Σταθερή

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ που ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{ f'(x)f(x) = 0 }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in R }$ . Να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{ f }$ είναι σταθερή.

Πολυτεχνείο ΣΕΜΦΕ

Giorgos S · #2

Από τη σχέση f'(x)f(x)=0

προκύπτει ότι: f'(x)=0

(άρα και

) ή

, δηλαδή σε κάθε περίπτωση η

είναι σταθερή.

Σ. Διονύσης · #3

$2f'(x)f(x)=0\Leftrightarrow f(x)^{2}=c , c\geq 0$ Άρα $f(x)=\sqrt{c} \; , \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f(x)=-\sqrt{c}\; , \forall x\in\mathbb{R}$ αφού οποιαδήποτε άλλη συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη $\forall x$

#4

$\displaystyle{f(x)f'(x)=0\implies 3f^2(x)f'(x)=0\implies (f^3(x))'=0\implies f^3(x)=c\implies f(x) \text{\gr σταθερά}.}$ Αυτές ικανοποιούν την αρχική συνθήκη.

kostas_zervos · #5

$f'(x)\cdot f(x)=0 \iff 2f'(x)\cdot f(x)=0 \iff \left(f^2(x)\right)'=0 \iff$
$\iff f^2(x)=c\;,\;c\geq 0$ .

Αν υπάρχει $x_0\in R$ ώστε f(x_0)=0

, τότε

, άρα

, επομένως $f^2(x)=0 \iff f(x)=0$ .

Αν $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in R$ , τότε η

διατηρεί σταθερό πρόσημο (αφού είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη) , άρα $f(x)=\sqrt{c}$ για κάθε $x\in R$ ή $f(x)=-\sqrt{c}$ για κάθε $x\in R$ .

Επομένως

σταθερή σε κάθε περίπτωση.

Σ. Διονύσης · #6

$f'(x)f(x)=0\Rightarrow vf'(x)f(x)^{v-1}=0\Rightarrow f(x)^{v}=c\Rightarrow f(x)=\pm c^{\frac{1}{v}}$ που ικανοποιούν την αρχική.
αφού η

είναι παραγωγίσιμη $\forall x$ με v={2k+1}

με $k\in\mathbb{N}$

#7

Σ. Διονύσης έγραψε:Αλλιώς:

$2f'(x)f(x)=0\Leftrightarrow f(x)^{2}=c , c>0$ Άρα $f(x)=\mathop \pm\sqrt{c}$

Όπως εδώ, έτσι και στην παραπάνω δημοσίευση, υπάρχει ένα μικρό θέμα με την περίπτωση των άρτιων εκθετών.
Χρειάζεται προσοχή! Δες π.χ. τη συνάρτηση

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases}1,~x\geq 0, \\ -1, ~x<0\end{cases}}$ .

Ενώ ισχύει $\displaystyle{f^2(x)=1}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ , εντούτοις η συνάρτηση δεν είναι σταθερή.

Giorgos S · #8

Έστω ότι η

δεν είναι σταθερή.

Τότε και $f'(x) \neq 0$

Επομένως από τη δοθείσα σχέση προκύπτει ότι: $f(x)=0 \Rightarrow f(x)=c, x \in R$ , άτοπο.

Άρα η

είναι σταθερή.

kostas_zervos · #9

Διονύση πρόσεξε : δεν ισχύει γενικά ότι

Αν $f^2(x)=g(x)\geq 0$ , τότε $f(x)=\pm\sqrt{g(x)}$ (και γενικότερα για άρτιο εκθέτη).

π.χ. $f(x)=\begin{cases}\sqrt{g(x)}\;,\;x>500\\-\sqrt{g(x)}\;,\x\leq 500\end{cases}$ .

ή π.χ. Αν f^2(x)=x^2

, τότε υπάρχουν τέσσερις συνεχείς συναρτήσεις οι $f(x)=x\;,\;f(x)=-x\;,\;f(x)=|x|\;,\;f(x)=-|x|$ και άπειρες μη συνεχείς που την ικανοποιούν.

kostas_zervos · #10

Giorgos S έγραψε:Έστω ότι η δεν είναι σταθερή.

Τότε και $f'(x) \neq 0$

Επομένως από τη δοθείσα σχέση προκύπτει ότι: $f(x)=0 \Rightarrow f(x)=c, x \in R$ , άτοπο.

Άρα η είναι σταθερή.

