Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

parmenides51 · #1

1. α) Δίνεται το σύστημα $\left( \Sigma \right):\left\{ \begin{matrix} & {{\alpha }_{1}}x={{\beta }_{1}} \\ & {{\alpha }_{2}}x={{\beta }_{2}} \\ \end{matrix} \right}$ με ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}$ πραγματικούς αριθμούς.
i) Να αποδειχθεί ότι αν το σύστημα $\displaystyle{( \Sigma )}$ είναι συμβιβαστό τότε ${{\alpha }_{1}}{{\beta }_{2}}-{{\alpha }_{2}}{{\beta }_{1}}=0\,\,\,\,\left( \sigma \right)$
ii) Να αποδειχθεί ότι η σχέση $\displaystyle{( \sigma )}$ δεν είναι ικανή για να είναι το σύστημα $\displaystyle{( \Sigma )}$ συμβιβαστό.
β) Με την προϋπόθεση ότι ο πίνακας $\displaystyle{2x2}$ $A=\left[ \begin{matrix} {{\lambda }^{3}} & -{{\lambda }^{2}} \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} \right]$ έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός
να λυθεί για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{ \lambda}$ το σύστημα $\left\{ \begin{matrix} & 2x-\lambda y=\lambda -1 \\ & (\lambda +1)x-y=0 \\ \end{matrix} \right}$

2. α) Να αποδειχθεί ότι $\forall x\in (0,1)$ ισχύει η σχέση $1+x<{{e}^{x}}<1+e\cdot x$
β) Δίνεται η συνάρτηση f με $f(x)=\left\{ \begin{matrix} & \displaystyle {{x}^{3}}\eta \mu \frac{1}{x},x\ne 0 \\ & 0,x=0 \\ \end{matrix} \right}$
i) Να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$
ii) Να βρεθεί η παράγωγος της $\displaystyle{f}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ .

3. α) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{ f}$ με $\displaystyle{]f(x)=\frac{\,\,{{x}^{2}}}{4}(2\ln x-1)-2x(\ln x-1),\,\,x>0}$
i) Να βρεθεί η παράγωγος {f}'

της $\displaystyle{f}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$
ii) Να μελετηθεί η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β) i) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{E(t)=\int\limits_{1}^{t}{(x-2)\cdot \ln x}dx}$ για κάθε $\displaystyle{t>1}$
ii) Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\lim_{t\to +\infty }\frac{{E}'(t)}{t\ln t}}$ .

4. α) Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=\alpha {{x}^{3}}+\beta x+\gamma \,\,,x \in \mathbb{R} \,\,\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}}$ η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
$\displaystyle{\bullet}$ Η συνάρτηση $\displaystyle{ f}$ είναι περιττή
$\displaystyle{\bullet}$ Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ${{x}_{0}}=1$
$\displaystyle{\bullet}$ $\int\limits_{0}^{2}{f(x)}dx=2$
β) Η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ έχει συνεχή παράγωγο στο $\displaystyle{[0,\pi]}$ και $g(\pi )={{e}^{-\pi }}$ .
Αν $\int\limits_{0}^{\pi }{(g(x)+{g}'(x)) {{e}^{x}}}dx=2$ να βρεθεί το $\displaystyle{g(0)}$ .

Σ. Διονύσης · #2

parmenides51 έγραψε: 4. α) Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=\alpha {{x}^{3}}+\beta x+\gamma \,\,,x \in \mathbb{R} \,\,\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}}$ η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
$\displaystyle{\bullet}$ Η συνάρτηση $\displaystyle{ f}$ είναι περιττή
$\displaystyle{\bullet}$ Η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ${{x}_{0}}=1$
$\displaystyle{\bullet}$ $\int\limits_{0}^{2}{f(x)}dx=2$
β) Η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ έχει συνεχή παράγωγο στο $\displaystyle{[0,\pi]}$ και $g(\pi )={{e}^{-\pi }}$ .
Αν $\int\limits_{0}^{\pi }{(g(x)+{g}'(x)) {{e}^{x}}}dx=2$ να βρεθεί το $\displaystyle{g(0)}$ .

