Δ' ΔΕΣΜΗ 1998

parmenides51 · #1

Μόλις τελειώσουν τα θέματα της Δ΄ Δέσμης (είναι μέχρι και το 2001, τρία έμειναν),
θα ανεβάσω τα υπόλοιπα της Α΄ Δέσμης με την σειρά (μένουν τα 1996-2001),
ώστε να μην υπάρχουν αρκετά άλυτα στο Ευρετήριο Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων .

1. α) Να αποδείξετε ότι αν υπάρχει μια αρχική συνάρτηση $\displaystyle{F}$ της $\displaystyle{f }$ σ’ ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ τότε υπάρχουν άπειρες
και μάλιστα είναι όλες οι συναρτήσεις της μορφής $\displaystyle{G(x)=F(x)+c\,\, , c\in \mathbb{R}}$ και μόνο αυτές.
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου $\displaystyle{(C):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1=2x+6y}$
και είναι κάθετη στην ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon):\,\,2x+y+5=0}$ .

2. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(t)=2t+\mu ,\,\,\, , t\in \mathbb{R}}$ όπου η παράμετρος $\displaystyle{\mu}$ είναι ένας πραγματικός αριθμός.
Μια επιχείρηση έχει έσοδα $\displaystyle{E(t)}$ που δίνονται σε εκατομμύρια δραχμές από τον τύπο $\displaystyle{E(t)=(t-1)f(t),\,\,, t\ge 0}$
όπου $\displaystyle{t }$ συμβολίζει το χρόνο σε έτη.
Το κόστος λειτουργίας $\displaystyle{K(t) }$ της επιχείρησης δίνεται επίσης σε εκατομμύρια δραχμές σύμφωνα με τον τύπο $\displaystyle{K(t)=f(t+4),\,\, ,t\ge 0}$ .
α) Να βρείτε τη συνάρτηση κέρδους $\displaystyle{P(t)}$ για $\displaystyle{t\ge 0}$ όταν γνωρίζουμε ότι κατά το πρώτο έτος λειτουργίας
η επιχείρηση παρουσίασε ζημιά δώδεκα εκατομμύρια δραχμές.
β) Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει η επιχείρηση να παρουσιάζει κέρδη;
γ) Ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης κέρδους στο τέλος του δεύτερου έτους;
δ) Να υπολογίσετε την τιμή του ολοκληρώματος $\displaystyle{ I=\frac{111}{2}\int_{0}^{6}{P(t)dt}}$ .

3. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{h(x)={{2}^{12}}({{e}^{-4x}}-{{e}^{-\alpha x})\,\, , x\ge 0}$ όπου $\displaystyle{\alpha}$ πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος του $\displaystyle{4}$
α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }h(x)=h(0)=0}$
β) Να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση $\displaystyle{ hx)}$
γ) Αν $\displaystyle{{{x}_{1}}}$ είναι ρίζα της πρώτης παραγώγου και $\displaystyle{{{x}_{2}}}$ είναι ρίζα της δευτέρας παραγώγου της $\displaystyle{h(x)}$ να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα $\displaystyle{{{x}_{1}},{{x}_{2}}}$
δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{M=\frac{334}{75}\int_{0}^{\ln 2}{h(x)dx}}$ όταν $\displaystyle{\alpha=8}$

