Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Άσκηση 1
Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:\Re \to \Re }$ μια μη σταθερή συνάρτηση με τις παρακάτω ιδιότητες :
$\displaystyle{ f(x + y) = \frac{{f\left( x \right) + f(y)}}{{1 + f(x)f(y)}}\,\,\,\,\,,\forall x,y \in \Re }$
και f παραγωγίσιμη στο 0
Να δείξετε ότι:
α) $\displaystyle{ - 1 < f(x) < 1\,\,\,\,\,,\forall x \in \Re }$
β)Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων
γ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ \Re }$

Άσκηση 2
α) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $\displaystyle{f:\Re \to \Re}$ που επαληθεύουν την σχέση:
$\displaystyle{ xf\left( y \right) + yf\left( x \right) = \left( {x + y} \right)f\left( x \right)f\left( y \right)\,\,\,,\forall x,y \in \Re }$
β) Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι απ’ τις συναρτήσεις αυτές δύο μόνο είναι συνεχείς

Άσκηση 3
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $\displaystyle{f:\Re \to \Re }$ που χαρακτηρίζονται απ’ τις ιδιότητες:
$\displaystyle{ f\left( x \right)f\left( y \right) = f\left( {x - y} \right)\,\,\,\,\,,\forall x,y \in \Re }$ και υπάρχει $\displaystyle{x_0 \in \Re \,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,f\left( {x_0 } \right) \ne 0}$ (δηλαδή η συνάρτηση δεν είναι ταυτόσημη με τη μηδενική )

Άσκηση 4
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\Re \to \Re}$ με την ιδιότητα:
$\displaystyle{f\left( {ax} \right) \le \left| a \right|f\left( x \right)\,\,\,,\forall x,a \in \Re }$
Να δειχθεί ότι:
α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων
β) $\displaystyle{f\left( {ax} \right) = \left| a \right|f\left( x \right)\,\,,\forall x,a \in \Re }$

Σημείωση:Αν είναι δυνατόν με όποια ασχολείστε να γράφετε αναλυτικά την απόδειξη-λύση, βοηθάμε τους αναγνώστες

konkyr · #2

Άσκηση 1

α)Για χ=ψ=0 παίρνω

$f(0)=\frac{2f(0)}{1+f^{2}(0)}\Rightarrow f(0)+f^{3}(0)=2f(0)\Rightarrow f(0)(f^{2}(0)-1)=0\Rightarrow$ f(0)=0 ή f (0)=1 ή f (0)=-1.

Αν f(0)=1 η αρχική με ψ=0 δίνει f(χ)=1 δηλ σταθερή , άτοπο.

Αν f(0)=-1 η αρχική με ψ=0 δίνει f(χ)=-1 δηλ σταθερή , άτοπο.

Άρα f(0)=0.

Θέτω ψ=χ και παίρνω $f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f^{2}(x)}$

Είναι: $|f(2x)|=|\frac{2f(x)}{1+f^{2}(x)}|<1$ , άρα |f(χ)|<1,οπότε -1 <f (χ) <1

β)Θέτω όποω ψ= -χ και παίρνω $f(0)=\frac{f(x)+f(-x)}{1+f(x)f(-x)}$ ,άρα f(-x) = - f(χ) δηλαδή περιττή (συμμετρική ωσ προς αρχή αξόνων)

γ)f΄(0)= $\lim_{x->0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x->0}\frac{f(x)}{x}$

f ΄( $x_{0}$ )= $\lim_{x->0}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ = $\lim_{h->0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ =

= $\lim_{h->0}\frac{\frac{f(x_{0})+f(h)}{1+f(x_{0})f(h)}-f(x_{0})}{h}$ = $\lim_{h->0}\frac{f(x_{0})+f(h)-f(x_{0})-f^{2}(x_{0})f(h)}{h(1+f(x0)f(h))}$ =

= $\lim_{h->0}\frac{f(h)[1-f^{2}(x_{0})]}{h(1+f(x0)f(h))}$ =f ΄(0)(1- $f^{2}(x_{0)}$ )

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Καλή αρχή κάναμε Κωνσταντίνα!

