Ελάχιστη-Μέγιστη απόσταση μιγαδικών

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

ΑΣΚΗΣΗ
α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $\displaystyle{ z,\,w }$ για τους οποίους ισχύουν $\displaystyle{ \,\left| z \right|^2 = z + \bar z }$ και $\displaystyle{ z \cdot w\, = - 1 }$ .
β. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή και την μέγιστη τιμή του $\displaystyle{ \,\left| {z - w} \right| }$ και τους μιγαδικούς $\displaystyle{ z,\,w }$ για τους οποίους επιτυγχάνεται η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή.

Ν.Ζανταρίδης

dennys · #2

Αν θέσουμε $z=x+yi,x,y\in \mathbb R , x^{2}+y^{2}=2x,x\ge 0\Rightarrow x^{2}-2x+1+y^{2}=1\Rightarrow$

$(x-1)^{2}+y^{2}=1$

δηλ . |z-1|=1

αρα η εικόνα του κινείται στο κύκλο με κέντρο $K(1,0), \rho=1$

Η δεύτερη σχέση για $z,w\neq 0$ θα έχουμε

$z\cdot w=-1\Rightarrow z=\cfrac{-1}{w}\Rightarrow |\cfrac{-1}{w}-1|=1\Rightarrow |w+1|=|w|\Rightarrow x=\cfrac{-1}{2}$

δηλ η εικόνα του w κινείται στην ευθεία $x=\cfrac{-1}{2}$

2) Eπειδή οι μιγαδικοί είναι δεμένοι το σχήμα δεν μας δίνει σωστά αποτελέσματα ουτε η τριγωνικη .Αρα

Mε παρατήρηση είναι $|z-w|_{max}=2,5,$ , που πετυχαίνεται για z=2+0i, w=-1/2+0i

Εχουμε μιλησει πολύ για γ.τ . εξαρτώμενων μιγαδικών απο μια σχέση , αρα

$|z-w|=|z-(-1/z)|=|z+1/z|,z=x+yi\Rightarrow .......d(x)=\sqrt{4x+\frac{1}{2x}-2}$ το οπoίο μελετάω σαν συνάρτηση

και βρίσκω ελάχιστη τιμή για $x=\cfrac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow |z-w|_{min}=\sqrt{2(\sqrt{2}-1})$ κλπ

Ελάχιστη-Μέγιστη απόσταση μιγαδικών

Ελάχιστη-Μέγιστη απόσταση μιγαδικών

Re: Ελάχιστη-Μέγιστη απόσταση μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση