Σταθερό σημεῖο

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Δείξατε ὅτι ὑπάρχει συνεχής συνάρτηση $f: [0,1]\to\mathbb R$ , ὥστε

$\displaystyle{ f(x) \,=\, \int_0^1 \sin \big(x+f^2(t)\big)\,dt, }$

διά κάθε $x\in [0,1]$ .

#2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Δείξατε ὅτι ὑπάρχει συνεχής συνάρτηση $f: [0,1]\to\mathbb R$ , ὥστε

$\displaystyle{ f(x) \,=\, \int_0^1 \sin \big(x+f^2(t)\big)\,dt, }$

διά κάθε $x\in [0,1]$ .

Γιώργο,

ουπσσσσ, λάθος. Το σβήνω αλλά βλέπε παρακάτω. Ελπίζω αυτή τη φορά σωστό.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. Δυστυχώς δεν θα έρθω στον Αγρό όταν θα είσαι και εσύ: Έχω τρία συνεχόμενα Θερινά Σχολεία εκείνο τον καιρό (Αθήνα, Καλαμάτα, Ρόδο) με παιδάκια 11-14 ετών. Από σύμπτωση θα είμαι στον Αγρό από 19 έως 25 Ιουλίου, για κάτι σεμινάρια προς Καθηγητές που διδάσκω.

Επίσης, ευχαριστώ ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ για το εξαιρετικό βιβλίο σου που μου έστειλες. Είναι εξαιρετικό με όλη τη σημασία της λέξης. Ευχαριστώ.

Edit: Έσβησα την "λύση"

#3

Μιχάλη, ολοκλήρωσες ως προς

αντί ως προς

. Για σταθερή συνάρτηση θα ήθελες

ώστε $c = \sin(x+c^2)$ για κάθε $x \in [0,1]$ το οποίο ασφαλώς δεν μπορεί να συμβεί.

Υποψιάζομαι πως λύνεται με contraction mapping theorem. Θα ελέγξω αργότερα (ίσως όχι σήμερα) αυτό που σκέφτηκα και αν δουλεύει πράγματι θα το γράψω.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #4

Τήν ἄσκηση αὐτή τήν βρῆκα στό βιβλίο τοῦ Rudin, Functional Analysis, μέ ὑπόδειξη προτρέπουσα τήν χρήση τοῦ Schauder Fixed Point Theorem. Λύνεται ὅμως καί στοιχειωδέστερα (ἀλλά κάποιο Fixed Point Theorem ὅλο καί θά χρειαστεῖ...)

#5

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Δείξατε ὅτι ὑπάρχει συνεχής συνάρτηση $f: [0,1]\to\mathbb R$ , ὥστε

$\displaystyle{ f(x) \,=\, \int_0^1 \sin \big(x+f^2(t)\big)\,dt, }$

διά κάθε $x\in [0,1]$ .

Ωωωω, την πάτησα σαν πρωτάρης. Μόλις είχα γυρίσει από αεροπορικό ταξίδι μετά από το Θερινό Σχολείο που δίδασκα την Θεσσαλονίκη.

Διορθώνω για να ... συγχωρεθώ.

Εξετάζουμε τον διανυσματικό χώρο

των συνεχών συναρτήσεων στο [0, 1]

που παράγονται από τις $\sin (.), \, \cos (.)$ με την $||.||_{\infty}$ .

Ορίζουμε

$T : K \rightarrow C [0, 1], \, (Tf)(x) = \int_0^1 \sin \big(x+f^2(t)\big)\,dt$ . Εύκολα βλέπουμε ότι η

είναι συνεχής.

Επίσης, επειδή

$\displaystyle \int_0^1 \sin \big(x+f^2(t)\big)\,dt= \left (\int_0^1 \cos f^2(t)\,dt \right) \sin x + \left (\int_0^1 \sin f^2(t)\,dt \right) \cos x$

$\displaystyle {= a\sin x + b\cos x$ .

έχουμε ότι $Tf \in K$ .

Ας παρατηρηθεί ακόμη ότι $|a|\le 1, \, |b|\le 1$ οπότε
$\displaystyle{ ||Tf||_{\infty} = ||a \sin (.) + b \cos (.)||_{\infty}= \sqrt {a^2+b^2} \le \sqrt 2 }$ (ίσον κλειστό και φραγμένο υποσύνολο χώρου πεπερασμένης διάστασης).

