Γωνία θ και δυνάμεις του 2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Να αποδειχθεί η σχέση

$\displaystyle{ (2\sigma \upsilon \nu \theta - 1) \cdot (2\sigma \upsilon \nu 2\theta - 1) \cdot (2\sigma \upsilon \nu 4\theta - 1)... \cdot [2\sigma \upsilon \nu (2^{\nu - 1} \theta ) - 1] = \frac{{2\sigma \upsilon \nu (2^\nu \theta ) + 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}} }$

ΕDIT διόρθωσα το παρονομαστή στο δεξιό μέλος της σχέσης σε $\displaystyle{ \sigma \upsilon \nu \theta }$
σε αντικατάσταση του $\displaystyle{ \sigma \upsilon \nu ^\nu \theta }$

Σας ευχαριστώ για την επισήμανση και ζητώ συγγνώμη Γιώργο που σε έκανα να αμφιβάλλεις για τις τριγωνομετρικές σου ικανότητες.

#2

Καλημέρα.

Κάτι δεν βλέπω σωστά. Χάνω μια δύναμη από τον παρονομαστή.

Για να έχει νόημα η σχέση πρέπει $\displaystyle\sigma \upsilon {\nu ^\nu }\theta \ne - \frac{1}{2}$

Για $\displaystyle\nu = 1$ η σχέση γράφεται $\displaystyle2\sigma \upsilon \nu \theta - 1 = \frac{{2\sigma \upsilon \nu \left( {2\theta } \right) + 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}} \Leftrightarrow 4\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta - 1 = 2\left( {2\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta - 1} \right) + 1$ , που ισχύει

Έστω ότι ισχύει για $\displaystyle\nu$ ,

δηλαδή $\displaystyle(2\sigma \upsilon \nu \theta - 1)\cdot(2\sigma \upsilon \nu 2\theta - 1)\cdot(2\sigma \upsilon \nu 4\theta - 1)...\cdot[2\sigma \upsilon \nu ({2^{\nu - 1}}\theta ) - 1] = \frac{{2\sigma \upsilon \nu ({2^\nu }\theta ) + 1}}{{2\sigma \upsilon {\nu ^\nu }\theta + 1}}$

Πρέπει να αποδείξουμε ότι ισχύει και για $\displaystyle\nu + 1$ ,

δηλαδή $\displaystyle(2\sigma \upsilon \nu \theta - 1)\cdot(2\sigma \upsilon \nu 2\theta - 1)\cdot(2\sigma \upsilon \nu 4\theta - 1)...\cdot\left[ {2\sigma \upsilon \nu ({2^{\nu - 1}}\theta ) - 1} \right] \cdot \left[ {2\sigma \upsilon \nu ({2^\nu }\theta ) - 1} \right] =$

$\displaystyle = \frac{{2\sigma \upsilon \nu ({2^{\nu + 1}}\theta ) + 1}}{{2\sigma \upsilon {\nu ^{\nu + 1}}\theta + 1}}$

Είναι
$\displaystyle(2\sigma \upsilon \nu \theta - 1)\cdot(2\sigma \upsilon \nu 2\theta - 1)\cdot(2\sigma \upsilon \nu 4\theta - 1)...\cdot\left[ {2\sigma \upsilon \nu ({2^{\nu - 1}}\theta ) - 1} \right] \cdot \left[ {2\sigma \upsilon \nu ({2^\nu }\theta ) - 1} \right] =$

$\displaystyle = \frac{{2\sigma \upsilon \nu ({2^\nu }\theta ) + 1}}{{2\sigma \upsilon {\nu ^\nu }\theta + 1}} \cdot \left[ {2\sigma \upsilon \nu ({2^\nu }\theta ) - 1} \right] = \frac{{{{\left( {2\sigma \upsilon \nu ({2^\nu }\theta )} \right)}^2} - 1}}{{2\sigma \upsilon {\nu ^\nu }\theta + 1}} = \frac{{\left( {4\sigma \upsilon {\nu ^2}({2^\nu }\theta )} \right) - 1}}{{2\sigma \upsilon {\nu ^\nu }\theta + 1}} =$