Το ότι δεν είναι σταθερή δεν σημαίνει ότι $f'(x)\neq 0$ για κάθε $x\in R$ . π.χ. η f(x)=x^2

που δεν είναι σταθερή , αλλά f'(0)=0

Σ. Διονύσης · #11

matha έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Αλλιώς:

$2f'(x)f(x)=0\Leftrightarrow f(x)^{2}=c , c>0$ Άρα $f(x)=\mathop \pm\sqrt{c}$
Όπως εδώ, έτσι και στην παραπάνω δημοσίευση, υπάρχει ένα μικρό θέμα με την περίπτωση των άρτιων εκθετών.
Χρειάζεται προσοχή! Δες π.χ. τη συνάρτηση

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases}1,~x\geq 0, \\ -1, ~x<0\end{cases}}$ .

Ενώ ισχύει $\displaystyle{f^2(x)=1}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ , εντούτοις η συνάρτηση δεν είναι σταθερή.

Aυτή όμως είναι παρ\μη στο

?

#12

Σ. Διονύσης έγραψε:
matha έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Αλλιώς:

$2f'(x)f(x)=0\Leftrightarrow f(x)^{2}=c , c>0$ Άρα $f(x)=\mathop \pm\sqrt{c}$
Όπως εδώ, έτσι και στην παραπάνω δημοσίευση, υπάρχει ένα μικρό θέμα με την περίπτωση των άρτιων εκθετών.
Χρειάζεται προσοχή! Δες π.χ. τη συνάρτηση

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases}1,~x\geq 0, \\ -1, ~x<0\end{cases}}$ .

Ενώ ισχύει $\displaystyle{f^2(x)=1}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ , εντούτοις η συνάρτηση δεν είναι σταθερή.
Aυτή όμως είναι παρ\μη στο ?

Όχι. Πώς όμως πηγαίνεις από την $\displaystyle{f^2(x)=c}$ στη σχέση $\displaystyle{f(x)=\pm \sqrt{c}.}$ Δε δείχνεις πως χρησιμοποιείς την παραγωγισιμότητα.

Σ. Διονύσης · #13

kostas_zervos έγραψε:Διονύση πρόσεξε : δεν ισχύει γενικά ότι

Αν $f^2(x)=g(x)\geq 0$ , τότε $f(x)=\pm\sqrt{g(x)}$ (και γενικότερα για άρτιο εκθέτη).

π.χ. $f(x)=\begin{cases}\sqrt{g(x)}\;,\;x>500\\-\sqrt{g(x)}\;,\x\leq 500\end{cases}$ .

ή π.χ. Αν , τότε υπάρχουν τέσσερις συνεχείς συναρτήσεις οι $f(x)=x\;,\;f(x)=-x\;,\;f(x)=|x|\;,\;f(x)=-|x|$ και άπειρες μη συνεχείς που την ικανοποιούν.

Συμφωνώ απόλυτα.Αλλά εδώ η

είναι σταθερή και πρέπει να είναι και παραγωγίσιμη.

kostas_zervos · #14

Σ. Διονύσης έγραψε:
kostas_zervos έγραψε:Διονύση πρόσεξε : δεν ισχύει γενικά ότι

Αν $f^2(x)=g(x)\geq 0$ , τότε $f(x)=\pm\sqrt{g(x)}$ (και γενικότερα για άρτιο εκθέτη).

π.χ. $f(x)=\begin{cases}\sqrt{g(x)}\;,\;x>500\\-\sqrt{g(x)}\;,\x\leq 500\end{cases}$ .

ή π.χ. Αν , τότε υπάρχουν τέσσερις συνεχείς συναρτήσεις οι $f(x)=x\;,\;f(x)=-x\;,\;f(x)=|x|\;,\;f(x)=-|x|$ και άπειρες μη συνεχείς που την ικανοποιούν.
Συμφωνώ απόλυτα.Αλλά εδώ η είναι σταθερή και πρέπει να είναι και παραγωγίσιμη.

Σωστά δεν υπάρχει περίπτωση εδώ να μην είναι κάποια από τις $\pm\sqrt{c}$ , αλλά πρέπει να το αποδείξεις (όπως π.χ. τη λύση που έστειλα εγώ):

kostas_zervos έγραψε: $f'(x)\cdot f(x)=0 \iff 2f'(x)\cdot f(x)=0 \iff \left(f^2(x)\right)'=0 \iff$
$\iff f^2(x)=c\;,\;c\geq 0$ .

