{red}{\Leftrightarrow}} \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=\left[i\left(\delta -\beta \right) \right]^2\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=i^{2}\left(\delta -\beta \right)^{2}\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=-\left(\delta -\beta \right)^{2}\Leftrightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}+\left(\delta - \beta \right)^{2}=0\Leftrightarrow \alpha -\gamma =0 \: \kappa \alpha \iota \: \delta -\beta =0\Leftrightarrow \alpha =\gamma \: \kappa \alpha \iota \: \beta =\delta$

Το αντίστροφο προφανώς ισχύει. Η πιο πάνω όμως απόδειξη δεν το δείχνει. Οι ισοδυναμίες είναι λάθος στο κοκκινισμένο σημείο. Η ισοδυναμία $z = w \Leftrightarrow z^2 = w^2$ είναι λανθασμένη.

christodoulou · #19

Θεώρημα : $\alpha +\beta i=\gamma +\delta i$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in R\Leftrightarrow \alpha =\gamma$ και $\beta =\delta .$
Απόδειξη
Ευθύ :
$\right)\alpha +\beta i=\gamma +\delta i\Rightarrow \alpha -\gamma =\delta i-\beta i\Rightarrow \alpha -\gamma =i\left(\delta -\beta \right)\Rightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=\left[i\left(\delta -\beta \right) \right]^2\Rightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=i^{2}\left(\delta -\beta \right)^{2}\Rightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}=-\left(\delta -\beta \right)^{2}\Rightarrow \left(\alpha -\gamma \right)^{2}+\left(\delta - \beta \right)^{2}=0\Rightarrow \alpha -\gamma =0 \: \kappa \alpha \iota \: \delta -\beta =0\Rightarrow \alpha =\gamma \: \kappa \alpha \iota \: \beta =\delta$

Αντίστροφο :
$\alpha =\gamma \: \kappa \alpha \iota \: \beta =\delta \Rightarrow \alpha +\beta i=\gamma +\delta i$

Η γνώμη μου είναι ότι δεν είναι ορισμός εφόσον μπορούμε να το αποδείξουμε.

Ίσως κάποτε πρέπει να προσπαθήσουμε να αλλάξουμε τα τόσα λάθη που υπάρχουν στα σχολικά βιβλία.

#20

christodoulou έγραψε:Θεώρημα : $\alpha +\beta i=\gamma +\delta i$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in R\Leftrightarrow \alpha =\gamma$ και $\beta =\delta .$
Απόδειξη
Ευθύ :
${\color{brown}\alpha +\beta i=\gamma +\delta i\Rightarrow \alpha -\gamma =\delta i-\beta i}\Rightarrow \alpha -\gamma =i\left(\delta -\beta \right)\Rightarrow\ldots$

Στήν συνεπαγωγή ${\color{brown}\alpha +\beta i=\gamma +\delta i\Rightarrow \alpha -\gamma =\delta i-\beta i}$ χρησιμοποιείται, κατ' ουσίαν, η πρόσθεση μεταξύ μιγαδικών, δηλαδή
$\alpha +\beta i=\gamma +\delta i \ \Rightarrow \ \alpha +\beta i+({-\gamma -\beta i})=\gamma +\delta i+({-\gamma -\beta i}) \ \Rightarrow \ \alpha -\gamma =\delta i-\beta i$ .
Στήν Μαθηματική θεμελίωση ενός νέου συνόλου μαθηματικών αντικειμένων ( εδώ μιγαδικοί ) προηγείται ο Ορισμός Ισότητας καί έπονται οί Ορισμοί Πράξεων επί τών αντικειμένων. Εδώ ποιός είναι ο ορισμός ισότητας πού θάπρεπε νά προηγείται ;

Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Re: Ισότητα μιγαδικών(Χρήσιμη απόδειξη)

Μέλη σε σύνδεση