α. Σημείωσε ότι έλυσες την άσκηση 1 για να μην χαθούμε
β. Διόρθωσε λίγο τον παρονομαστή στα δύο τελευταία όρια, στα ομώνυμα που γίνονται και μετά από το σύνθετο κλάσμα σε απλό προκύπτει και hf(x)f(h) στον παρονομαστή και επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 θα είναι και συνεχής, οπότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( h \right) = f\left( 0 \right) = 0}$ άρα δεν έχεις χάσει τίποτα!
γ. Δίνω μια διαφορετική απόδειξη στο α. ίσως πιο δύκολη και όχι τόσο απλή όσο της Konkyr (Κωνσταντίνας)
$\displaystyle{1 \pm f\left( x \right) = 1 \pm f\left( {\frac{x}{2}} \right) = 1 \pm \frac{{f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{2}} \right)}}{{1 + f\left( {\frac{x}{2}} \right) \cdot f\left( {\frac{x}{2}} \right)}} = 1 \pm \frac{{f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{2}} \right)}}{{1 + f\left( {\frac{x}{2}} \right)^2 }} = \frac{{\left[ {1 \pm f\left( {\frac{x}{2}} \right)} \right]^2 }}{{1 + f^2 \left( {\frac{x}{2}} \right)}} \ge 0}$
Από το συμπέρασμα αυτό προκύπτει: $\displaystyle{ - 1 \le f\left( x \right) \le 1\,\,\,,x \in \Re }$

Πρέπει τώρα να αποκλείσουμε την ύπαρξη $\displaystyle{x_0 \in \Re }$ τέτοιου ώστε να μας δίνει: $\displaystyle{f\left( {x_0 } \right) = \pm 1}$
Έστω ότι υπάρχει τέτοιο $\displaystyle{x_0 \in \Re }$ έχουμε από την δοσμένη σχέση για κάθε χ πραγματικό αριθμό:
$\displaystyle{f\left( x \right) = f\left[ {x_0 + \left( {x - x_0 } \right)} \right] = \frac{{f\left( {x_0 } \right) + f\left( {x - x_0 } \right)}}{{1 + f\left( {x_0 } \right)f\left( {x - x_0 } \right)}} = \frac{{ \pm 1 + f\left( {x - x_0 } \right)}}{{1 \pm f\left( {x - x_0 } \right)}} = \pm 1}$
δηλαδή η f είναι σταθερή άρα άτοπο

δ. Μπορεί να βάλουμε και ένα τελευταίο σκέλος στην άσκηση που να λέει, να επαληθεύσετε ότι η συναρτήση f με
$\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{e^x - e^{ - x} }}{{e^x + e^{ - x} }}}$
ικανοποιεί τις υποθέσεις άρα και τα συμπεράσματα της άσκησης. (επαφίεται στον μαθητή ως άσκηση!)

#4

$\displaystyle{xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y)}$ [1]
για $\displaystyle{y=0,x\ne 0}$ η [1] δίνει $\displaystyle{xf(0)=xf(0)f(x)}$ ή $\displaystyle{f(0)=f(0)f(x)}$
Αν $\displaystyle{f(0)\ne 0\Rightarrow f(x)=\begin{cases} 1 & \text{ if } x\ne 0 \\ a & \text{ if } x=0 \end{cases},a\in R^*}$ [2]
Αν $\displaystyle{f(0)=0}$
για $\displaystyle{x=y\ne 0}$ στην [1] παίρνουμε $\displaystyle{2xf(x)=2xf^2(x)\Rightarrow f(x)=f^2(x) ,x\ne 0}$
άρα η $\displaystyle{f}$ παίρνει μόνο τις τιμές $\displaystyle{0 ,1}$ στο $\displaystyle{R^*}$
Εστω ότι παίρνει και τις δυο Τότε θα υπάρχουν $\displaystyle{a,b\in R^*: f(a)=0,f(b)=1}$ τότε η [1] δίνει $\displaystyle{af(b)+bf(a)=(a+b)f(a)f(b)\Rightarrow a=0 }$ άτοπο
αρα $\displaystyle{f(x)=0 ,\forall x\in R}$ [3] ή $\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}1 & \text{ if } x\ne 0 \\ 0 & \text{ if } x=0 \end{cases}}$ [4]
Τελικά λόγω των [2],[3],[4] $\displaystyle{f(x)=0 ,\forall x\in R}$ ή $\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}1 & \text{ if } x\ne 0 \\ a & \text{ if } x=0 \end{cases},a\in R}$
Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι συνεχείς είναι μόνον οι σταθερές στο R, f(x)=0 ή f(x)=1