Αν υπάρχει $x_0\in R$ ώστε , τότε , άρα , επομένως $f^2(x)=0 \iff f(x)=0$ .

Αν $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in R$ , τότε η διατηρεί σταθερό πρόσημο (αφού είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη) , άρα $f(x)=\sqrt{c}$ για κάθε $x\in R$ ή $f(x)=-\sqrt{c}$ για κάθε $x\in R$ .

Επομένως σταθερή σε κάθε περίπτωση.

Giorgos S · #15

kostas_zervos έγραψε:
Giorgos S έγραψε:Έστω ότι η δεν είναι σταθερή.

Τότε και $f'(x) \neq 0$

Επομένως από τη δοθείσα σχέση προκύπτει ότι: $f(x)=0 \Rightarrow f(x)=c, x \in R$ , άτοπο.

Άρα η είναι σταθερή.
Το ότι δεν είναι σταθερή δεν σημαίνει ότι $f'(x)\neq 0$ για κάθε $x\in R$ . π.χ. η που δεν είναι σταθερή , αλλά

η πρώτη λύση που έστειλα είναι σωστή; (πρώτη δημοσίευση)

Σ. Διονύσης · #16

Λίγο εκτός ύλης.
Μπορούμε να δείξουμε ότι δεν είναι και η:

$\displaystyle{ sgn(x) =\begin{cases} 1, \, \, x>0\\ 0, \,\, x=0 \\ -1, \,\, x<0 \end{cases}$

#17

Giorgos S έγραψε:
kostas_zervos έγραψε:
Giorgos S έγραψε:Έστω ότι η δεν είναι σταθερή.

Τότε και $f'(x) \neq 0$

Επομένως από τη δοθείσα σχέση προκύπτει ότι: $f(x)=0 \Rightarrow f(x)=c, x \in R$ , άτοπο.

Άρα η είναι σταθερή.
Το ότι δεν είναι σταθερή δεν σημαίνει ότι $f'(x)\neq 0$ για κάθε $x\in R$ . π.χ. η που δεν είναι σταθερή , αλλά

η πρώτη λύση που έστειλα είναι σωστή; (πρώτη δημοσίευση)

Γιώργο, όχι. Η δημοσίευσή σου, όπως και του Διονύση (ακόμα και μετά την επεξεργασία που έκανε) εξακολουθούν να είναι λανθασμένες.

#18

Σ. Διονύσης έγραψε:Λίγο εκτός ύλης.
Μπορούμε να δείξουμε ότι δεν είναι και η:

$\displaystyle{ sgn(x) =\begin{cases} 1, \, \, x>0\\ 0, \,\, x=0 \\ -1, \,\, x<0 \end{cases}$

Η $\displaystyle{sgn (x)}$ δεν είναι παντού παραγωγίσιμη!

Σ. Διονύσης · #19

matha έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Λίγο εκτός ύλης.
Μπορούμε να δείξουμε ότι δεν είναι και η:

$\displaystyle{ sgn(x) =\begin{cases} 1, \, \, x>0\\ 0, \,\, x=0 \\ -1, \,\, x<0 \end{cases}$
Η $\displaystyle{sgn (x)}$ δεν είναι παντού παραγωγίσιμη!

Aν λάβουμε υπόψιν και το όρια στο $\pm\infty$

εξού και το εκτός ύλης

kostas_zervos · #20

Όχι . Όταν $f(x)\cdot g(x)=0$ για κάθε $x\in R$ , τότε δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι f(x)=0

για κάθε $x\in R$ ή g(x)=0

για κάθε $x\in R$ .

π.χ. $f(x)=\begin{cases}x^2\;,\;x\geq 0\\0\;,\;x<0\end{cases}$ και $g(x)=\begin{cases}0\;,\;x\geq 0\\x^2\;,\;x<0\end{cases}$ , όπου ισχύει ότι $f(x)\cdot g(x)=0$ για κάθε $x\in R$ .

ή (άλλο ένα παράδειγμα) $f(x)=x-|x|\;,\;g(x)=x+|x|$ για βρες την $f(x)\cdot g(x)$ .

Στην περίπτωσή μας επειδή η

είναι παραγωγίσιμη και με τις δικαιολογήσεις που χρειάζονται μπορεί να αποδειχτεί ότι τελικά θα είναι f(x)=0

ή

, αλλά χρειάζεται μια δικαιολόγηση σαν και αυτή που έστειλα εγώ ή ο matha.

Σταθερή

Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Re: Σταθερή

Μέλη σε σύνδεση