4. Δίνεται ο πίνακας $\displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 3 & 2 & 3 \\ 0 & \lambda +1 & 2 \\ 0 & \lambda -1 & \lambda +2 \\ \end{matrix} \right]}$ και οι πολυωνυμικές συναρτήσεις $\displaystyle{ f(x)=4(x-1)({{x}^{2}}-5x+6)\,\,, x\in R}$
και $\displaystyle{g(x)={{x}^{2}}+({{\kappa}^{2}}-5\kappa)x+13\,\,\,, x\in R}$ όπου $\displaystyle{\kappa}$ και $\displaystyle{\lambda }$ πραγματικοί αριθμοί.
α) Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι $\displaystyle{\Omega =\left\{ {{\omega }_{1}},{{\omega }}_{2}},{\omega }_{3}},{{\omega }}_{4}},{{\omega }}_{5}},{{\omega }}_{6}} \right\}}$ με
$\displaystyle{ \omega_1=x_1 \,\, , \omega_2=x_2 \,\, , \omega_3=x_3 \,\, , \omega_4=4x_1\,\, , \omega_5=4x_2\,\, , \omega_6=4x_3}$ όπου $\displaystyle{{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=0}$
Οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{ P(\omega_6)=P(\omega_5)=P(\omega_4)= 3P(\omega_3)=3P(\omega_2)=3P(\omega_1)}$
Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του $\displaystyle{\Omega}$ .
β) Θεωρούμε το ενδεχόμενο $\displaystyle{ B=\left\{ \lambda \in \Omega \left|}$ το σύστημα $\displaystyle{AX=2X}$ έχει και μη μηδενικές λύσεις $\displaystyle{\} }$
όπου $\displaystyle{X}$ ένας $\displaystyle{3\, x \,1}$ άγνωστος πίνακας και $\displaystyle{\Omega}$ ο δειγματικός χώρος του (α) ερωτήματος.
Να υπολογίσετε την πιθανότητα $\displaystyle{P(B)}$ .
γ) Να δείξετε ότι για το ενδεχόμενο $\displaystyle{\Gamma}$ του $\displaystyle{\Omega}$ όπου $\displaystyle{\Gamma =\left\{ \kappa \in \Omega \left| }$ η $\displaystyle{g(x)}$ παρουσιάζει ακρότατο στο $\displaystyle{x_0=3\}}$
και $\displaystyle{\Omega}$ ο δειγματικός χώρος του (α) ερωτήματος ισχύει $\displaystyle{P(\Gamma)=P(B)}$ .
δ) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων $\displaystyle{B\cap\Gamma}$ και $\displaystyle{B\cup\Gamma}$

Γιώργος Απόκης · #2

1. α) Να αποδείξετε ότι αν υπάρχει μια αρχική συνάρτηση $\displaystyle{F}$ της $\displaystyle{f }$ σ’ ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ τότε υπάρχουν άπειρες
και μάλιστα είναι όλες οι συναρτήσεις της μορφής $\displaystyle{G(x)=F(x)+c\,\, , c\in \mathbb{R}}$ και μόνο αυτές.
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου $\displaystyle{(C):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1=2x+6y}$
και είναι κάθετη στην ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon):\,\,2x+y+5=0}$ .

Λύση

α) Θεωρία

β) Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{x^2+y^2-2x-6y+1=0}$ άρα ο κύκλος έχει κέντρο το $\displaystyle{K(1,3)}$ . Η δοσμένη ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης

$\displaystyle{-2}$ άρα η κάθετη σε αυτήν θα έχει $\displaystyle{\lambda=\frac{1}{2}}$ και εξίσωση $\displaystyle{y-3=\frac{1}{2}(x-1)\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}$

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται ο πίνακας $\displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 3 & 2 & 3 \\ 0 & \lambda +1 & 2 \\ 0 & \lambda -1 & \lambda +2 \\ \end{matrix} \right]}$ και οι πολυωνυμικές συναρτήσεις $\displaystyle{ f(x)=4(x-1)({{x}^{2}}-5x+6)\,\,, x\in R}$
και $\displaystyle{g(x)={{x}^{2}}+({{\kappa}^{2}}-5\kappa)x+13\,\,\,, x\in R}$ όπου $\displaystyle{\kappa}$ και $\displaystyle{\lambda }$ πραγματικοί αριθμοί.
α) Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι $\displaystyle{\Omega =\left\{ {{\omega }_{1}},{{\omega }}_{2}},{\omega }_{3}},{{\omega }}_{4}},{{\omega }}_{5}},{{\omega }}_{6}} \right\}}$ με
$\displaystyle{ \omega_1=x_1 \,\, , \omega_2=x_2 \,\, , \omega_3=x_3 \,\, , \omega_4=4x_1\,\, , \omega_5=4x_2\,\, , \omega_6=4x_3}$ όπου $\displaystyle{{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=0}$
Οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{ P(\omega_6)=P(\omega_5)=P(\omega_4)= 3P(\omega_3)=3P(\omega_2)=3P(\omega_1)}$
Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του $\displaystyle{\Omega}$ .
β) Θεωρούμε το ενδεχόμενο $\displaystyle{ B=\left\{ \lambda \in \Omega \left|}$ το σύστημα $\displaystyle{AX=2X}$ έχει και μη μηδενικές λύσεις $\displaystyle{\} }$
όπου $\displaystyle{X}$ ένας $\displaystyle{3\, x \,1}$ άγνωστος πίνακας και $\displaystyle{\Omega}$ ο δειγματικός χώρος του (α) ερωτήματος.
Να υπολογίσετε την πιθανότητα $\displaystyle{P(B)}$ .
γ) Να δείξετε ότι για το ενδεχόμενο $\displaystyle{\Gamma}$ του $\displaystyle{\Omega}$ όπου $\displaystyle{\Gamma =\left\{ \kappa \in \Omega \left| }$ η $\displaystyle{g(x)}$ παρουσιάζει ακρότατο στο $\displaystyle{x_0=3\}}$
και $\displaystyle{\Omega}$ ο δειγματικός χώρος του (α) ερωτήματος ισχύει $\displaystyle{P(\Gamma)=P(B)}$ .
δ) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων $\displaystyle{B\cap\Gamma}$ και $\displaystyle{B\cup\Gamma}$