#5

Είναι $\displaystyle{f(x)f(y)=f(x-y)}$ [1]

οπου x το y και αντίστροφα στην [1] δίνει ότι f άρτια
οπότε όπου y το -y στην [1] δίνει ότι $\displaystyle{f(x+y)=f(x)f(y)\Rightarrow f(x)=f(2\frac{x}{2})=f^2(\frac{x}{2})\ge 0}$ [2]

για $\displaystyle{x=y=0}$ στην [1] έχουμε $\displaystyle{f(0)=0}$ ή $\displaystyle{f(0)=1}$
για $\displaystyle{x=y=x_0}$ στην [1] έχουμε $\displaystyle{f(0)=f^2(x_0)\ne 0}$
Συνεπώς $\displaystyle{f(0)=1}$

για $\displaystyle{x=y}$ στην [1] έχουμε $\displaystyle{f^2(x)=f(0)=1}$ λόγω της [2] παίρνουμε $\displaystyle{f(x)=1}$ στο R
που επαληθεύει την αρχική σχέση

#6

Είναι $\displaystyle{f(ax)\le |a|f(x)}$ [1]

για a=2,x=0 στην [1] παίρνουμε $\displaystyle{f(0)\ge 0}$
για a=1/2,x=0 στην [1] παίρνουμε $\displaystyle{f(0)\le 0}$
αρα $\displaystyle{{f(0)=0}}$

δουλεύουμε τώρα στο $\displaystyle{R^*}$
για x=1 η [1] δίνει $\displaystyle{f(a)\le |a|f(1)}$ ή $\displaystyle{f(x)\le |x|f(1)}$ [2]

για $\displaystyle{a=1/x}$ η[1] δίνει $\displaystyle{f(1)\le \frac {1}{|x|}f(x)}$ ή $\displaystyle{|x|f(1)\le f(x)}$ [3]

από [2],[3] έχουμε $\displaystyle{f(x)=|x|f(1)}$ [4]

οπου x το ax στην [4] } $\displaystyle{f(ax)=|a||x|f(1)=|a|f(x)}$ στο R λόγω του 1ου ερωτήματος

Μάκης Χατζόπουλος · #7

Τις καταβρόχθισες τις ασκήσεις Boris! Πολύ ωραία, σε κάποιες είχα διαφορετικές σκέψεις-λύσεις αλλά νομίζω ότι καλυπτόμαστε με τις δικές σου. Κάνε μια γενικότερη αποτίμηση των ασκήσεων...μπορώ να τις βάλω σε σχολείο; Την πρώτη άσκηση την έχω βάλει ήδη και ελπίζω να μην φωνάξει κανείς (αστιεύομαι φυσικά), σε διαγώνισμα παρακαλώ γι αυτό έχει υποερωτήματα, που θεωρώ απαραίτητο για σχολικές ασκήσεις.

#8

Ναι Μάκη είναι από τις αγαπημένες μου
το 1972 έπεσε για πρώτη φορά στις εισαγωγικές του ΕΜΠ συναρτησιακός τύπος
και τον έλυσα χωρίς να έχουμε κάνει κάτι παρόμοιο στο φροντιστήριο και από τότε όπως καταλαβαίνεις...

Μάκης Χατζόπουλος · #9

E, τότε Boris να βάλω και άλλες ασκήσεις αφού έχω κοινό!! Όποιος γενικά θέλει να βάλει ασκήσεις με συναρτησιακές σχέσεις επιπέδου Γ Λυκείου, μπορεί αν συνεχίσει την αρίθμηση... μπορεί να μαζέψω μερικές που έχουμε βάλει κατά το παρελθόν.

