υπάρχει ξ

dennys · #1

Έστω μια συνάρτηση

συνεχής στο [a,b]

,

φορές παραγωγίσιμη στο (a,b)

και σε

διαφορετικά σημεία του [a,b]

, η συνάρτηση

παίρνει την ίδια τιμή. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο $\rho\in (a,b):f^{(n)}(\rho)=0$ .

Φιλικά

dennys

Edit από Γενικούς Συντονιστές

#2

Κλασική άσκηση στο θ. Rolle γενίκευση όλων αυτών (των ανούσιων για μένα) με τις οποίες ασχολούνται οι μαθητές.

Ανάμεσα σε δύο ίσες τιμές της

υπάρχει ρίζα της

.

Συνεπώς οι n+1

ίσες τιμές της

ορίζουν

διαστήματα σε κάθε ένα από τα οποία υπάρχει ρίζα της

.

Στα

διαστήματα που ορίζουν οι

ρίζες της

υπάρχουν

ρίζες της

. Συνεχίζοντας όμοια βρίσκουμε n-2

ρίζες της

κ.ο.κ. και τελικά 1 ρίζα της f^(n)

, όπως θέλαμε.

Αλέξανδρος

dennys · #3

Εχω κάποια χρόνια που έπαψα να είμαι μαθητής ,αλλά σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια .

Διονυσης

#4

Προσπερνώ το ειρωνικό σχόλιο (γνωρίζω ότι δεν είσαι μαθητής) για να πω ότι δεν έχω κάτι με αυτού του είδους τις ασκήσεις. Το ότι βλέποντάς τις ένας μαθητής μία μόνο φορά λύνει όλες τις ανάλογες ασκήσεις, λέει πολλά για αυτή την κατηγορία ασκήσεων. Πράγματι όμως την πρώτη φορά που θα την δεις, θα κοντοσταθείς...

Άλλη μία ίδιου βεληνεκούς:

Αν η

είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$ και $k_1,k_2, \ldots, k_n\in\mathbb{R}$ να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n$

ώστε

$k_1f'(\xi_1)+k_2f'(\xi_2)+\cdots + k_nf'(\xi_n)=\left(k_1+k_2+\cdots + k_n\right)\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$

Αλέξανδρος

dennys · #5

κύριε CRETANMAN ,

μήπως πρέπει να βάλετε παραγώγους στο α΄μέλος?

#6

Έχεις δίκιο! Έκανα τη διόρθωση.

Αλέξανδρος

υπάρχει ξ

υπάρχει ξ

Re: υπάρχει ξ .

Re: υπάρχει ξ .

Re: υπάρχει ξ .

Re: υπάρχει ξ .

Re: υπάρχει ξ .

Μέλη σε σύνδεση