α) $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{:4} \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$

Άρα $x = 1\;\dot \eta \;x = 2\;\dot \eta \;x = 3$

Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω ${x_1} = 1,\;{x_2} = 2,\;{x_3} = 3$

Έτσι $\Omega = \left\{ {1,2,3,4,8,12} \right\}$

Είναι $P\left( {{\omega _6}} \right) = P\left( {{\omega _5}} \right) = P\left( {{\omega _4}} \right) = 3P\left( {{\omega _3}} \right) = 3P\left( {{\omega _2}} \right) = 3P\left( {{\omega _1}} \right) = \mu \Leftrightarrow$

$P\left( {12} \right) = P\left( 8 \right) = P\left( 4 \right) = 3P\left( 3 \right) = 3P\left( 2 \right) = 3P\left( 1 \right) = \mu \;\left( 1 \right)$

$P\left( 1 \right) + P\left( 2 \right) + P\left( 3 \right) + P\left( 4 \right) + P\left( 8 \right) + P\left( {12} \right) = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$

$\displaystyle\frac{\mu }{3} + \frac{\mu }{3} + \frac{\mu }{3} + \mu + \mu + \mu = 1 \Leftrightarrow \mu = \frac{1}{4}$

Άρα $\displaystyle P\left( {12} \right) = P\left( 8 \right) = P\left( 4 \right) = \frac{1}{4}$ και $\displaystyle P\left( 3 \right) = P\left( 2 \right) = P\left( 1 \right) = \frac{\mu }{3}\; = \frac{1}{{12}}$

β) Έστω $X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right]$ τότε:

$AX = 2X \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2&3\\ 0&{\lambda + 1}&2\\ 0&{\lambda - 1}&{\lambda + 2} \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x}\\ {2y}\\ {2z} \end{array}} \right] \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 3z = 0\\ \left( {\lambda - 1} \right)y + 2z = 0\\ \left( {\lambda - 1} \right)y + \lambda z = 0 \end{array} \right.$

Για να έχει το σύστημα και μη μηδενικές λύσεις, αφού είναι ομογενές πρέπει:

$D = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 0&{\lambda - 1}&2\\ 0&{\lambda - 1}&\lambda \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda - 1}&2\\ {\lambda - 1}&\lambda \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow$

$\lambda \left( {\lambda - 1} \right) - 2\left( {\lambda - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \lambda = 1\;\dot \eta \;\lambda = 2$

Έτσι $B = \left\{ {1,\;2} \right\}$ οπότε $\displaystyle{P\left( B \right) = P\left( 1 \right) + P\left( 2 \right) = 2 \cdot \frac{1}{{12}} \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{6}}$

γ) Η συνάρτηση $g\left( x \right) = {x^2} + \left( {{\kappa ^2} - 5\kappa } \right)x + 13$ , αφού είναι τριώνυμο με $\alpha = 1 > 0$ , παρουσιάζει ελάχιστο για