Όπως πάντα το ενδιαφέρον σας θα κινήσει ή θα ατονήσει την προσπάθεια...

#10

mac190604 έγραψε:Άσκηση 1
Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:\Re \to \Re }$ μια μη σταθερή συνάρτηση με τις παρακάτω ιδιότητες :
$\displaystyle{ f(x + y) = \frac{{f\left( x \right) + f(y)}}{{1 + f(x)f(y)}}\,\,\,\,\,,\forall x,y \in \Re }$
και f παραγωγίσιμη στο 0
Να δείξετε ότι:
α) $\displaystyle{ - 1 < f(x) < 1\,\,\,\,\,,\forall x \in \Re }$
β)Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων
γ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ \Re }$

Μπορούμε επίσης να βρούμε όλες τις συναρτήσεις με τις πιο πάνω συνθήκες!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#11

mac190604 έγραψε:...μπορώ να τις βάλω σε σχολείο;

Μάκη ακόμα και δύσκολα θέματα με κατάλληλα υποερωτήματα (ανάλογα με τις προτιμήσεις του καθηγητή) μπορουν να περάσουν στην τάξη. Η διάταξη των ερωτημάτων στην άσκηση 1 είναι ωραία. Την ίδια άσκηση με μικρές αλλαγές την κάνω κάθε χρόνο. Η σειρά ερωτημάτων που χρησιμοποιώ είναι η ακόλουθη:

Για την συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ είναι γνωστό ότι f(0)=0

, είναι παραγωγίσιμη στο 0, $f'(0)=\frac{1}{2}$ και ότι για όλα τα x,y

ισχύει:
$\displaystyle{f\left( x+y\right) =\frac{f\left( x\right) +f\left( y\right) }{1+f\left( x\right) f\left( y\right) }}$

1) Να αποδείξετε ότι f(-x)=-f(x)

για όλα τα

.
2) Να αποδείξετε ότι $f(x)\neq 1$ και $f(x)\neq -1$ για όλα τα

.
3) Να αποδείξετε ότι η

είναι παραγωγίσιμη καί ότι για όλα τα

ισχύει:
$\displaystyle{f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{2}\left( 1-f^{2}\left( x\right) \right) }$
4) Να αποδείξετε ότι η

είναι γνησίως μονότονη,
5) Να αποδείξετε ότι για όλα τα

ισχύει:
$\displaystyle{\frac{\left( f\left( x\right) +1\right) ^{\prime }}{f\left( x\right) +1}-\frac{\left( f\left( x\right) -1\right) ^{\prime }}{f\left( x\right) -1}=1}$
6) Να βρείτε την

.

Απάντηση: (δείτε και την απάντηση του socrates) $f\left( x\right) =\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$

Μαυρογιάννης

Μάκης Χατζόπουλος · #12

Μόλις την έκλεψα την ιδέα σας και την άσκησή σας και την χαρακτηρίζω 5η άσκηση! Δίνω άλλη μια...

Άσκηση 6
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:\Re \to \Re }$ με τις ακόλουθες ιδιότητες:
α) $\displaystyle{\left( {x + y} \right)f\left( {x + y} \right) + 1 = \left[ {xf\left( x \right) + 1} \right]\left[ {yf\left( y \right) + 1} \right]\,\,,\forall x,y \in \Re }$
β) f συνεχής στο $\displaystyle{\Re }$

#13

Θέτω $\displaystyle{g(x)=xf(x)+1 , x\in R}$ [1]
Τότε η δοσμένη γίνεται

$\displaystyle{g(x+y)=g(x)g(y) ,x,y \in R}$ [2]
Τότε αν υπάρχει $\displaystyle{r:g(r)=0 \Rightarrow g(x)=0 , \forall x\in R \Rightarrow xf(x)+1=0 , \forall x\in R}$ που για x=0 καταλήγει σε άτοπο οπότε δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση f
Αν $\displaystyle{g(x)\ne 0 \forall x\in R \Rightarrow g(0)=1}$ όπως εύκολα προκύπτει από την [2].
Είναι g συνεχής και g(x)>0 στο R
Δείχνουμε για φυσικούς, ακεραίους, ρητούς ότι $\displaystyle{f(qx)=[f(x)]^q}$ [3]
Λόγω συνέχειας η [3] ισχύει και όταν $\displaystyle{q\in R}$ αρα για x=1 παίρνουμε $\displaystyle{f(q)=[f(1)]^q}$
Θέτοντας $\displaystyle{f(1)=a>0}$ ο τύπος της συναρτησης f θα προκύψει από την $\displaystyle{xf(x)+1=a^x , f(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^x-1}{x}=lna}$
$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{a^x-1}{x} & \text{ if } x\ne 0 \\ lna & \text{ if } x=0 \end{cases}}$
που επαληθεύει την αρχικά δοσμένη σχέση

#14

Επόμενες...

Άσκηση 7
Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $|f(x+y+z+t)+\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}+\cos{t}|<4$ για κάθε $x,y,z,t \in\mathbb{R}$ ;

Άσκηση 8
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:[0,+\infty) \rightarrow [0,+\infty)$ ώστε f(f(x))+2f(x)=3x

για κάθε $x\geq 0$ .

Άσκηση 9
Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε:
$\bullet \ f(1)+1>0$
$\bullet \ f(x+y)-xf(y)-yf(x) = f(x)f(y)-x-y+xy$ για κάθε $x,y\in\mathbb{Q}$ .
$\bullet \ f(x) = 2f(x+1)+x+2$ για κάθε $x\in\mathbb{Q}$ .

peter · #15

socrates έγραψε:Άσκηση 7
Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $|f(x+y+z+t)+\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}+\cos{t}|<4$ για κάθε $x,y,z,t \in\mathbb{R}$ ;

Για

βρίσκουμε ότι |f(0)+4|<4

, δηλαδή

.

Για

βρίσκουμε ότι $|f(0)+2\cos x+2\cos y|<4$ για κάθε $x,y\in \mathbb R$ . Αν τώρα θέσουμε $x=y=\pi$ βρίσκουμε |f(0)-4|<4

, δηλαδή

, άτοπο.

peter · #16

socrates έγραψε:Άσκηση 9
Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb R$ τέτοιες ώστε:
$\bullet \ f(1)+1>0$
$\bullet \ f(x+y)-xf(y)-yf(x) = f(x)f(y)-x-y+xy$ για κάθε $x,y\in\mathbb{Q}$ .
$\bullet \ f(x) = 2f(x+1)+x+2$ για κάθε $x\in\mathbb{Q}$ .

Θέτουμε $g:\mathbb Q\to \mathbb R$ με g(x)=x+f(x)

. Έτσι, οι υποθέσεις μεταφράζονται ως:

(α) g(1)>0

(β)

για κάθε $x,y\in \mathbb Q$ και

(γ) $g(x+1)=\frac{1}{2}g(x)$ για κάθε $x\in \mathbb Q$ .

Πρόκειται λοιπόν για την εκθετική εξίσωση του Cauchy περιορισμένη στους ρητούς. Είναι γνωστό ότι θα είναι: g(x)=[g(1)]^x

για κάθε $x\in \mathbb Q$ . Λαμβάνοντας υπόψη τα (α) και (γ) βρίσκουμε ότι g(1)=1/2

.

Τελικά, έχουμε: $f(x)=2^{-x}-x, \; x\in \mathbb Q$ .

peter · #17

socrates έγραψε:Άσκηση 8
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:[0,+\infty) \rightarrow [0,+\infty)$ ώστε για κάθε $x\geq 0$ .

Από τη συναρτησιακή σχέση βρίσκουμε ότι η

είναι 1-1 συνάρτηση. Ορίζουμε $g:\mathbb R\to \mathbb R$ με g(x)=f(x)+3x

, η οποία είναι 1-1.