Έπεται ότι η εικόνα της

είναι υποσύνολο συμπαγούς υποσυνόλου του

. Από θεώρημα σταθερού σημείου του Schauder, η

έχει σταθερό σημείο, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#6

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: Λύνεται ὅμως καί στοιχειωδέστερα (ἀλλά κάποιο Fixed Point Theorem ὅλο καί θά χρειαστεῖ...)

Συμφωνούμε. Θα δώσω μόνο υπόδειξη κατά παράβαση του κανονισμού. Aν χρειαστεί (που δεν θα χρειαστεί) θα γράψω πλήρη λύση.

Μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχει τέτοια

της μορφής $f(x)=a\sin x + b \cos x$ . Δηλαδή θέλουμε

$\displaystyle{a\sin x + b \cos x = \left (\int _0^1 \cos \left (( a\sin t + b \cos t)^2\right) \, dt\right) \sin x + \left (\int _0^1 \sin \left (( a\sin t + b \sin t)^2\right)\, dt\right) \cos x}$ .

Ισοδύναμα

$\displaystyle{ a= \int _0^1 \cos \left (( a\sin t + b \cos t)^2\right) \, dt$ και συγχρόνως

$\displaystyle{ b=\int _0^1 \sin \left (( a\sin t + b \sin t)^2\right)\, dt \right) }$

Φιλικά,

Μιχάλης

Γ.-Σ. Σμυρλής · #7

Ἤ γιά νά ἀποφύγουμε χρήση Θεωρήματος τῆς Συναρτησιακῆς Ἀναλύσεως, περιοριζόμενοι στήν χρήση του Brouwer's Fixed Point Theorem:

Ἔστω $F: [-1,1]^2\to [-1,1]^2$ μέ τύπο f(a,b)=(A,B)

, ὅπου

$\displaystyle{ (a,b) \quad\longrightarrow\quad f(x)=a\cos x+b\sin x \quad\longrightarrow\quad \int_0^1 \sin\big(x+f^2(t)\big)\,dt\,=\, A\cos x+B\sin x, }$

μέ

$\displaystyle{ A\,=\,\int_0^1 \sin\big(f^2(t)\big)\,dt \quad\&\quad B\,=\,\int_0^1 \cos\big(f^2(t)\big)\,dt. }$

Ἡ

εἶναι συνεχής, καί συνεπῶς ἔχει σταθερό σημεῖο, χάριν τοῦ Brouwer's Fixed Point Theorem.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #8

Λέω τό ἴδιο πράγμα μέ τόν Μιχάλη, καί τά σχόλιά μας ἐμφανίστηκαν σχεδόν ταυτόχρονα!

#9

Τελικά δεν μου βγήκε με το contraction mapping theorem.

[Θα μου έβγαινε στην περίπτωση που το μήκος του διαστήματος ολοκλήρωσης ήταν μικρότερο του 1/2

.]

Όμορφες οι λύσεις που δόθηκαν. (Δεν γνώριζα το Schauder fixed point theorem.)

Γ.-Σ. Σμυρλής · #10

Σημείωση. Τό Schauder FPT λέγει ὅτι:

Ἔστω χῶρος Banach γενικότερα χῶρος Fréchet $K\subset X$ συμπαγές καί κυρτό. Ἄν $T:K\to K$ συνεχής, τότε ἡ ἔχει σταθερό σημεῖο.

Στήν συγκεκριμένη ἄσκηση τό

εἶναι ἡ κλειστή θήκη τῆς κυρτῆς θήκης τοῦ συνόλου $L=\{Tf: f\in \mathrm{C}[0,1]\}$ , ὅπου

$\displaystyle{ (Tf)(x) \,=\, \int_0^1 \sin\big(x+f^2(t)\big)\,dt. }$

Τό

εἶναι συμπαγές συνεπεία τοῦ Arzelà–Ascoli (διότι $f\in L\Rightarrow |f'|\le 1$ ),καί τό

εἶναι συμπαγές ὡς κλειστή θήκη τῆς κυρτῆς θήκης συμπαγοῦς (nontrivial!).

Σταθερό σημεῖο

Σταθερό σημεῖο

Re: Σταθερό σημεῖο

Re: Σταθερό σημεῖο

Re: Σταθερό σημεῖο

Re: Σταθερό σημεῖο

Re: Σταθερό σημεῖο

Re: Σταθερό σημεῖο

Re: Σταθερό σημεῖο

Re: Σταθερό σημεῖο

Re: Σταθερό σημεῖο

Μέλη σε σύνδεση