$\displaystyle x = - \frac{\beta }{{2\alpha }} \Rightarrow 3 = \frac{{5\kappa - {\kappa ^2}}}{2} \Leftrightarrow {\kappa ^2} - 5\kappa + 6 = 0 \Leftrightarrow \kappa = 2\;\dot \eta \;\kappa = 3$

Άρα $\Gamma = \left\{ {2,\;3} \right\}$ οπότε $\displaystyle{P\left( \Gamma \right) = P\left( 2 \right) + P\left( 3 \right) = 2 \cdot \frac{1}{{12}} \Rightarrow P\left( \Gamma \right) = \frac{1}{6}}$

Οπότε $P\left( \Gamma \right) = P\left( B \right)$

δ) Είναι $B \cap \Gamma = \left\{ 2 \right\}$ δηλαδή $\displaystyle P\left( {B \cap \Gamma } \right) = P\left( 2 \right) = \frac{1}{{12}}$

$B \cup \Gamma = \left\{ {1,\;2,\;3} \right\}$ δηλαδή $\displaystyle P\left( {B \cup \Gamma } \right) = P\left( 1 \right) + P\left( 2 \right) + P\left( 3 \right) = 3 \cdot \frac{1}{{12}} \Rightarrow P\left( {B \cup \Gamma } \right) = \frac{1}{4}$

Christos75 · #4

parmenides51 έγραψε: 3. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{h(x)={{2}^{12}}({{e}^{-4x}}-{{e}^{-\alpha x})\,\, , x\ge 0}$ όπου $\displaystyle{\alpha}$ πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος του $\displaystyle{4}$
α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }h(x)=h(0)=0}$
β) Να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση $\displaystyle{ hx)}$
γ) Αν $\displaystyle{{{x}_{1}}}$ είναι ρίζα της πρώτης παραγώγου και $\displaystyle{{{x}_{2}}}$ είναι ρίζα της δευτέρας παραγώγου της $\displaystyle{h(x)}$ να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα $\displaystyle{{{x}_{1}},{{x}_{2}}}$
δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{M=\frac{334}{75}\int_{0}^{\ln 2}{h(x)dx}}$ όταν $\displaystyle{\alpha=8}$

Λύση

α) Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }h(x)}$ όπου $\displaystyle{h(x)=2^{12}(e^{-4x}-e^{\alpha x}), x\geq0 \wedge \alpha >4}$

Είναι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }2^{12}(e^{-4x}-e^{-\alpha x})=2^{12}(\lim_{x\rightarrow +\infty }(e^{-4x}-e^{-\alpha x}))=}$

= $\displaystyle{2^{12}(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{e^{4x}}-\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{e^{\alpha x}})=2^{12}(0-0)=0}$

Επίσης εάν θέσουμε στην

την τιμή για x=0

τότε μας δίνει h(0)=0

συνεπώς $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }h(x)=h(0)=0}$

β) Θα υπολογίσουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης

και έχουμε

$\displaystyle{h'(x)=[2^{12}(e^{-4x}-e^{\alpha x})]' = 2^{12}[(e^{-4x})'-(e^{-\alpha x})']=2^{12}(\alpha e^{-\alpha x}-4e^{-4x})}$

Οπότε αναζητούμε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου με τον γνωστό τρόπο και έχουμε

$\displaystyle{h'(x)=0\Leftrightarrow 2^{12}(\alpha e^{-\alpha x}-4e^{-4x})=0\overset{2^{12}>0}{\rightarrow}}$

$\displaystyle{(\alpha e^{-\alpha x}-4e^{-4x})=0\Leftrightarrow \alpha e^{\alpha x}-4e^{-4x}=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\alpha e^{\alpha x}= 4e^{-4x}\Leftrightarrow ln(\alpha e^{\alpha x})=ln(4e^{-4x})\Leftrightarrow ln\alpha -\alpha x = ln4-4x\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\alpha x - 4x = ln\alpha - ln4\Leftrightarrow (\alpha -4)x = ln\alpha - ln4 \Leftrightarrow x = \frac{ln\alpha -ln4}{\alpha -4}}$

και αφού $\displaystyle{\alpha > 4\xrightarrow[gn afksousa]{ln}ln\alpha > ln4}$ οπότε x>0