$\displaystyle = \frac{{2\left( {\sigma \upsilon \nu 2({2^\nu }\theta ) + 1} \right) - 1}}{{2\sigma \upsilon {\nu ^\nu }\theta + 1}} = \frac{{2\sigma \upsilon \nu ({2^{\nu + 1}}\theta ) + 1}}{{2\sigma \upsilon {\nu ^\nu }\theta + 1}}$

Επειδή δεν αποδεικνύω τη σχέση, έκανα μια δοκιμή για $\displaystyle\theta = \frac{\pi }{4}$ και $\displaystyle\nu = 2$

οπότε το πρώτο μέλος είναι $\displaystyle\left( {2\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{4} - 1} \right)\left( {2\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{2} - 1} \right) = \left( {2\frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1} \right)\left( { - 1} \right) = 1 - \sqrt 2$

και το δεύτερο είναι $\displaystyle\frac{{2\sigma \upsilon \nu \left( {4 \cdot \frac{\pi }{4}} \right) + 1}}{{2\sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{\pi }{4} + 1}} = \frac{{ - 2 + 1}}{{2{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{ - 1}}{2}$

Έχω κάνει σε κάποια σημεία λάθος;

#3

Η δύναμη του

στον παρονομαστή είναι τυπογραφικό. Χωρίς αυτήν η σχέση είναι ορθή. (Για εκείνα τα

που έχει νόημα.)

#4

Στράτο, κανένα πρόβλημα! Εγώ έπρεπε να εντοπίσω τον περιττό εκθέτη. Ευχαριστώ τον Δημήτρη γι' αυτό.

Ας δώσω διορθωμένη την απάντηση στην ωραία άσκησή σου.

Απ' την άλλη, το να λύνουμε ασκήσεις σε φάκελο με τίτλο διαγωνισμό για διορισμούς τις μέρες που ζούμε, υποδηλώνει ότι έχουμε τεράστια αποθέματα αισιοδοξίας για να μην πω άγνοια κινδύνου...
Ας μείνουν παρακαταθήκη για τις καλύτερες μέρες που θα 'ρθουν με τον δικό μας αγώνα!

Για να έχει νόημα η σχέση πρέπει $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta \ne - \frac{1}{2}$

Για $\displaystyle \nu = 1$ η σχέση γράφεται $\displaystyle 2\sigma \upsilon \nu \theta - 1 = \frac{{2\sigma \upsilon \nu \left( {2\theta } \right) + 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}} \Leftrightarrow 4\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta - 1 = 2\left( {2\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta - 1} \right) + 1$ , που ισχύει

Έστω ότι ισχύει για $\displaystyle \nu$ ,

δηλαδή $\displaystyle (2\sigma \upsilon \nu \theta - 1)\cdot(2\sigma \upsilon \nu 2\theta - 1)\cdot(2\sigma \upsilon \nu 4\theta - 1)...\cdot[2\sigma \upsilon \nu ({2^{\nu - 1}}\theta ) - 1] = \frac{{2\sigma \upsilon \nu ({2^\nu }\theta ) + 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}}$

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για $\displaystyle \nu + 1$ ,

δηλαδή $\displaystyle (2\sigma \upsilon \nu \theta - 1)\cdot(2\sigma \upsilon \nu 2\theta - 1)\cdot(2\sigma \upsilon \nu 4\theta - 1)...\cdot\left[ {2\sigma \upsilon \nu ({2^{\nu - 1}}\theta ) - 1} \right] \cdot \left[ {2\sigma \upsilon \nu ({2^\nu }\theta ) - 1} \right] =$

$\displaystyle = \frac{{2\sigma \upsilon \nu ({2^{\nu + 1}}\theta ) + 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}}$

Πράγματι, είναι $\displaystyle (2\sigma \upsilon \nu \theta - 1)\cdot(2\sigma \upsilon \nu 2\theta - 1)\cdot(2\sigma \upsilon \nu 4\theta - 1)...\cdot\left[ {2\sigma \upsilon \nu ({2^{\nu - 1}}\theta ) - 1} \right] \cdot \left[ {2\sigma \upsilon \nu ({2^\nu }\theta ) - 1} \right] =$