Απ' την άλλη μεριά η δοθείσα συναρτησιακή εξίσωση γράφεται: g(f(x))=g(x)

για κάθε $x\in \mathbb R$ . Έπεται ότι f(x)=x

.

Άσκηση 10.Να προσδιορισθούν όλες οι $f:\mathbb N\to \mathbb N$ με την ιδιότητα f(f(n))<f(n+1)

για κάθε $n\in \mathbb N$ .

Άσκηση 11. Να προσδιορισθούν οι συναρτήσεις $f:\mathbb R\to \mathbb R$ οι οποίες ικανοποιούν τη σ.ε. f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1

για κάθε $x,y\in \mathbb R$ .

#18

socrates έγραψε: Άσκηση 8
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:[0,+\infty) \rightarrow [0,+\infty)$ ώστε για κάθε $x\geq 0$ .

Από την αρχική παίρνουμε $f(f(x))=3x-2f(x) \ \ (1)$ .

Θέτουμε στην αρχική όπου

το

(*) και χρησιμοποιώντας την (1)

παίρνουμε

.

Θέτουμε και πάλι στην τελευταία όπου

το

και χρησιμοποιώντας και πάλι την (1)

παίρνουμε

.

Όμως η συνάρτηση g(x)=3x-2f(x)

είναι επί διότι για κάθε $y_0\in[0, +\infty)$ υπάρχει x_0

( το $3y_0-2f(y_0)\geq 0$ ) για το οποίο g(x_0)=y_0

.

Άρα η σχέση f(g(x))=g(x)

για

δίνει $f(y_0)=y_0 \ \ \forall y_0\in[0,+\infty)$ δηλαδή $\boxed{f(x)=x \ \ \forall x\in[0,+\infty)}$ συνάρτηση που επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες.

ΠΡΟΣΘΗΚΗ: (*) Αυτό μπορούμε να το κάνουμε διότι από τα δεδομένα έχουμε $\color{red}f(x)\geq 0$ και λόγω των δεδομένων που ορίζεται το $\color{red}f(f(x))$ έχουμε $\color{red}f(f(x))\geq 0$ άρα από τη σχέση $\color{red}(1)$ παίρνουμε $\color{red}3x-2f(x)\geq 0$ για κάθε $\color{red}x\in [0,+\infty)$ .

Αλέξανδρος

#19

peter έγραψε:
socrates έγραψε:Άσκηση 8
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:[0,+\infty) \rightarrow [0,+\infty)$ ώστε για κάθε $x\geq 0$ .

Από τη συναρτησιακή σχέση βρίσκουμε ότι η είναι 1-1 συνάρτηση. Ορίζουμε $g:\mathbb R\to \mathbb R$ με , η οποία είναι 1-1.

Απ' την άλλη μεριά η δοθείσα συναρτησιακή εξίσωση γράφεται: για κάθε $x\in \mathbb R$ . Έπεται ότι .

Άσκηση 10.Να προσδιορισθούν όλες οι $f:\mathbb N\to \mathbb N$ με την ιδιότητα για κάθε $n\in \mathbb N$ .

Άσκηση 11. Να προσδιορισθούν οι συναρτήσεις $f:\mathbb R\to \mathbb R$ οι οποίες ικανοποιούν τη σ.ε. για κάθε $x,y\in \mathbb R$ .

Στην 8 δεν βλέπω γιατί η g είναι 1-1
Νομίζω οτι θέλει $\displaystyle{a_{n+1}=f(a_n)}$ καταλήγεις σε αναδρομική 2ας τάξεως της μορφής $\displaystyle{a_n=A+B(-3)^n}$ και επειδή $\displaystyle{a_n\ge 0}$ πρέπει $\displaystyle{B=\frac{x-f(x)}{4}=0, A \ge 0}$ γιατί αλλιώς για μεγάλες τιμές του n ...

peter · #20

Δεν είναι! Λάθος εκ παραδρομής, άλλο διάβασα. Ναι, Boris, λύνεται όπως λες.

Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Re: Οι αγαπημένες μας συναρτησιακές σχέσεις 4 us!

Μέλη σε σύνδεση