εν συνεχεία $\displaystyle{h'(x)>0\Leftrightarrow ln(\alpha .e^{-\alpha x})>ln(4.e^{-4x})\Leftrightarrow x<\frac{ln\alpha -ln4}{\alpha -4}}$

ομοίως $\displaystyle{h'(x)<0\Leftrightarrow ln(\alpha .e^{-\alpha x})<ln(4.e^{-4x})\Leftrightarrow x>\frac{ln\alpha -ln4}{\alpha -4}}$

Συνεπώς η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[0,\frac{ln\alpha -ln4}{\alpha -4}]}$ και γνησίως φθίνουσα στο

$\displaystyle{[\frac{ln\alpha -ln4}{\alpha -4}, +\infty )}$ συνεπώς η συνάρτηση

έχει ολικό μέγιστο στο σημείο $\displaystyle{(x_{0}, h(x_{0}))}$

γ) Από προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι $\displaystyle{h'(x_{1})=0\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow x_{1}=\frac{ln\alpha -ln4}{\alpha -4}}$

Υπολογίζουμε και την δεύτερη παράγωγο της εν λόγω συνάρτησης και έχουμε

$\displaystyle{h''(x)=(2^{12}(\alpha e^{-\alpha x}-4e^{-4x}))' = 2^{12}(-\alpha ^{2}e^{-\alpha x}+16e^{-4x})}$

Οπότε $\displaystyle{h''(x)=0\Leftrightarrow (2^{12}(\alpha e^{-\alpha x}-4e^{-4x}))' = 2^{12}(-\alpha ^{2}e^{-\alpha x}+16e^{-4x})=0\overset{2^{12}>0}{\rightarrow}$

$-\alpha ^{2}e^{-\alpha x}+16e^{-4x}=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \alpha ^{2}e^{-\alpha x}= 16e^{-4x}\Leftrightarrow ln(\alpha ^{2}e^{-\alpha x})=ln(16e^{-4x})\Rightarrow ...x = \frac{2(ln\alpha -ln4)}{\alpha -4}}$

Συνεπώς $\displaystyle{\displaystyle{h''(x_{2})=0\Leftrightarrow x_{2}=\frac{2(ln\alpha -ln4)}{\alpha -4} \Leftrightarrow x_{2}=2x_{1}}}$ που είναι και η ζητούμενη σχέση.

δ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα και έχουμε

$\displaystyle{M=\frac{334}{75}\int_{0}^{ln2}h(x)dx\overset{\alpha =8}{\rightarrow}M= \frac{334}{75}\int_{0}^{ln2}2^{12}(e^{-4x}-e^{-8x})dx =}$

$\displaystyle{\frac{334}{75}.2^{12}\int_{0}^{ln2}(e^{-4x}-e^{-8x})dx = \frac{334}{75}.2^{12}[-\frac{1}{4}e^{-4x}-(-\frac{1}{8}e^{-8x})]_{0}^{ln2}=...=2004}$

Christos75 · #5

parmenides51 έγραψε: 2. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(t)=2t+\mu ,\,\,\, , t\in \mathbb{R}}$ όπου η παράμετρος $\displaystyle{\mu}$ είναι ένας πραγματικός αριθμός.
Μια επιχείρηση έχει έσοδα $\displaystyle{E(t)}$ που δίνονται σε εκατομμύρια δραχμές από τον τύπο $\displaystyle{E(t)=(t-1)f(t),\,\,, t\ge 0}$
όπου $\displaystyle{t }$ συμβολίζει το χρόνο σε έτη.
Το κόστος λειτουργίας $\displaystyle{K(t) }$ της επιχείρησης δίνεται επίσης σε εκατομμύρια δραχμές σύμφωνα με τον τύπο $\displaystyle{K(t)=f(t+4),\,\, ,t\ge 0}$ .
α) Να βρείτε τη συνάρτηση κέρδους $\displaystyle{P(t)}$ για $\displaystyle{t\ge 0}$ όταν γνωρίζουμε ότι κατά το πρώτο έτος λειτουργίας
η επιχείρηση παρουσίασε ζημιά δώδεκα εκατομμύρια δραχμές.
β) Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει η επιχείρηση να παρουσιάζει κέρδη;
γ) Ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης κέρδους στο τέλος του δεύτερου έτους;
δ) Να υπολογίσετε την τιμή του ολοκληρώματος $\displaystyle{ I=\frac{111}{2}\int_{0}^{6}{P(t)dt}}$ .