α) $\displaystyle{f(-x)=-f(x)\Leftrightarrow -ax^3-bx+\gamma = -ax^3-bx-\gamma\Leftrightarrow \boxed{\gamma=0}}$

$\displaystyle{f'(x)=3ax^2+b \; , \; x,a,b\in\mathbb{R}}$

Πρέπει:

$f'(1)=0\Leftrightarrow \boxed{3a=-b}$

$\displaystyle{\int_{0}^{2}\left(\frac{a}{4}x^4 + \frac{b}{2}x^2\right)'dx = 2\Leftrightarrow 2a + b = 1\Leftrightarrow \boxed{a=-1}}$ και $\displaystyle{\boxed{b=3}}$

Tελικά: $\displaystyle{f(x)=-x^3 +3x \; , \; x\in\mathbb{R}}$

β) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\pi }{\left(e^x\cdot g(x)\right)'dx=2 \Leftrightarrow e^{\pi}g(\pi) - g(0)=2\Leftrightarrow \boxed{g(0)=-1}}$

Γιώργος Απόκης · #3

3. α) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{ f}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac{\,\,{{x}^{2}}}{4}(2\ln x-1)-2x(\ln x-1),\,\,x>0}$
i) Να βρεθεί η παράγωγος {f}'

της $\displaystyle{f}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$
ii) Να μελετηθεί η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β) i) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{E(t)=\int\limits_{1}^{t}{(x-2)\cdot \ln x}dx}$ για κάθε $\displaystyle{t>1}$
ii) Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\lim_{t\to +\infty }\frac{{E}'(t)}{t\ln t}}$ .

Λύση

α) i) Έχουμε : $\displaystyle{f'(x)=\frac{x}{2}(2\ln x-1)+\frac{x^2}{4}\cdot \frac{2}{x}-2(\ln x-1)-2x\cdot \frac{1}{x}=x\ln x-\frac{x}{2}+\frac{x}{2}-2\ln x+2-2=}$

$\displaystyle{=x\ln x-2\ln x=(x-2)\ln x}$ .

ii) H παράγωγος έχει ρίζες $\displaystyle{1,~2}$ .

Για $\displaystyle{0<x<1}$ έχουμε : $\displaystyle{f'(x)>0}$ άρα η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(0,1]}$

Για $\displaystyle{1<x<2}$ έχουμε : $\displaystyle{f'(x)<0}$ άρα η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[1,2]}$

Για $\displaystyle{x>2}$ έχουμε : $\displaystyle{f'(x)>0}$ άρα η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[2,+\infty)}$ .

Eπομένως παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το $\displaystyle{f(1)=\frac{7}{4}}$ και τοπικό ελάχιστο το $\displaystyle{f(2)=3-2\ln 2}$ .

β) i) Έχουμε $\displaystyle{E(t)=\int_1^t f'(x)dx=\big[f(x)\big]_1^t=f(t)-f(1)}$

ii) Το όριο γράφεται : $\displaystyle{\lim_{t\to +\infty }\frac{f'(t)}{t\ln t}=\lim_{t\to +\infty }\frac{(t-2)\ln t}{t\ln t}=\lim_{t\to +\infty }\frac{t-2}{t}=1}$

Christos75 · #4

parmenides51 έγραψε: 2. α) Να αποδειχθεί ότι $\forall x\in (0,1)$ ισχύει η σχέση $1+x<{{e}^{x}}<1+e\cdot x$
β) Δίνεται η συνάρτηση f με $f(x)=\left\{ \begin{matrix} & \displaystyle {{x}^{3}}\eta \mu \frac{1}{x},x\ne 0 \\ & 0,x=0 \\ \end{matrix} \right}$
i) Να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$
ii) Να βρεθεί η παράγωγος της $\displaystyle{f}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ .

Λύση

α) Θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{1+x<e^{x}<1+ex}$ για κάθε $\displaystyle{x\in (0,1)}$

Είναι $\displaystyle{1+x<e^{x}<1+ex \overset{-1}{\rightarrow} x<e^{x}-1<ex\overset{0<x<1}{\rightarrow}1<\frac{e^{x}-1}{x}<e\Leftrightarrow 1<\frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}<e}$

Θεωρώ συνάρτηση $f(t)=e^{t}, 0\leq t \leq x$

Η συνάρτηση

είναι :
$\bullet$ συνεχής στο [0,x]

$\bullet$ παραγωγίσιμη στο (0,x)

Από θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) $\displaystyle{\exists \xi\in (0,x) : f'(\xi)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}}$

Επίσης, η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,x]

οπότε

για $\displaystyle{0<\xi\Leftrightarrow f'(0)<f'(\xi)}$ αφού

γνησίως αύξουσα συνάρτηση

Κατά συνέπεια, έχουμε $\displaystyle{1<\frac{e^{x}-e^{0}}{x} (1)}$

Επίσης, ισχύει ότι $\displaystyle{0<\xi<x<1\Rightarrow \xi<1\Rightarrow f'(\xi)<f'(1)\Rightarrow \frac{e^{x}-e^{0}}{x}< e (2)}$

Από (1), (2)

έχουμε ότι $\displaystyle{1<\frac{e^{x}-e^{0}}{x}<e\Leftrightarrow x<e^{x}-e^{0}<xe\Leftrightarrow 1+x<e^{x}<1+ex}$ για κάθε $x\in (0,1)$

β)
i) Μας δίνεται η δίκλαδη συνάρτηση

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{3}.sin\frac{1}{x},x\neq 0\\ 0, x=0 \end{matrix}\right}$

Θέλουμε να εξετάσουμε την παραγωγισιμότητά της. Πρωτίστως, εξετάζουμε εάν είναι συνεχής.

Οπότε, η

είναι συνεχής για κάθε $x\neq 0$ ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων

Μένει να εξετάσουμε την συνέχειά της στο

Πράγματι, $\displaystyle{\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}x^{3}.sin(\frac{1}{x}) (3)}$

Αλλά $\displaystyle{\mid x^{3}.sin(\frac{1}{x})\mid \leq \mid x^3 \mid.\mid sin(\frac{1}{x}) \mid \leq \mid x^3 \mid}$

κατά συνέπεια, $\lim_{x\to 0}\mid x^3 \mid = 0$ οπότε από γνωστό θεώρημα $\displaystyle{\lim_{x\to 0}x^{3}.sin(\frac{1}{x})=0=f(0)}$

που σημαίνει ότι η

είναι πρωτίστως συνεχής και στο $x_{0}=0$ που σημαίνει ότι η

συνεχής στο $\mathbb{R}$

Συνεπώς μπορεί να είναι και παραγωγίσιμη. Ωστόσο, εξετάζουμε την παραγωγίσιμότητά της.

$\displaystyle{f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}.sin(\frac{1}{x})-0}{x}=\lim_{x\to 0}x^{2}sin(\frac{1}{x}) = 0 \in \mathbb{R}}$

συνεπώς η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο

.

Για κάθε $x\neq 0$ η

είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

Συνεπώς η συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$

ii) Για κάθε $x\neq 0$ η παράγωγος της συνάρτησης είναι:

$\displaystyle{f'(x)=(x^{3}.sin(\frac{1}{x}))'=(x^{3})'sin(\frac{1}{x})+x^{3}(sin(\frac{1}{x}))'=3x^{2}sin(\frac{1}{x})-xcos(\frac{1}{x}), x\neq 0}$

και επίσης έχουμε αποδείξει ότι $\displaystyle{f'(0)=0 \in \mathbb{R}}$

Άρα τελικά έχουμε: $\displaystyle{f'(x)=\left\{\begin{matrix} 3x^{2}sin(\frac{1}{x})-xcos(\frac{1}{x}), x\neq 0\\ 0, x=0 \end{matrix}\right}$

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

Μέλη σε σύνδεση