$\displaystyle = \frac{{2\sigma \upsilon \nu ({2^\nu }\theta ) + 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}} \cdot \left[ {2\sigma \upsilon \nu ({2^\nu }\theta ) - 1} \right] = \frac{{{{\left( {2\sigma \upsilon \nu ({2^\nu }\theta )} \right)}^2} - 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}} = \frac{{\left( {4\sigma \upsilon {\nu ^2}({2^\nu }\theta )} \right) - 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}} =$

$\displaystyle = \frac{{2\left( {\sigma \upsilon \nu 2({2^\nu }\theta ) + 1} \right) - 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}} = \frac{{2\sigma \upsilon \nu ({2^{\nu + 1}}\theta ) + 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}}$ , που ισχύει.

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Να αποδειχθεί η σχέση

$\displaystyle{ (2\sigma \upsilon \nu \theta - 1) \cdot (2\sigma \upsilon \nu 2\theta - 1) \cdot (2\sigma \upsilon \nu 4\theta - 1)... \cdot [2\sigma \upsilon \nu (2^{\nu - 1} \theta ) - 1] = \frac{{2\sigma \upsilon \nu (2^\nu \theta ) + 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}} }$

Αλλιώς:

Η απόδειξη είναι άμεση, παρατηρώντας ότι

$\displaystyle{(2\cos \theta +1)(2\cos \theta -1)=2\cos 2\theta +1,}$

$\displaystyle{(2\cos 2\theta +1)(2\cos 2\theta -1)=2\cos 4\theta +1,}$
.
.
.
$\displaystyle{(2\cos 2^{n-1}\theta +1)(2\cos 2^{n-1}\theta -1)=2\cos 2^n\theta +1.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #6

Γιώργο για να είμαι ειλικρινής αυτή την άσκηση την προόριζα για την Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου. Έλα όμως που έχουν τεθεί εκτός ύλης οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του διπλασίου τόξου...τι να μάθουν τα παιδιά από τριγωνομετρία αναρωτιέμαι , την έχουν τόσο κουτσουρέψει την ύλη που δεν πάει άλλο. Όσο για διαγωνισμούς σε εποχές μνημονίου αδύνατο, αλλά η ελπίδα και η αγάπη για τα μαθηματικά με κρατούν ζωντανό!
όσο για την λύση που έχω( με πρόλαβε ο Θάνος) προσπαθώ σε κάθε παράγοντα του γινομένου του α΄ μέλους να το εμφανίσω ως κλάσμα σε συνάρτηση με την διπλάσια γωνία.Δηλ

$\displaystyle{ 2\sigma \upsilon \nu \theta - 1 = \frac{{4\sigma \upsilon \nu ^2 \theta - 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}} = \frac{{2(1 + \sigma \upsilon \nu 2\theta ) - 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}} = \frac{{2\sigma \upsilon \nu 2\theta + 1}}{{2\sigma \upsilon \nu \theta + 1}} }$

Όμοια $\displaystyle{ \begin{array}{l} 2\sigma \upsilon \nu 2\theta - 1 = \frac{{2\sigma \upsilon \nu 4\theta + 1}}{{2\sigma \upsilon \nu 2\theta + 1}} \\ \\ 2\sigma \upsilon \nu 4\theta - 1 = \frac{{2\sigma \upsilon \nu 8\theta + 1}}{{2\sigma \upsilon \nu 4\theta + 1}} \\ \end{array} }$

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες και μετά τις απλοποιήσεις προκύπτει το ζητούμενο.

Γωνία θ και δυνάμεις του 2

Γωνία θ και δυνάμεις του 2

Re: Γωνία θ και δυνάμεις του 2

Re: Γωνία θ και δυνάμεις του 2

Re: Γωνία θ και δυνάμεις του 2

Re: Γωνία θ και δυνάμεις του 2

Re: Γωνία θ και δυνάμεις του 2

Μέλη σε σύνδεση