Λύση

α) Αρχικά μας ζητάει να υπολογίσουμε την συνάρτηση κέρδους έχοντας ως δεδομένο τις συναρτήσεις εσόδων και κόστους.

Πράγματι, η ζητούμενη συνάρτηση δίνεται από τον τύπο: $\displaystyle{P(t)=E(t)-K(t) (1)}$

Θα υπολογίσουμε πρωτίστως τις συναρτήσεις κέρδους και εσόδων. Δηλαδή

$\bullet$ Η συνάρτηση εσόδων είναι: $\displaystyle{E(t)=(t-1)f(t) = (t-1)(2t+\mu )=2t^{2}+\mu t-2t-\mu \Leftrightarrow E(t)=2t^{2}+(\mu -2)t-\mu , t\geq 0}$

$\bullet$ Η συνάρτηση κόστους είναι: $\displaystyle{K(t)=f(t+4)=2(t+4)+\mu =2t+8+\mu \Leftrightarrow K(t)=2t+\mu +8, t\geq 0}$

Συνεπώς η ζητούμενη συνάρτηση κέρδους εάν αντικαταστήσουμε τα παραπάνω στην (1)

είναι :

$\displaystyle{P(t)=E(t)-K(t)=2t^{2}+(\mu -2)t-\mu -(2t+\mu +8)=2t^{2}+(\mu -2)t-\mu -2t-\mu -8=2t^{2}+(\mu -4)t-2\mu -8$

$\displaystyle{\Leftrightarrow P(t)=2t^{2}+(\mu -4)t-2\mu -8, t\geq 0}}$

Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης η επιχείριση παρουσιάζει ζημία κατά το πρώτο έτος λειτουργίας της, δηλαδή

$\displaystyle{P(1)=-12\Leftrightarrow 2.1^{2}+(\mu -4).1-2\mu -8=-12\Leftrightarrow 2+\mu -4-2\mu -8=-12\Leftrightarrow \mu =2}$

Άρα $\displaystyle{P(t)=2t^{2}-2t-4-8\Rightarrow P(t)=2(t^{2}-t-6) , t\geq 0}$

β) Για να βρούμε ποια χρονική στιγμή θα παρουσιάσει κέρδη αρκεί να λύσω την $\displaystyle{P(t)>0\Leftrightarrow 2(t^{2}-t-6) > 0\Leftrightarrow t^{2}-t-6 > 0}$

Από πρόσημο τριωνύμου και με την προυπόθεση ότι $\displaystyle{t\geq 0}$ η μόνη δεκτή λύση μεταξύ των δύο είναι η $\displaystyle{t=3}$

Άρα, $\displaystyle{P(t)>0\Leftrightarrow t>3}$ εφόσον $\displaystyle{t\geq 0}$ . Συνεπώς η επειχείρηση θα παρουσιάζει κέρδος μετά τα τρία έτη.

γ) Ζητάμε το $\displaystyle{\frac{dP(t)}{dt} \mid_{t=2} = P'(2)}$ Δηλαδή $\displaystyle{P'(t)=[2(t^{2}-t-6)]' = 2(2t-1)}$ Οπότε

$\displaystyle{P'(2)=2(4-1)=2.3=6\Leftrightarrow P'(2)=6}$ που είναι και ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής.

δ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το
$\displaystyle{I=\frac{111}{2}\int_{0}^{6}P(t)dt=\frac{111}{2}\int_{0}^{6}2(t^{2}-t-6)dt=111\int_{0}^{6}(t^{2}-t-6)dt=111\int_{0}^{6}(\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}-6t)'dt=}$

$\displaystyle{111[\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}-6t]^{6}_{0}=111(\frac{6^{3}}{3}-\frac{6^{2}}{2}-36)=111.36(2-\frac{1}{2}-1)=111.36.\frac{1}{2}=1998}$

Δ' ΔΕΣΜΗ 1998

Δ' ΔΕΣΜΗ 1998

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1998

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1998

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1998

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1998

Μέλη σε σύνδεση